2.1 等式与不等式性质 （第1课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 2 章 2.1 等式与不等式性质（第1课时） 人教A版2019必修第一册 不等关系与不等式 目录 CATALOG 01.用不等式(组)表示不等关系 03.典型例题分析 02.作差法比较大小 04.小结及随堂练习 学习目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 01 用不等式(组)表示不等关系 不等关系与不等式 追问学生：“半价”是否包含“免费”？ 导入新知 奶茶店“第二杯半价”指的是什么意思呢？ “所有顾客购买第二杯奶茶一律半价！” 追问1：若广告语是假的，如何否定？ “存在一位顾客第二杯不半价” 追问2：“半价”是否包含“免费”？ 强化“≤”与“<”的区别 追问学生：“半价”是否包含“免费”？ 导入新知 电梯口标“限载8人，总重不超过1000kg”。 追问1：如何用不等式表示“总重不超过1000kg”？ “设总重为W，则W≤1000kg” 追问2：若改为“限载8人且总重至多1000kg”，如何列式？ W≤1000，且人数8 导入新知 在现实世界与日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，两者都是基本的数量关系. 导入新知 在现实世界与日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，两者都是基本的数量关系. 导入新知 在数学中，我们用不等式来表示不等关系. 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 导入新知 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 用不等号表示不等关系的式子 文字语言 大于 高于 超过 多于 小于 低于 少于 大于等于至少 不低于 小于等于 至多 不多于 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 学习新知 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 问题1 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0< v <40． 对于（2），由题意，得 ． 学习新知 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 问题1 对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b > c，a－b < c． 对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂 足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE ． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用不等式表示不等关系 学习新知 问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： 学习新知 如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？ 回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．   关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：   如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是负数，那么a<b．反之也成立． 学习新知   这个基本事实可以表示为： 从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小． 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用不等式表示不等关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由已知条件判断所给不等式是否正确 总结新知 等式性质与不等式性质 等式性质 不等式性质 认识新知 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 认识新知 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 等面积法 相等关系 不等关系 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. 2.赵爽弦图的不等关系 认识新知 2.赵爽弦图的不等关系（面积关系） 大正方形面积 >4个直角三角形的面积和 a,b>0 大正方形面积 =4个等腰直角三角形的面积和 Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。 认识新知 作差法 2 4 2.重要不等式 探究新知 探究新知 02 作差法比较大小 不等关系与不等式 应用新知 分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系， 可以得出它们的大小关系． 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）． 这是解决不等式问题的常用方法． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 作差法比较代数式的大小 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由已知条件判断所给不等式是否正确 应用新知 作差法比较大小的基本步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； （2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； （3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法． 其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论， 其中变形是判断符号的前提． 应用新知 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 应用新知 【跟踪练习】 证明： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由已知条件判断所给不等式是否正确 总结新知 不等式与不等式关系 1．不等式与不等关系： 2．比较两个实数大小关系的依据： 3．作差比较法： 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化． 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 03 典型例题分析 不等关系与不等式 能力提升 题型一： 用不等式(组)表示不等关系 能力提升 题型一： 用不等式(组)表示不等关系 方法技巧 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；(2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的 两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (1) 能力提升 题型二： 作差法比较大小 能力提升 题型二： 作差法比较大小 方法技巧 作差法比较两个实数大小的基本步骤 能力提升 题型三： 重要不等式 反思感悟　 在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 04 小结及随堂练习 不等关系与不等式 课堂总结 作差法比较大小 重要不等式 关于实数大小的比较的基本事实 不等式关系与不等式 用不等式(组）表示不等关系 将不等关系表示成不等式(组)的思路 课堂总结 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 1. 2. 3. 课堂总结 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化． 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 1．不等式与不等关系： 2．比较两个实数大小关系的依据： 3．作差比较法： 作业 课内作业： P35的6(3)、7(1)(3)题； p42习题2.1的3(1)(4)题. 不等关系与不等式 练习(第39页） 1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超过4m； （2）a与b的和为非负实数； 练习(第39页） 如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库， 仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍． （3） 练习(第39页） 练习(第39页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨， 型货车载重量24吨，设派出A型货车 辆， 型货车 辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知可得， ，所以有 . 故选：B. 【练习2】若 ， ，则一定有（    ）. A． B． C． D． 【解析】根据 ，有 ，由于 ， 两式相乘有 ， 故选：A. 【练习3】已知实数 ， 满足 ，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A， （当且仅当 时取等号），又 ， ，故A正确； 对于B，当 ， 时， ， ，则 ，故B错误； 对于C，当 ， 时， ， ，则 ，故C错误； 对于D，当 ， 时， ，故D错误.故选：A. 【练习4】(多选题)若x<a<0，则下列不等式不一定成立的是（    ） A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 【解析】∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0， ∴ax>a2，∴x2>ax>a2，故选项B一定成立. 故选：ACD． 【练习5】已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【解析】取 ，则 ，A错误；此时 ，B错误； 由于 且 ，则 ，C正确； 结合A项的取值， ，D错误．故选：C 【练习6】已知 ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 【解析】取特殊值： ， ， 则 ， ，故 ， 故选：D. 【变式】已知,比较与的大小. 【解析】因为 因为,所以, 所以, 所以. 【练习7】(多选题）已知 < <0，则下列结论正确的是（    ） A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b| D．ab<b2 【解析】因为 < <0，所以b<a<0.故A错误； 因为b<a<0，所以a+b<0，ab>0，所以a+b<ab，故B正确； 因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误； 因为b<a<0，所以a-b>0，即ab-b2=b(a-b)<0，所以ab<b2成立，故D正确. 故选：BD. 【练习1】 用一段长为的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园,墙长,要求矩形菜园的长宽都不能超过,靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系. 【解析】 由于矩形菜园靠墙的一边长为,而墙长为, 这时菜园的另一条边长为.因此菜园的面积, 依题意有,即.故该表示为 【变式1】 用一段长为的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园,墙长,要求矩形菜园的长宽都不能超过,靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系. 【解析】 由于矩形菜园靠墙的一边长为, 这时菜园的另一条边长为. 而矩形的长宽都不能超过,有即. 【解析】 . 由得,而,, . 【练习2】 已知,比较与的大小. 【变式2】 若“”,比较与的大小. 【解析】 ., 当时,; 当时,; 当时,. 【练习3】 已知,求证：≥2. 【证明】方法一：利用, 当且仅当时，等号成立. 方法二：, 不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系， 可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的． 不等式中文字语言与符号语言之间的转换 比较大小的方法分为作差法和作商法，其中作差法的一般步骤是： (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法． 其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． $$