3.3抛物线 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

本文围绕抛物线展开，涵盖抛物线定义、几何性质、直线与抛物线位置关系等核心知识。承接圆锥曲线相关知识背景，为后续更复杂的解析几何问题奠基。通过知识梳理与习题练习，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，如从抛物线定义抽象出数学概念，在分析位置关系中强化逻辑推理。 本设计亮点在于以知识梳理结合典型习题的方式，特色教法凸显知识应用。从学生层面看，能提升其数学应用与思维能力；从教师层面看，提供了清晰授课路径与备课资源，助力高效教学。

抛物线 知识梳理 1、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 要点诠释: (1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 (2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上，若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线. 2、抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 一般方程 说明 当抛物线的焦点在轴上时，可以设一般方程或者分类讨论设标准方程 当抛物线的焦点在轴上时，可以设一般方程或者分类讨论设标准方程 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 抛物线的通径：通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p。 3、直线与抛物线的位置关系 1.判断直线与抛物线的位置关系 联立方程，得 （1）当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于1点； （2）当时， ①直线和抛物线相交，有2个交点； ②直线和抛物线相切，有1个公共点； ③直线和抛物线相离，无公共点. 总结：直线与抛物线有一个交点时，有两种情况：相交（直线与对称轴平行或者重合）或者相切. 2.直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 4．必记结论 直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝. （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p. （3）＋为定值. （4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)． （5）以AB为直径的圆与准线相切． 典型习题 1、抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．故选：B． 2、抛物线的焦点到直线的距离是（       ） A． B．2 C．3 D．1 【详解】由抛物线得焦点，点到直线的距离. D. 3、F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（       ） A． B． C．5 D．12 【详解】点在抛物线上，则，解之得，则 又抛物线的焦点F，准线 则直线MF的方程为，则N，则，故选：B 4、设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得点的坐标，准线方程为， 因为为抛物线上一点，，所以点的横坐标为4， 当时，，所以，所以 的面积为，故选：D 5．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（　　） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2x 解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D， 设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a， 由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30°， 在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|， 所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6， 所以p|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．故选：B． 6．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　） A． B． C． D． 解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1， 过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D， 交y轴于M， 由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE， 则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1， 则，故选：A． 7．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 8、已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【解析】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 9．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 10．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【解析】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 11、（多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ） A．准线方程为 B．焦点坐标 C．点的坐标为 D．的长为3 【解析】由抛物线方程为， 焦点坐标，准线方程为，A错B对；直线的斜率为， 直线的方程为，当时，，， ，为垂足，点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对； 根据抛物线的定义可知，D错.故选:BC. 12．（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【解析】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 13、（多选）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．的取值范围是 D．时，以为直径的圆经过点 【解析】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则， 设直线的方程为，，， 联立方程得，消去得， 可得，解得且，故Ｃ错误； 则，故A正确；可得， 易知同号，所以，故B错误；因为，， 所以， 当时，，此时为直角，即以为直径的圆经过点，故D正确. 故选：AD. 14．已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为在抛物线上，故， 整理得到：即， 解得或（舍），故焦点坐标为， 故所求距离为， 故选：D. 15、若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 16、已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为　　 ． 解：∵抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0， ∴F（1，0）准线为x＝﹣1， ∵在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2， ∴根据抛物线的定义可知：d1+d2的最小值为焦点到直线l的距离减去1， ∴最小值为1＝3，故答案为： 17. 已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______． 【解析】由题意可得：抛物线的焦点，准线， 过点P作准线的垂线，垂足为D，则有， ∴的最小值为. 18、已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为 【解析】过点作的一条切线， 该切线的斜率必定存在，可设为， 则切线方程为：， 由可得即， 所以，故，所以， 而，故的面积为. 19、已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 . 【解析】设圆心为，则为抛物线的焦点． 设，则， 要使最小，则需最大，， 且， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值是4．故答案为：4 20. 已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【解析】（1）设，则，∴，由抛物线的定义得，解得或， 因为，所以（舍去）所以C的标准方程为． （2）设，，，，由题可知l的斜率不为零， 设l：，代入抛物线方程消去x，得，从而，①， 点F到直线PA与直线PB的距离相等，可得，故， ， 得，将①代入得，于是得， 因此存在符合条件的点P，且P点坐标为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线 知识梳理 1、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 要点诠释: (1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 (2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上，若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线. 2、抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 一般方程 说明 当抛物线的焦点在轴上时，可以设一般方程或者分类讨论设标准方程 当抛物线的焦点在轴上时，可以设一般方程或者分类讨论设标准方程 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 抛物线的通径：通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p。 3、直线与抛物线的位置关系 1.判断直线与抛物线的位置关系 联立方程，得 （1）当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于1点； （2）当时， ①直线和抛物线相交，有2个交点； ②直线和抛物线相切，有1个公共点； ③直线和抛物线相离，无公共点. 总结：直线与抛物线有一个交点时，有两种情况：相交（直线与对称轴平行或者重合）或者相切. 2.直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 4．必记结论 直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝. （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p. （3）＋为定值. （4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)． （5）以AB为直径的圆与准线相切． 典型习题 1、抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 2、抛物线的焦点到直线的距离是（       ） A． B．2 C．3 D．1 3、F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（       ） A． B． C．5 D．12 4、设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（　　） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2x 6．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8、已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 9．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 10．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 11、（多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ） A．准线方程为 B．焦点坐标 C．点的坐标为 D．的长为3 12．（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 13、（多选）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．的取值范围是 D．时，以为直径的圆经过点 14．已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 15、若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 16、已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为　　 ． 17. 已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______． 18、抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为 19、已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 . 20. 已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$