椭圆及其标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 ( 知识精讲 )知识点一　椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 知识点二　椭圆的标准方程和几何意义 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 图形 性质 范围 　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b] 　x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆. 知识点三　直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 4．弦长公式： 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝＝， 或|AB|＝ ＝＝． 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，通过直线与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的一元二次方程求得． 知识点四　常用结论 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. ( 典型习题 ) 1．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A． B． C． D． 【解析】设点到另一个焦点的距离为，由椭圆方程可知，， 则，所以.故选：D 2、椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可设椭圆C的标准方程为(a＞b＞0)，且另一个焦点为，所以2a＝|PF1|＋|PF2|. 所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的标准方程为.故选：D. 3. 若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A. ＋y2＝1　 B. ＋＝1　 C. ＋y2＝1或＋＝1 D. 以上答案都不对 【解析】 直线x－2y＋2＝0与两坐标轴交点分别为(－2，0)和(0，1)，当椭圆焦点为(－2，0)时，c＝2，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋y2＝1；当椭圆焦点为(0，1)时，c＝1，b＝2，a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋＝1，故选C. 4．椭圆与关系为（ ） A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相等的焦点 D．有相等的焦距 【解析】椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为， 椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，所以两椭圆的焦距相同，故选：D 5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数， 即，解得， 因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：C. 6、已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A. 　　　　　 B. C. D. 【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为. 7．（多选）若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为 【解析】由已知可得，解得或（舍去），， ∴长轴长为，短轴长为，离心率为，故选：AB. 8．（多选）已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【解析】圆与圆的圆心分别为：；， 则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值. 故选：AD. 9、已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 解析：如图(1)，由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2， 所以＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝， |PF2|＝.根据勾股定理得＋＝(2c)2，所以离心率e＝＝. 10．已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解：如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝，选D 11、如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为 (　　) A. 　　　　　　 B. C. D. 【解析】由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝8， 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49， 于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为，故选C. 12、（多选）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，下列结论正确的是　　 A． B．离心率 C．△面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 【解析】由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点为，，根据椭圆的定义，故正确； 离心率，故错误；所以△面积的最大值为，故错误； 由原点到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；故选：． 13、已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则(　　)． A． B． C． D． 解析：将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，，， 解得或(舍去)，故选：C． 14、椭圆的左顶点为A．点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【解析】，设，则， 则，故， 又，则，所以，即， 所以椭圆的离心率．故选：A． 15、已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. 解：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3. 16、已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 解：椭圆方程化为，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， ∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋. 17、已知点在椭圆上，若，分别为椭圆的左､右焦点，O为坐标原点且，则椭圆C的离心率为___________. 解：因为在椭圆C上，所以可得，即. 由，得，所以， 整理得，所以，即，.故答案为：. 18．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________. 【解析】如图,设又 , 由椭圆定义知, ,可得：即， 在中,由余弦定理可得, ，即. 即, 解得:. 故答案为: 19、已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积． 解析 (1)由已知得解得故椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D. 因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB， 即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则|AB|＝|x1－x2|＝＝3，又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝， 所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝。 20、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点. (1)若直线的倾斜角为时，求的值； (2)若点在第一象限，满足，求的值； (3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. (1)解：由椭圆，可得，则，所以， 又因为直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，解得，即. (2)解：设，可得， 因为，即，整理得， 由且，解得，即， 又由，所以直线的方程为，令，解得，即. (3)解：当直线l斜率不为0时，设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得， 则，且， 设，可得， 则 令，可得，解得，此时点，； 当直线斜率为0时，直线的方程为，， 若点，则成立；所以存在定点，使得是一个确定的常数 ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆及其标准方程 ( 知识精讲 )知识点一　椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 知识点二　椭圆的标准方程和几何意义 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 图形 性质 范围 　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b] 　x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆. 知识点三　直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 4．弦长公式： 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝＝， 或|AB|＝ ＝＝． 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，通过直线与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的一元二次方程求得． 知识点四　常用结论 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. ( 典型习题 ) 1．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A． B． C． D． 2、椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3. 若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A. ＋y2＝1　 B. ＋＝1　 C. ＋y2＝1或＋＝1 D. 以上答案都不对 4．椭圆与关系为（ ） A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相等的焦点 D．有相等的焦距 5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ） A． B． C． D． 6、已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A. 　　　　　 B. C. D. 7．（多选）若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为 8．（多选）已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 9、已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 10．已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 11、如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为 (　　) A. 　　　　　　 B. C. D. 12、（多选）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，下列结论正确的是　　 A． B．离心率 C．△面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 13、已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则(　　)． A． B． C． D． 14、椭圆的左顶点为A．点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 15、已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. 16、已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 17、已知点在椭圆上，若，分别为椭圆的左､右焦点，O为坐标原点且，则椭圆C的离心率为___________. 18．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________. 19、已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积． 20、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点. (1)若直线的倾斜角为时，求的值； (2)若点在第一象限，满足，求的值； (3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$