2.1 圆的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

圆的方程 ( 知识精讲 )知识点一　圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示． 3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 【疑难解读】 （1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． （2）几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 知识点二　点与圆的位置关系 1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外． （2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法． 知识点三　圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念： 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 . 【概念解读】 （1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点： ①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项． （2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明： 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－) D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 补充： 圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点四　圆的方程的求法 (1)圆的标准方程的求法 ①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​ ②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲 线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r. (2)圆的一般方程的求法 待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程； ②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值. 知识点五　与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 知识点六　与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)与圆的几何性质有关的最值问题 ①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r； ②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦； ③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最 小距离为d-r； ④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆. ( 典型习题 ) 1、两个点、与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【解答过程】将代入方程左边得， 则点在圆内，将代入方程左边得， 则点在圆外，故选：D. 2、已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故， 即，所以， 因为为直角三角形的直角顶点， 所以，故所求轨迹方程为．故选：C. 3、已知点，，动点满足，则动点轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【详解】， ， ，，又动点满足 ，两边平方后可得 整理后可得：，故选：A 4、若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】圆的标准方程为，其圆心为，半径为 因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为 即，故选：C. 5、若x，y满足，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．无法确定 【解题思路】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得. 【解答过程】由，可得， 表示以为圆心，以为半径的圆，设原点， ， 则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是 ．故选：C． 6．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由圆的一般式方程可得，即，求得，故选：A 7．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【解析】设圆的方程为， 由题意得，解得， 所以，又因为点在圆上，所以，即.故选：C. 8、若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则(|PA|2＋|PB|2)的最大值为（ ） A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8 解：不妨令A(－1,0)，则B(1,0)，设P(x,y). 由＝，则， 化简得：(x－2)2＋y2＝3为P的轨迹方程. ∴， 其中x2＋y2可以看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x,y)到点(0,0)的距离的平方， ∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4， ∴x2＋y2＋1的最大值为8＋4，即的最大值为8＋4. 故选：C. 9．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示： 作点关于x轴的对称点， 连接与圆相交于点，与x轴相交于点， 此时，的值最小，且， 由圆的标准方程得：点坐标为，半径， 所以，，所以最小值为9，故选：C 10、（多选）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则（ ） A．点的轨迹方程为 B．面积最大时 C．最大时， D．到直线距离最小值为 【详解】设，由得：，即， 化简可得：，即点轨迹方程为，A正确； 直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，，面积最大为，此时， ，B正确； 当最大时，则为圆的切线，，C错误； 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为，D正确. 故选：ABD. 11、圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 解：圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 12．已知，方程表示圆，则圆心坐标是________. 【解析】若方程表示圆，则有， 即，解可得：或， 当时，方程为，变形可得，表示圆心为，半径为5的圆， 当时，方程为，即，变形可得，不能表示圆，故圆心的坐标为；故答案为：． 13．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______. 【解析】如上图所示，以的中点为原点， 边所在直线为轴建立直角坐标系， 因为，所以，，设点， 因为，由正弦定理可得：，即，所以：，化简得：，且，， 圆的位置如上图所示，圆心为，半径， 观察可得，三角形底边长不变的情况下，当点位于圆心的正上方时，高最大， 此时的面积最大，点坐标为，所以，故答案为： 14．已知圆，点，若上存在两点满足，则实数的取值范围___________ 【解析】由题意，可得如下示意图， 令，由知：，又在上， ∴，整理得， 即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为， 半径分别为、，故当时符合题意，∴，即. 15、已知实数x，y满足方程，则 （1）的最大值和最小值分别为 和 ； （2）y－x的最大值和最小值分别为 和 ； （3）的最大值和最小值分别为 和 ． 【解析】程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆． （1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. （2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±， 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. （3）表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是. ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的方程 ( 知识精讲 )知识点一　圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示． 3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 【疑难解读】 （1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． （2）几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 知识点二　点与圆的位置关系 1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外． （2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法． 知识点三　圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念： 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 . 【概念解读】 （1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点： ①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项． （2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明： 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－) D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 补充： 圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点四　圆的方程的求法 (1)圆的标准方程的求法 ①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​ ②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲 线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r. (2)圆的一般方程的求法 待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程； ②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值. 知识点五　与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 知识点六　与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)与圆的几何性质有关的最值问题 ①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r； ②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦； ③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最 小距离为d-r； ④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆. ( 典型习题 ) 1、两个点、与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 2、已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3、已知点，，动点满足，则动点轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4、若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 5、若x，y满足，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．无法确定 6．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 8、若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则(|PA|2＋|PB|2)的最大值为（ ） A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8 9．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10、（多选）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则（ ） A．点的轨迹方程为 B．面积最大时 C．最大时， D．到直线距离最小值为 11、圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 12．已知，方程表示圆，则圆心坐标是________. 13．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______. 14．已知圆，点，若上存在两点满足，则实数的取值范围___________ 15、已知实数x，y满足方程，则 （1）的最大值和最小值分别为 和 ； （2）y－x的最大值和最小值分别为 和 ； （3）的最大值和最小值分别为 和 ． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$