2.1第2课时 圆的一般方程学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

第2课时　圆的一般方程 [学习目标]　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．(重点)3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题． 一、圆的一般方程的理解 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 知识梳理 1．圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(__________)叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为_____________，半径长为______________________. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 延伸探究　若原点在圆C：x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0外，求实数m的取值范围． 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． (3)若点(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上(内、外)，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0(<0、>0)． 跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________． (2)若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 二、求圆的一般方程 例2　已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标． 反思感悟　应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练2　圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________． 三、圆的一般方程的实际应用 例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)． 反思感悟　解应用题的步骤 (1)建模． (2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论． 跟踪训练3　一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6 m，侧墙EA，FD的高为2 m，弧顶高MN为5 m，试建立适当的直角坐标系，求圆弧所在圆的一般方程． 1．知识清单： (1)圆的一般方程的理解． (2)求圆的一般方程． (3)圆的一般方程的实际应用． 2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法． 3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件． 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜ B．m≤ C．m＜2 D．m≤2 3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________. 4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________. 第2课时　圆的一般方程 问题1　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 知识梳理 1．D2＋E2－4F＞0 2.　 例1　解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 延伸探究　 解　由已知得m2＋5m>0， 得m>0或m<－5， 又由例题知m<， 所以0<m<. 跟踪训练1　(1)， 解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)， 可化为2＋2＝， 故圆心坐标为，半径为. (2)9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3， ∴该圆的面积为9π. 例2　解　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 将A，B，C三点坐标代入上式得 解得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，即(x＋3)2＋(y－1)2＝25， ∴△ABC的外心即△ABC的外接圆圆心为(－3,1)． 跟踪训练2　x2＋y2－4x－4y－2＝0 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则圆心坐标为， 由题意知 解得所以所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 例3　解　以点O为坐标原点AB，OP所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)， 设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上， 所以解得 故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0， 将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m)． 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 跟踪训练3　解　设EF与MN交于点O，以点O为坐标原点，以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)，则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)． 设圆弧所在圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由圆心在y轴上，F(3，0)，M(0,3)在圆上，得 解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2＋6y－27＝0. 随堂演练 1．A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0， 则方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．A　[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜.] 3．－2 解析　由条件可知，直线2x－y＋3＝0经过圆的圆心(k，－1)， 则2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2. 4．4 解析　以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$