直线的位置关系与距离公式 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

直线的位置关系与距离公式 ( 知识精讲 ) 知识点一　两条直线平行 1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 【概念解读】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在. 【知识拓展】 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 知识点二　两直线垂直 1.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 【概念解读】对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【知识拓展】 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 知识点三　两条直线的交点 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 方程组的解是 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【概念解读】两直线相交的条件 (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 知识点四　两点间的距离 1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 2.【概念解读】两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝. 知识点五　点到直线的距离 1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度 2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 3．点到直线的距离公式需注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝. 4．点到几种特殊直线的距离 (1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 知识点六　两平行线的距离 1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度 2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离 d＝ 3.对平行线间的距离公式的理解 (1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. ( 典型习题 ) 1、已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和互相平行，则（ ） A． B． C．或 D．或 3．已知直线与直线垂直，则a＝（ ） A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1 4．点到直线距离的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 5、直线经过第一、三、四象限，则（　　） A． B． C． D． 6、若方程表示一条直线，则实数m满足（    ） A． B． C． D．且且 7、已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 8．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ） A．5 B．4 C． D．3 9．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 10．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 11．直线关于对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 12．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 15．已知实数m，n满足，则直线必过定点________________． 16．在中，，，，若的中点到的距离大于到的 距离，则实数的取值范围___________． 17．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________. 18．，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________． 19．若点P在直线上，点Q在直线上，线段的中点为，且，则的取值范围是____________． 20．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为__________. 21．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为_________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线的位置关系及距离公式 ( 知识精讲 ) 知识点一　两条直线平行 1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 【概念解读】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在. 【知识拓展】 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 知识点二　两直线垂直 1.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 【概念解读】对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【知识拓展】 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 知识点三　两条直线的交点 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 方程组的解是 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【概念解读】两直线相交的条件 (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 知识点四　两点间的距离 1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 2.【概念解读】两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝. 知识点五　点到直线的距离 1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度 2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 3．点到直线的距离公式需注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝. 4．点到几种特殊直线的距离 (1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 知识点六　两平行线的距离 1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度 2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离 d＝ 3.对平行线间的距离公式的理解 (1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. ( 典型习题 ) 1、已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ） A． B． C． D． 【解答过程】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为，令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，解得. 故选：D. 2．已知直线和互相平行，则（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】时，两直线显然不平行，时，则，解得或．故选：C． 3．已知直线与直线垂直，则a＝（ ） A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1 【解析】直线与直线垂直， 所以，解得或. 故选：D. 4．点到直线距离的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【解析】直线恒过点，, 点到直线距离， 即点到直线距离的最大值为. 故选：B 5、直线经过第一、三、四象限，则（　　） A． B． C． D． 解：直线经过第一、三、四象限，如图所示， 则，且，则．故选：B． 6、若方程表示一条直线，则实数m满足（    ） A． B． C． D．且且 解：当时，m＝1或m＝－1；当时，m＝0或m＝1. 要使方程表示一条直线，则，不能同时为0， 所以，故选：B. 7、已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 解：由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2， 又中点为，所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.故选：B. 8．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ） A．5 B．4 C． D．3 【解析】根据题意画出图像，如图所示： 根据图像可得：当，且，时， 与之间的距离为； 当，但是与不垂直，与不垂直时， 过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为； 因为，所以.故选：A . 9．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【解析】直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率，直线bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率 ，故直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选：C. 10．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【解析】表示关于轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点， 且，则根据图形可知．故选：A． 11．直线关于对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【解析】设所求直线上任意一点是关于直线的对称点， 则，解得, 由对称性得在直线上，, 即,故选：A. 12．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】直线方程变形得：. 由得，∴直线恒过点， ，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或， 又，∴或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为. 故选：C. 13．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题意，点到直线的距离为， 则， 其中，，所以当且仅当，时，取得最大值，即，故选：C 14．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 【解析】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC. 又AC＝＝a，|BC|＝＝a， 所以△ABC为直角三角形．故选：C 15．已知实数m，n满足，则直线必过定点________________． 【解析】由已知得，代入直线得， 即，由，解得，直线必过定点 16．在中，，，，若的中点到的距离大于到的 距离，则实数的取值范围_______________． 【解析】因为，可得，中点，由，，可得，所以直线，即直线的方程为，又由，，可得，所以直线，即直线的方程为，又到的距离大于到的距离，得，解得． 17．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________. 【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点， ∴设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0， 则a+b=2，即b=2﹣a≥0，得0≤a≤2， 由勾股定理可知===， ∵0≤a≤2，∴当a=1时，的距离，故答案为． 18．，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________． 【解析】由条件知直线过定点，直线过定点，所以， 又因为，所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，所以，故周长的最大值为 故答案为：①； ②. 19．若点P在直线上，点Q在直线上，线段的中点为，且，则的取值范围是____________． 【解析】设，则， 两式相加可得， 由于的中点为,所以， 且满足不等式，故的轨迹是一条线段， 表示点与原点连线的斜率，由图可知，或，由，解得， 由，解得，所以，，所以或. 所以的取值范围是 ，故答案为：. 20．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_____________. 【解析】因为中线CE所在直线方程为，所以可设， 由AC中点为，可得，所以， 为等腰直角三角形，CE为中线，,， ①，又是的中点，, ,，化简得： ②， 由①②解得，所以点,又因为，所以直线方程为, 即所求方程为. 21．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________. 【解析】设点，则，点B关于直线的对称点为， 则，解得，所以要使最短，则需最短， 而， 又，设，所以，所以， 所以当时（满足），取得最小值，最小值为， 所以的最小值为4，故答案为：4. 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