第三讲：认识有理数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第三讲：认识有理数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正数、0 和负数 1.用正数、负数表示具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用“+”来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用“－”来表示. 2. 正数： 像 +3， +1.8%， +7.5 这样的数叫作正数 .(正数前面的“ +”可以省略不写) 3. 负数：像 －28， －3.5%， －5.7， －2 这样的数叫作负数 . 4. 0 的意义： (1)0 既不是正数， 也不是负数；(2)0 是正数与 负数的分界；(3)0 不仅可以表示“ 没有”， 还可以表示特定意义，如 0 ℃ 表示一个确定的温度 . 知识点02：有理数 1. 整数:正整数、零、负整数统称为整数，例如：1，2，0， －3， －2等都是整数 . 2. 分数:正分数、负分数统称为分数，例如：1 ，0.19， －2.35，－ 等都是分数 . 3. 有理数:整数和分数统称为有理数 . 4. 几个常用数学名词的含义 (1)正整数：既是正数，又是整数的数 .(2)负整数：既是负数，又是整数的数 . (3)正分数：既是正数，又是分数的数 .(4)负分数：既是负数，又是分数的数 . (5)非负数：正数和 0. (6)非正数：负数和 0. (7)非负整数：正整数和 0.(8)非正整数：负整数和 0. (9)自然数：正整数和 0. 知识点03：相反数 1. 定义: 如果两个数只有符 号不同，那么称 其中一 个数 为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数 . 特别地，0 的相反数是 0. 2. 性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个 .正数的相反数是负数 .负数的相反数是正数 .0 的相反数是 0. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数 就是在这个数的前面加上“－”，即有理数 a 的相反数是 －a，其实质是改变这个数的符号 . 知识点04：绝对值 1. 定义 一个数的数量大小叫作这个数的绝 对值，如 2 和 － 2的绝对值都等于 2，0 的绝对值等于 0. 若 a 表示一个有理数，则 a 的绝对值记作 |a|，读作“ a 的绝对值” . 2. 性质  正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数 ； 0 的绝对值是 0.即： 知识点05：数轴 1. 定义:在一条水平直线上取一点(称为原点)表 示 0，选取 某一 长 度作为单位长 度，规定 这条直 线 上向右的 方向为正方向，那么相反方向就是负方向，像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴 . 2.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可； 知识点06：比较有理数的大小 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 . 比较两个负数的大小的步骤 2. 利用数轴比较有理数大小的法则 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 . 3. 根据数轴的特征“原点的右侧是正数，原点的左侧是负数”，容易得到有理数大小的比较法则： 正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数 . 考点1：有理数 【典型例题】 21．规定吨记为0吨，吨记为吨，那么下面说法不正确的是（   ）． A．8吨记为吨 B．吨记为吨 C．5吨记为吨 D．吨记为吨 【变式训练1】 下列各数，2.5，0，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】 一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 考点2：数轴 【典型例题】 如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A． B．1.8 C． D．2.2 【变式训练1】 公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【变式训练2】 数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 考点3：绝对值 【典型例题】 若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【变式训练1】 有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【变式训练2】 如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 考点4：有理数大小比较 【典型例题】 如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 若数在数轴上表示原点和原点左侧的点，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下面不具有相反意义的量是（    ） A．身高增加和体重增长3千克 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．前进和后退 2．在，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A． B． C． D． 4．如图，数轴上点A表示的数是（   ） A． B． C．3 D． 5．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 6．给出下列各数：．其中负数有（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 7．计算的结果等于（   ） A． B．1 C．2 D． 8．把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果向南走记为“”，那么向北走可以记为 m． 10．若一袋小麦质量比标准质量多记作，则比标准质量少记作 ． 11．在中，非负整数有 个． 12．在下面中填数，所填的数中， 更接近零． 13．如果数轴上的点A对应有理数为，那么在A点右侧且与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 ． 14．2025的相反数是 ． 15． （选填“”“”或“”）． 16．若，则 ， ． 三、解答题 17．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 18．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 19．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 20．给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第三讲：认识有理数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正数、0 和负数 1.用正数、负数表示具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用“+”来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用“－”来表示. 2. 正数： 像 +3， +1.8%， +7.5 这样的数叫作正数 .(正数前面的“ +”可以省略不写) 3. 负数：像 －28， －3.5%， －5.7， －2 这样的数叫作负数 . 4. 0 的意义： (1)0 既不是正数， 也不是负数；(2)0 是正数与 负数的分界；(3)0 不仅可以表示“ 没有”， 还可以表示特定意义，如 0 ℃ 表示一个确定的温度 . 知识点02：有理数 1. 整数:正整数、零、负整数统称为整数，例如：1，2，0， －3， －2等都是整数 . 2. 分数:正分数、负分数统称为分数，例如：1 ，0.19， －2.35，－ 等都是分数 . 3. 有理数:整数和分数统称为有理数 . 4. 几个常用数学名词的含义 (1)正整数：既是正数，又是整数的数 .(2)负整数：既是负数，又是整数的数 . (3)正分数：既是正数，又是分数的数 .(4)负分数：既是负数，又是分数的数 . (5)非负数：正数和 0. (6)非正数：负数和 0. (7)非负整数：正整数和 0.(8)非正整数：负整数和 0. (9)自然数：正整数和 0. 知识点03：相反数 1. 定义: 如果两个数只有符 号不同，那么称 其中一 个数 为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数 . 特别地，0 的相反数是 0. 2. 性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个 .正数的相反数是负数 .负数的相反数是正数 .0 的相反数是 0. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数 就是在这个数的前面加上“－”，即有理数 a 的相反数是 －a，其实质是改变这个数的符号 . 知识点04：绝对值 1. 定义 一个数的数量大小叫作这个数的绝 对值，如 2 和 － 2的绝对值都等于 2，0 的绝对值等于 0. 若 a 表示一个有理数，则 a 的绝对值记作 |a|，读作“ a 的绝对值” . 2. 性质  正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数 ； 0 的绝对值是 0.即： 知识点05：数轴 1. 定义:在一条水平直线上取一点(称为原点)表 示 0，选取 某一 长 度作为单位长 度，规定 这条直 线 上向右的 方向为正方向，那么相反方向就是负方向，像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴 . 2.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可； 知识点06：比较有理数的大小 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 . 比较两个负数的大小的步骤 2. 利用数轴比较有理数大小的法则 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 . 3. 根据数轴的特征“原点的右侧是正数，原点的左侧是负数”，容易得到有理数大小的比较法则： 正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数 . 考点1：有理数 【典型例题】 21．规定吨记为0吨，吨记为吨，那么下面说法不正确的是（   ）． A．8吨记为吨 B．吨记为吨 C．5吨记为吨 D．吨记为吨 【答案】A 【分析】本题考查了利用正负数表示具有相反意义的量，解题关键是搞清具有相反意义的量． 根据题意，以10吨为基准，超出部分记为正，不足记为负，以此求解． 【详解】解：规定吨记为0吨，吨记为吨，即基准为吨，超出部分为正，不足部分为负， 8吨比吨少2吨，应记为吨，而不是吨，故A错误，符合题意； 吨比吨多5吨，记为吨，故B正确，不符合题意； 5吨比吨少5吨，记为吨，故C正确，不符合题意； 吨比吨多8吨，记为吨，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 下列各数，2.5，0，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查负数的概念，根据小于0的数为负数进行判断即可． 【详解】解：，2.5，0，，，，中，负数有，，共3个； 故选：B． 【变式训练2】 一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数可以表示具有相反意义的量．根据一个物体向右移动为正，则负数表示向左移动． 【详解】解：根据题意向右移动为正， 一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米， 故选：C． 考点2：数轴 【典型例题】 如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A． B．1.8 C． D．2.2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴．根据数轴可知数轴上蘑菇盖住的点表示的数在与之间，且靠近，所以符合题意． 【详解】解：由数轴可知，数轴上蘑菇盖住的点表示数在与之间，且靠近， 数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是， 故选：A． 【变式训练1】 公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 【变式训练2】 数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点和数之间的对应关系．数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数；到原点的距离表示这个数的绝对值． 【详解】解：在数轴上，离原点3个单位长度的点表示的数是，在原点左侧的为负数，所以是； 故选：A． 考点3：绝对值 【典型例题】 若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 【变式训练1】 有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，表示数的点到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是； 故选A． 【变式训练2】 如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 考点4：有理数大小比较 【典型例题】 如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点大小问题，根据数轴上的数右边的数比左边的数大的性质，可得出答案. 【详解】解：∵数轴上的数右边的数比左边的数大， ∴数轴上的点大小关系为： ∴最大的是d. 【变式训练1】 若数在数轴上表示原点和原点左侧的点，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上的数的分布特点，根据数轴上点的位置确定数的范围即可. 【详解】解：数轴上原点表示0，原点左侧的点表示负数， 题目中数a表示原点和原点左侧的点，即a可以是0或负数， 因此a的取值范围是，选项C符合这一条件， 故选C 【变式训练2】 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 一、单选题 1．下面不具有相反意义的量是（    ） A．身高增加和体重增长3千克 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．前进和后退 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键． 根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 判断是否为相反意义的量需满足两点：意义相反且为同一种类的量． 【详解】相反意义的量需为同一属性且方向相反． A．身高增加和体重增长属于不同类别的量（身高与体重），无法构成相反意义，故此选项符合题意； B．节约与浪费均针对水的用量，是同一种类的量，具有相反意义的量，故此选项不符合题意； C．存入与支出均针对资金流动，是同一种类的量，具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D．前进与后退均针对方向，是同一种类的量，具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．在，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的定义，解题的关键是熟练掌握正负数的定义． 根据负数的定义，小于0的数为负数，逐一判断所给的各数即可． 【详解】题目中的四个数分别为： ：负数； ：正数； ：既不是正数也不是负数； ：负数． 其中负数为和，共2个． 故选：B． 3．某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度范围的表示方法，以为基准，允许上下浮动，计算最低和最高温度即可确定正确选项． 【详解】药品保存温度标注为， 表示最低温度为， 最高温度为． 由此可得保存温度范围为， 故项：B． 4．如图，数轴上点A表示的数是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查数轴所表示的数，解题的关键是熟知数轴的特点． 根据数轴的特点即可求解． 【详解】解：由数轴可知，数轴上点A表示的数是． 故选：D． 5．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 6．给出下列各数：．其中负数有（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，解题关键是熟练掌握符号的运算法则．结合“负负得正”，将各数逐一化简后，根据负数（小于0的数）的个数进行判断． 【详解】解：化简各数： ， ， ， ， ， 则化简后的数中，负数有、、，共3个． 故选：C． 7．计算的结果等于（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查多重符号的化简．根据“负负得正”的规则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 8．把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∵ ∴． 故选：B． 二、填空题 9．如果向南走记为“”，那么向北走可以记为 m． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵向南走记为“”， ∴向北走可以记为． 故答案为：． 10．若一袋小麦质量比标准质量多记作，则比标准质量少记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量， 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：∵一袋小麦质量比标准质量多记作， ∴比标准质量少记作． 故答案为：． 11．在中，非负整数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负整数是大于等于的整数，据此求解即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，非负整数有，，，，共个， 故答案为：． 12．在下面中填数，所填的数中， 更接近零． 【答案】 【分析】此题考查了数轴的认识和负数的意义，根据数轴上点表示的数写出结论即可． 【详解】解：如下图： 所填的数中，更接近零． 故答案为：． 13．如果数轴上的点A对应有理数为，那么在A点右侧且与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数轴及有理数，根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上的点A对应的有理数为， 则， 所以在A点右侧且与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为1． 故答案为：1． 14．2025的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：2025的相反数是， 故答案为：． 15． （选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确： ①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于负数；④两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数大小比较法则进行比较即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16．若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 三、解答题 17．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 18．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据正数大于负数即可比较大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴． 19．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 20．给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 【答案】(1) (2)见详解； 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； 【详解】（1）解：将3，，0，，，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： 学科网（北京）股份有限公司 $$