第24章 圆 第4课时圆周角暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级数学 上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第4课时圆周角 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 圆周角：顶点在　圆　上，并且两边都与圆　相交　的角叫做圆周角. 内容 图形 几何语言 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　一半　 ∵＝， ∴∠AOB＝2∠C(或∠C＝∠AOB) 推论1 同弧或等弧所对的圆周角　相等　 ∵＝， ∴∠ ACB ＝∠ ADB 　 1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做　圆内接多边形　，这个圆叫做这个多边形的　外接圆　. 2.圆周角定理的推论： 内容 图形 几何语言 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是　直角　；90°的圆周角所对的弦是　直径　 ∵AB是直径， ∴∠ACB＝　90°　 ∵∠ACB＝90°， ∴AB是　直径　 推论3 圆内接四边形的对角　互补　 ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋　∠C　＝180°， ∠B　＋　∠D　＝180° 知识点1：圆周角的定义 【例1】判断下列图形中的角是不是圆周角，是的打“√”，不是的打“×”. (1)　　 　(2) (3) (4) (　×　) 　　(　×　) 　(　√　) 　 　(　×　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：圆周角定理 【例2】如图，根据图中的条件求角α的度数. ①α＝　45°　；②α＝　30°　；③α＝　50°　. 知识点3：推论1 【例3】如图，点A，B，C都在⊙O上，D是 的中点，求证：∠CAD＝∠BCD. 证明：∵点D是 的中点， ∴ ＝ . ∴∠CAD＝∠BCD. 知识点4：推论2 【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠B＝60°，AB＝4.求BC的长度. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°. ∵∠B＝60°， ∴∠A＝90°－∠B＝30°. 又∵AB＝4， ∴BC＝AB＝2. 知识点5：推论2的综合运用 【例2】如图，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD. (1)判断△ABD的形状，并说明理由； (2)若弦AC＝6，求BC，AD，BD的长. 　解：(1)△ABD是等腰直角三角形. 　理由如下： 　∵AB为⊙O的直径， 　∴∠ADB＝∠ACB＝90°. 　∵CD是∠ACB的平分线， 　∴∠ACD＝∠BCD. 　∴＝.∴AD＝BD. 　∴△ABD是等腰直角三角形. 　(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝8. 　由(1)知AD＝BD. 　在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，即2AD2＝102. 　解得AD＝5(负值已舍去). 　∴BD＝AD＝5. 知识点6：推论3 【例3】如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比为 2∶4∶7，求四边形各内角的度数. 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，4x，7x. ∵∠A＋∠C＝180°， ∴2x＋7x＝180°.解得x＝20°. ∴∠A＝2x＝40°，∠B＝4x＝80°，∠C＝7x＝140°. ∴∠D＝180°－∠B＝100°. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中的角是圆周角的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.如图，四边形内接于，，连接、，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 连接，由圆周角定理得到，由圆心角，弧，弦的关系得到，于是得到，即可得到答案． 本题考查的是圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 【解答】 解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 3.如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  4.如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意得：， ． 故选：． 由题意得，再由圆周角定理求得的度数即可． 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 5.如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可． 【解答】 解：四边形为的内接四边形， ， 由圆周角定理得：， 四边形为菱形， ， ， 解得：， 故选：． 6.如图，是的直径，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 根据圆周角定理可进行求解． 本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 【解答】 解：  是  的直径，   ，   ，   ，   ，   ； 故选B． 7.如图，四边形内接于，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【解答】 解：四边形内接于，， ， 故选C． 8.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【解答】 解：是的直径， ， ， 又， ． 故选：． 9.如图，点、、是上三点，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 【解答】 解：， ． 故选． 10.如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：连接，如图， 平分， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 连接，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，所以，然后利用勾股定理计算的长． 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角也考查了勾股定理，圆周角定理． 二、填空题： 11.已知的半径为，弦，弦，则的度数为          ． 【答案】或  【解析】   12.如图，，，是上的三个点，若，则的度数为          ． 【答案】  13.已知的一条弦的长等于半径，则此弦所对的圆周角的度数为          ． 【答案】或  【解析】   14.如图，在圆内接四边形中，若，，的度数之比为，则的度数是          ． 【答案】  15.如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为          ． 【答案】  16.如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是          ． 【答案】  17.如图，四边形内接于，若它的一个外角，则另一个外角          ． 【答案】  18.如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦          ． 【答案】  19.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是          ． 【答案】  20.如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，以及坐标与图形性质．先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含的直角三角形的性质得到，，所以，，然后可得到点坐标． 【解答】 解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， 点坐标为，点坐标为， 点坐标为． 故答案为． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，四边形是的内接四边形，延长，交于点，且，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ，即是等腰三角形．  22.如图，是的外接圆，是的高求证：． 【答案】证明：方法一：作直径，连接，则，，． 方法二：作直径，连接，则，，证，． 方法三：作于点，连接，证即可．   23.如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 【答案】解：是直径， ， 在中，，，， ， ， 平分， ， ， ， 在中，， ， ．  24.如图，以为直径作半圆，是半圆的中点，是上一点． 求的度数； 若，，求的长． 【答案】(1)解：连接.为直径，为半圆的中点，，，.，；  (2)由（1）知，.，.过点作，交的延长线于点，则，.设，则，在中，，，解得（负值已舍去），，.  25.如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分求证：． 【答案】证明：与是同弧所对的圆周角，．平分，，．四边形内接于，．，，，．  26.如图，为的直径，弦，的延长线相交于点，且，求证：． 【答案】证明：如答图，连接． 为的直径， ，即． ，为的垂直平分线． ．   27.如图，的弦，的延长线相交于点，且求证：． 【答案】证明：连接，，，，即，，．  28.如图，，，，是上的四个点，，交于点，连接，求证：平分． 【答案】证明：，，，平分．  29.如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分，．      求证 平分，并求的大小； 过点 作交 的延长线于点 若，，求此圆半径的长． 【答案】证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； 解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是．  【解析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． 由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； 由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是． 30.已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点． 如，，求的半径长； 求证：． 【答案】解：连接设的半径为． ， ， 在中，， ， 解得． 证明：连接， 弦 ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ．  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，学会添加常用辅助线． 连接设的半径为在中，根据，构建方程即可解决问题； 连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可． 31.如图，，，都是的半径，． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠ACB＝4∠BAC．  又∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC．  (2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB． ∴AE＝BE．∵∠AOB＝2∠BOC，，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，．  在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴​​​​​​​．  在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，  OB2＝(OB-1)2+22，  解得，即⊙O的半径是．   32.如图，，，，是上的四个点，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】解：是等边三角形． 证明如下： ， ，． 是等边三角形  33.如图，四边形是的内接四边形，，，． 求的度数． 求的度数． 【答案】解：， ， ， ； ， ．  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中圆心角，弧，弦之间的关系． 先根据圆周角定理得到，则，然后根据三角形内角和计算的度数； 先根据圆周角定理得到，然后计算即可． 34.如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ； 由可知， ， 又， ， 设的半径为， ， ， 由勾股定理得：， 即， ， 的半径为．  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，解题时，利用了方程思想求得相关线段的长度． 根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明，根据圆心角、弧、弦之间的关系证明结论； 根据垂径定理求得，设的半径为，则，在直角中，根据勾股定理列出方程并解答． 35.如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． 求证：点为的中点； 若，，求的长； 若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点； 解：， ， 而， 为的中位线， ， ； 解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，如图， 则， 在中，， ， ， 的最小值为．  【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点； 证明为的中位线得到，然后计算即可； 作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第4课时圆周角 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 圆周角：顶点在　圆　上，并且两边都与圆　相交　的角叫做圆周角. 内容 图形 几何语言 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　 。 ∵＝， ∴∠AOB＝2∠C(或∠C＝∠AOB) 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 。 ∵＝， ∴∠ ACB ＝∠ ADB 　 1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做　圆内接多边形　，这个圆叫做这个多边形的　外接圆　. 2.圆周角定理的推论： 内容 图形 几何语言 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是　 　；90°的圆周角所对的弦是　 　 ∵AB是直径， ∴∠ACB＝　90°　 ∵∠ACB＝90°， ∴AB是　直径　 推论3 圆内接四边形的对角　 　 ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋　∠C　＝180°， ∠B　＋　∠D　＝180° 知识点1：圆周角的定义 【例1】判断下列图形中的角是不是圆周角，是的打“√”，不是的打“×”. (1)　　 　(2) (3) (4) (　 　) 　　(　 　) 　(　 　) 　 　(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：圆周角定理 【例2】如图，根据图中的条件求角α的度数. ①α＝　 ；②α＝　 　；③α＝　 　. 知识点3：推论1 【例3】如图，点A，B，C都在⊙O上，D是 的中点，求证：∠CAD＝∠BCD. 证明： 知识点4：推论2 【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠B＝60°，AB＝4.求BC的长度. 解： 知识点5：推论2的综合运用 【例2】如图，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD. (1)判断△ABD的形状，并说明理由； (2)若弦AC＝6，求BC，AD，BD的长. 知识点6：推论3 【例3】如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比为 2∶4∶7，求四边形各内角的度数. 解： 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中的角是圆周角的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，四边形内接于，，连接、，，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，是的直径，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形内接于，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 9.如图，点、、是上三点，，则等于(    ) A. B. C. D. 10.如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.已知的半径为，弦，弦，则的度数为          ． 12.如图，，，是上的三个点，若，则的度数为          ． 13.已知的一条弦的长等于半径，则此弦所对的圆周角的度数为          ． 14.如图，在圆内接四边形中，若，，的度数之比为，则的度数是          ． 15.如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为          ． 16.如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是          ． 17.如图，四边形内接于，若它的一个外角，则另一个外角          ． 18.如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦          ． 19.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是          ． 20.如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，四边形是的内接四边形，延长，交于点，且，求证：是等腰三角形． 22.如图，是的外接圆，是的高求证：． 23.如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 24.如图，以为直径作半圆，是半圆的中点，是上一点． 求的度数； 若，，求的长． 25.如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分求证：． 26.如图，为的直径，弦，的延长线相交于点，且，求证：．   27.如图，的弦，的延长线相交于点，且求证：． 28.如图，，，，是上的四个点，，交于点，连接，求证：平分． 29.如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分，．      求证 平分，并求的大小； 过点 作交 的延长线于点 若，，求此圆半径的长． 30.已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点． 如，，求的半径长； 求证：． 31.如图，，，都是的半径，． 求证：； 若，，求的半径．   32.如图，，，，是上的四个点，判断的形状，并证明你的结论． 33.如图，四边形是的内接四边形，，，． 求的度数． 求的度数． 34.如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． 求证：； 若，，求的半径． 35.如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． 求证：点为的中点； 若，，求的长； 若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$