第24章 圆 第3课时弧、弦、圆心角暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第24章《圆》第3课时弧、弦、圆心角 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 在同圆或等圆中： 弧、弦、圆心角的性质 图形 几何语言 ∵＝，∴AB＝CD，∠1＝∠2 ∵∠1＝∠2，∴＝，　AB＝CD ∵AB＝CD，∴ ＝ ，∠1＝∠2　 知识点1：弧、弦、圆心角之间的关系 【例1】如图，在⊙O中，B为的中点，∠AOB＝35°，则∠BOC＝　 　. 知识点2：运用弧、弦、圆心角的关系计算 【例2】(人教九上P85练习改编)如图，AB是⊙O的直径，＝＝ ，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为　 　. 知识点3：运用弧、弦、圆心角的关系证明 【例3】(人教九上P123改编)如图，D，E分别是半径OA，OB的中点，CD＝CE.求证 ：＝. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，若是的中点，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列图形中的角是圆心角的是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中，正确的是(    ) A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 等弧所对的弦相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 相等的弦所对的弧相等 4.如图，在中，，则与的关系是(    ) A. B. C. D. 不能确定 5.如图，在中，为的中点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 与的大小不能确定 6.如图，是的直径，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，，是的直径，若，则和的度数分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.如图，的半径等于，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为(    ) A. B. C. D. 9.下列图形中，为圆心角的是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题 10.如图，是的直径，点，在上，若，则           ． 11.如图，是的直径，，，则           ． 12.如图，，是的两条弦． 如果，那么          ，          ； 如果，那么          ，          ； 如果，那么          ，          ． 13.如图，，是半径为的上的两点．若，是的中点，则四边形的周长等于          ． 14.如图，和是的直径，弦，若弦，则弦          ． 15.在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为          ． 16.在中，弦，圆心角，则的直径为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.如图，在中，求证：． 18.如图，在中，求证：． 19.如图，是的直径，，分别是，的中点，，求证：． 20.如图，在中，为的中点，于点，于点求证：． 21.如图，在中，弦，求证：． 22.如图，在中，，求证：． 23.如图，，是的两条弦，且求证：． 24.如图，，，分别是半径，的中点．求证：． 25.如图，在中，，求证：． 26.如图，，是的两条弦，，，，垂足分别为，求证：． 27.如图，，，，在上，求证：． 28.如图，，是以为直径的上的两点，且求证：． 29.如图，，求证：． 30.如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；   ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第24章《圆》第3课时弧、弦、圆心角 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 在同圆或等圆中： 弧、弦、圆心角的性质 图形 几何语言 ∵＝，∴AB＝CD，∠1＝∠2 ∵∠1＝∠2，∴＝，　AB＝CD ∵AB＝CD，∴ ＝ ，∠1＝∠2　 知识点1：弧、弦、圆心角之间的关系 【例1】如图，在⊙O中，B为的中点，∠AOB＝35°，则∠BOC＝　35°　. 知识点2：运用弧、弦、圆心角的关系计算 【例2】(人教九上P85练习改编)如图，AB是⊙O的直径，＝＝ ，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为　 　. 知识点3：运用弧、弦、圆心角的关系证明 【例3】(人教九上P123改编)如图，D，E分别是半径OA，OB的中点，CD＝CE.求证 ：＝. 证明：∵D，E分别是半径OA，OB的中点， ∴OD＝OA，OE＝OB. 又∵OA＝OB，∴OD＝OE. 在△ODC与△OEC中， ∴△ODC≌△OEC(SSS). ∴∠AOC＝∠BOC. ∴＝. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，若是的中点，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.下列图形中的角是圆心角的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.下列说法中，正确的是(    ) A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 等弧所对的弦相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 相等的弦所对的弧相等 【答案】B  4.如图，在中，，则与的关系是(    ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】A  5.如图，在中，为的中点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 与的大小不能确定 【答案】C  【解析】解：连接．为的中点，．，故选C． 6.如图，是的直径，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  7.如图，，是的直径，若，则和的度数分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了弧的度数、对顶角、邻补角的知识． 首先根据对顶角和邻补角的知识求出，，然后根据弧的度数的概念求解即可． 【解答】 解：， ，， 的度数为，的度数为， 故选B． 8.如图，的半径等于，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于，由题意得． ， ． ， ， ， ． 故选：． 9.下列图形中，为圆心角的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题 10.如图，是的直径，点，在上，若，则           ． 【答案】  11.如图，是的直径，，，则           ． 【答案】  12.如图，，是的两条弦． 如果，那么          ，          ； 如果，那么          ，          ； 如果，那么          ，          ． 【答案】(1)​​​​​​​ ;∠AOB＝∠COD  (2)∠AOB＝∠COD​​​​​​​ ;AB＝CD  (3)​​​​​​​ ;AB＝CD  13.如图，，是半径为的上的两点．若，是的中点，则四边形的周长等于          ． 【答案】  14.如图，和是的直径，弦，若弦，则弦          ． 【答案】  15.在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为          ． 【答案】  16.在中，弦，圆心角，则的直径为          ． 【答案】  【解析】解：如图所示， 在中，圆心角，， 是等边三角形， ， 的直径． 故答案为：． 根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.如图，在中，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ．  18.如图，在中，求证：． 【答案】证明：法一：，，，即，； 法二：连接，，，，，，，即，．   19.如图，是的直径，，分别是，的中点，，求证：． 【答案】证明：连接，．，分别是，的中点，，．，．，，在和中， ，，．  20.如图，在中，为的中点，于点，于点求证：． 【答案】证明：连接．为的中点，，．，，．，，．  21.如图，在中，弦，求证：． 【答案】证明：，，，，．  22.如图，在中，，求证：． 【答案】证明：，，是等腰三角形．  又，为等边三角形，  ．  23.如图，，是的两条弦，且求证：． 【答案】证明：，，即．  24.如图，，，分别是半径，的中点．求证：． 【答案】证明：，分别是半径，的中点，，  又，．  25.如图，在中，，求证：． 【答案】证明：，，．  26.如图，，是的两条弦，，，，垂足分别为，求证：． 【答案】证明：如图，连接，，，，，，  又，．   27.如图，，，，在上，求证：． 【答案】证明：，，，，  即．  28.如图，，是以为直径的上的两点，且求证：． 【答案】证明：，，，．  29.如图，，求证：． 【答案】证明：， ，  ， 即， ．  【解析】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系定理结合已知条件证明，再次根据圆心角、弧、弦的关系定理可得答案． 30.如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；           ． 【答案】证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由知，即，据此可得答案； 由知，结合，可证，从而得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$