第24章 圆 第2课时垂径定理及推论暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第2课时垂径定理及推论 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图1－24－37－1，根据垂径定理写出几何语言： 图1－24－37－1 ∵CD是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E， ∴AE＝　BE　，＝ ，＝ . 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的题设和结论可分为五个部分： ①过圆心；②垂直于弦(不是直径)；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 若其中的两个成立，则其余三个也成立，习惯上说为“知二推三”. 如图1－24－38－1，根据垂径定理的推论写出几何语言： 图1－24－38－1 ∵直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE， ∴CD⊥　AB　，＝ ，＝ . 知识点1：运用垂径定理计算 【例1】，在⊙O中， OC⊥AB于点C. (1)若半径为5， OC＝3，则弦AB＝　 8　； (2)若弦AB＝12，OC＝3，则半径为　 3　； (3)若半径为13，弦AB＝24，则OC＝　5　.　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：垂径定理中的方程思想 【例2】如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1.求⊙O的半径. 解：如答图，连接OA. ∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝4. 设⊙O的半径为x，则OD＝x－1. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2， 即x2＝42＋(x－1)2.解得x＝. ∴⊙O的半径为. 　　　　　 知识点3：运用垂径定理证明 【例3】(人教九上P90改编)如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于点C，D.求证：AC＝BD. 　 证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，则OE⊥CD. 由垂径定理，得AE＝BE，CE＝DE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.　 知识点4：垂径定理推论的简单运用 【例1】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D.若OC＝1.5，AB＝4，求⊙O的半径. 解：如答图，连接OA. ∵C是AB的中点，OD是⊙O的半径， ∴OC⊥AB，AC＝AB＝2. 在Rt△ACO中，由勾股定理，得OA＝＝＝2.5. ∴⊙O的半径为2.5.　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点5：垂径定理及其推论的应用 【例2】 (人教九上P90改编)如图，一条公路弯道处是一段圆弧( )，点O是这条弧所在圆的圆心，过点O作OC⊥AB于点D，交于点C.已知AB＝120 m，CD＝20 m，求这段弯道的半径OC的长. 解：连接OA(图略). ∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝60(m). 设OC＝r，则OD＝r－20. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即r2＝602＋(r－20)2. 解得r＝100(m). ∴这段弯道的半径OC的长为100 m. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心．若，，则拱门所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.如图，是的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.如图，的直径，是的弦，，垂足为，：：，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， 的直径，：：， ，， ， ， ． 故选：． 连接，先根据的直径，：：求出及的长，再根据勾股定理可求出的长，进而得出结论． 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 4.如图，在中，，若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质及三角形内角和定理． 根据垂径定理和圆心角、弧、弦的关系定理及推论求出，那么，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数． 【解答】 解：在中，， ， ， ， ， ． 故选：． 5.如图，的弦垂直平分半径，若的半径为，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  6.下列语句中，正确的是(    ) A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧相等 D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 【答案】A  7.如图，的直径长为，弦，将沿翻折，点的对应点为，若，则的长为(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B  【解析】思路分析：分类讨论点在直径的延长线上和在直径上 解：当点在的延长线上时如图， 则，， ，在中，， 在中，； 当点在直径上时如图， 则，，，， 在中，． 综上所述：的长为或． 8.如图，在中，弦长，圆心到的距离是，则的半径是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  9.如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，垂径定理由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推出，进而得出答案． 【解答】 解：因为直径垂直于弦， 所以， 所以． 故选D． 10.如图，的半径为，于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 连接，证明为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可． 本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 二、填空题： 11.已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为          ． 【答案】或  12.已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为          ． 【答案】或  13.如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接若，，则的长为          ． 【答案】  14.如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则的长为          ． 【答案】或  15.如图，已知的半径为，是的弦，点在弦上若，，则的长为          ． 【答案】  16.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为          ． 【答案】  17.如图，是的直径，点在上，，垂足为已知，，则的长是          ． 【答案】  18.如图，在中，弦，为弦中点，的半径长为，则线段的长为          ． 【答案】  19.如图，在半径为的中，，弦于点，则等于          ． 【答案】  【解析】解：连接，如图， ，， ， 在中，． 故答案为：． 连接，如图，先利用垂径定理得到，然后根据勾股定理计算的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 20.如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可． 【解答】解：连接， 为的直径，， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ，解得：， 的半径为， 故答案为：． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，在中，直径，垂足为，，，求的半径． 【答案】连接设的半径为，在中，由勾股定理，得，即，解得的半径为  22.如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点．求证：． 【答案】证明：如图所示，过点作，垂足为，则，，，即．   【解析】作弦心距，利用垂径定理证明． 23.如图，，交于点，，是半径，且于点求证：． 【答案】证明：，．，，，，．  24.如图，在半径为的中，弦与弦垂直相交于点，连接若，求的值． 【答案】解：过点作于点，作于点，连接，，则，，在中，，，同理可得，，四边形是矩形，，，．  25.如图，在中，，是互相垂直且相等的两条弦，于点，于点． 直接写出四边形的形状是          ； 直线交于点，，若，求弦的长． 【答案】(1)正方形  (2)连接交于点，四边形是正方形，，，，，连接，则，在中，，.  26.如图，是的直径，弦于点，． 求的长； 连接，于点，求的长． 【答案】(1)解：连接，直径，，设，则，在中，，，，；  (2)连接，则在中，，，，. （另解：，，.）   27.如图，在中，，以为圆心，长为半径的圆交于，若，，求的长． 【答案】解：如图，作于， 在中，，，的面积，，解得，  由勾股定理，得，，．   28.如图，是的直径，弦于点，若，，求弦的长． 【答案】解：如图，连接． ， ． ， ．   在中，  ． ．  【解析】连接，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 29.如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为求的半径． 【答案】解：由题意，知， 垂径定理． 在中，由勾股定理，得 ．  30.如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点求的长． 【答案】解：过点作于点， 则， ，，， ， ， ， ，     【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 首先过点作于点，由，，，可求得的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得的长，由勾股定理求得的长，然后由垂径定理求得的长． 31.如图，是的直径，弦于点，连接，若，． 求的长度； 求的长度． 【答案】(1)解：∵CD⊥AB，∴．  (2)∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°．  在Rt△COE中，由勾股定理，得​​​​​​​．  32.如图，是的弦，，是直线上的两点，并且，求证：． 【答案】证明：如图，过作于，则． 又，，是的垂直平分线，．   33.如图，是的直径，弦于点，，，求的长． 【答案】解：弦于点，． ． 在中，，， ． ．   【解析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键． 根据垂径定理可得出的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度，再利用即可得出的长度． 34.如图，是的弦，半径于点，若，，求的半径的长． 【答案】解：连接， 半径于点，， ， 设，则 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得： 的半径的长为．   【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理，可得设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 35.如图，中，直径弦于，于，交于，连． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】证明：与是同弧所对的圆周角， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ； ，， 又， 设，则，， 连接，则， 是直角三角形，，，， ， 解得， ；  【解析】先根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质得出，故可得出，由全等三角形的判定定理得出≌，故可得出结论； 先根据的长，设，则，，，连接，则，在中根据勾股定理可得出的值，进而得出结论； 本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第2课时垂径定理及推论 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图1－24－37－1，根据垂径定理写出几何语言： 图1－24－37－1 ∵CD是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E， ∴AE＝　BE　，＝ ，＝ . 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的题设和结论可分为五个部分： ①过圆心；②垂直于弦(不是直径)；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 若其中的两个成立，则其余三个也成立，习惯上说为“知二推三”. 如图1－24－38－1，根据垂径定理的推论写出几何语言： 图1－24－38－1 ∵直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE， ∴CD⊥　AB　，＝ ，＝ . 知识点1：运用垂径定理计算 【例1】，在⊙O中， OC⊥AB于点C. (1)若半径为5， OC＝3，则弦AB＝　 　； (2)若弦AB＝12，OC＝3，则半径为　 　； (3)若半径为13，弦AB＝24，则OC＝　 　.　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：垂径定理中的方程思想 【例2】如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1.求⊙O的半径. 知识点3：运用垂径定理证明 【例3】(人教九上P90改编)如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于点C，D.求证：AC＝BD. 　 证明： 知识点4：垂径定理推论的简单运用 【例1】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D.若OC＝1.5，AB＝4，求⊙O的半径. 知识点5：垂径定理及其推论的应用 【例2】 (人教九上P90改编)如图，一条公路弯道处是一段圆弧( )，点O是这条弧所在圆的圆心，过点O作OC⊥AB于点D，交于点C.已知AB＝120 m，CD＝20 m，求这段弯道的半径OC的长. 解： 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心．若，，则拱门所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 2.如图，是的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 3.如图，的直径，是的弦，，垂足为，：：，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，若，则等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，的弦垂直平分半径，若的半径为，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 6.下列语句中，正确的是(    ) A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧相等 D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 7.如图，的直径长为，弦，将沿翻折，点的对应点为，若，则的长为(    ) A. B. 或 C. D. 或 8.如图，在中，弦长，圆心到的距离是，则的半径是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，的半径为，于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为          ． 12.已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为          ． 13.如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接若，，则的长为          ． 14.如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则的长为          ． 15.如图，已知的半径为，是的弦，点在弦上若，，则的长为          ． 16.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为          ． 17.如图，是的直径，点在上，，垂足为已知，，则的长是          ． 18.如图，在中，弦，为弦中点，的半径长为，则线段的长为          ． 19.如图，在半径为的中，，弦于点，则等于          ． 20.如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，在中，直径，垂足为，，，求的半径． 22.如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点．求证：． 23.如图，，交于点，，是半径，且于点求证：． 24.如图，在半径为的中，弦与弦垂直相交于点，连接若，求的值． 25.如图，在中，，是互相垂直且相等的两条弦，于点，于点． 直接写出四边形的形状是          ； 直线交于点，，若，求弦的长． 26.如图，是的直径，弦于点，． 求的长； 连接，于点，求的长． 27.如图，在中，，以为圆心，长为半径的圆交于，若，，求的长． 28.如图，是的直径，弦于点，若，，求弦的长． 29.如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为求的半径． 30.如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点求的长． 31.如图，是的直径，弦于点，连接，若，． 求的长度； 求的长度． 32.如图，是的弦，，是直线上的两点，并且，求证：．   33.如图，是的直径，弦于点，，，求的长． 34.如图，是的弦，半径于点，若，，求的半径的长． 35.如图，中，直径弦于，于，交于，连． 求证：； 若，，求的半径． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$