第一章 集合与常用逻辑用语 章末达标题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．集合满足，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设命题，则的否定为（ ） A． B． C． D． 4．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表： 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、多选题 8．(多选题)下列命题，错误的是（    ） A．空集没有子集 B．任何集合至少有两个子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若⌀⫋A，则A≠⌀ 9．已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的充要条件 C．命题“”的否定是“” D．若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 三、填空题 11．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 12．若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是 ． 13．“，”是假命题，则实数的取值范围为 . 14．已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ． 四、解答题 15．设集合． (1)若、，证明：． (2)如果集合整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由． 16．已知集合，或，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知集合，，． (1)若是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 19．集合如果存在一组两两不交的（两个集合交集为空集时，称为不交）非空子集、、…、，满足，则称子集组、、…、构成集合的一个划分．子集组：（），与子集组：（）的并集都是集合． (1)用列举法写出集合． (2)判断其子集组、是否分别是的划分与划分． (3)在子集组、中任取7个子集，求其并集中元素个数的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A A A C ABC AD CD 1．B 根据交集与并集的定义判断即可. 因为，故，又，故， 又，故，即集合中的元素个数为4. 故选：B 2．C 根据交集的定义计算可得. 因为，又， 所以. 故选：C 3．C 根据含有量词的命题否定方法求解. 因为命题，所以的否定为：. 故选：C. 4．A 根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 因为整数集，，所以，． 故选：A． 5．A 利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解. 由题意可知，， 或，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．A 先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可. 命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得. 故选：A 7．C 用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论． 用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图， 设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以． 故选：C． 关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值． 8．ABC 根据子集、空集、真子集的定义进行判断即可. A错，空集是任何集合的子集； B错，如⌀只有一个子集； C错，空集不是空集的真子集； D正确，因为空集是任何非空集合的真子集. 故选：ABC 本题考查了子集、空集、真子集的定义，属于基础题. 9．AD 根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可. 如图所示： 由图可得，故A正确；集合不是的子集，故B错误； ，故C错误；，故D正确． 故选：AD. 10．CD 是无理数，是有理数，A错； 时，，但，不是充要条件，B错； 命题的否定是：，C正确； “”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确． 故选：CD． 11． 根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解. 因为命题“”是命题“”的充分不必要条件， 所以集合真包含于集合， 又集合，集合， 所以. 故答案为： 12． 根据全称命题与特称命题，结合二次函数的性质，可得答案. 由命题是真命题，根据二次函数的性质，可得； 由命题为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得. 综上可得，. 故答案为： 13． 存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围. 由题意可知，“，”的否定是真命题， 即“，”是真命题， 当时，，不等式显然成立， 当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 14． 先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 因为，，所以或． 当时，或． 当时，关于x的方程有3个实数解， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为-1，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2)存在满足条件的，使得x与均属于集合B （1）令，，其中、、、，直接计算，然后根据计算结果进行判断即可. （2）设，计算，然后根据，可得，结合m、n互素，所以可得结果. （1）因为、，所以可设，，其中、、、．则． 由、、、，可知，，因此． （2）设，则（m、n互素）．于是 ． 若，则与是互素的整数．又m与n互素，可得．因此，当m、n互素，且时，且．如取，，得，． 因此，存在满足条件的，使得x与均属于集合B． 16．(1)或， (2) （1）将代入集合中的不等式得：， ∵或， ∴或，， 则； （2）∵，或， 当时，；此时满足， 当时，，此时也满足， 当时，，若，则，解得：； 综上所述，实数的取值范围为 17．(1) (2) （1）解：集合，， ∵是“”的充分条件， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是． （2）解：∵ 集合，，， ∴ ，， ∴ ， 解得， ∴ 实数的取值范围是． 18．(1) (2)或 （1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. （1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或. 19．(1)； (2)是； (3)40. （1）依题意，子集组：中的每个数是除以7余数是的前8个正整数，是前8个整除7的正整数， 子集组：中的每个数是除以8余数是的前7个正整数，是前7个整除8的正整数， 所以. （2）由（1）知，是非空集合，且两两不相交， ，所以子集组是的划分； 是非空集合，且两两不相交， ，所以子集组是的划分. （3）， ， ， ， ， ， ， ， 子集组、中任取7个子集，当7个子集来自于子集组时，并集中元素个数是56； 当7个子集来自于子集组时，并集中元素个数是49； 显然中任意一个集合与中任意一个集合有且只有1个公共元素， 当6个子集来自于子集组，1个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当5个子集来自于子集组，2个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当4个子集来自于子集组，3个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当3个子集来自于子集组，4个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当2个子集来自于子集组，5个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当1个子集来自于子集组，6个子集来自于子集组时，并集中元素个数是， 所以并集中元素个数的最小值是40，当且仅当子集组取3个，子集组中取4个时取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$