2.2充分条件、必要条件、充要条件（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

2.2 充分条件、 必要条件、充要条件 第二章 常用逻辑用语 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 教学难点： 会求（判定）某些简单命题的条件关系 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 会求（判定）某些简单命题的条件关系； 会判断、证明充要条件； 通过学习，弄清对条件的判断应该归结为什么。 课程目标 学科素养 数学抽象：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 逻辑推理：对命题真假的判断； 数学运算：通过命题之间的逻辑关系求参数的范围。 新知引入 命题、定理和定义 定理 定义 命题 新知引入 情境1：某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示. (1)开关闭合时灯一定亮吗？ (2)灯亮时开关一定闭合吗？ (1)一定亮. (2)不一定，还可能是开关闭合. 类似的推理在生活中还有很多，我们学习了本节内容后，运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就能更容易判断结果了。 新知探究 思考1：观察下列两个真命题的条件与结论间的关系 (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形； 平面内两条直线和均垂直于直线 思考2：观察下列两个假命题的条件与结论间的关系 (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； 两个三角形的周长相等这两个三角形全等(这两个三角形未必全等)； 若(还可以为 新知探究 一般地，当命题“若，则”为真命题时，我们就说“由可以推出成立”，记作“”，读作“推出”；如果命题“若，则”为假命题，就说“由不能推出成立”，记作“”，读作“不能推出”例如： （1），但； （2），但； （3），但 思考3：如果“”，那么，之间有怎样的关系？ 新知探究 充分条件和必要条件： 如果“”，那么称是的充分条件（， 也称是的必要条件（）。 辨析1. 填空： 如果，则是 命题. 真 ⇒ 是的 条件， 充分 是的 条件. 必要 若，则是 命题. 真 ， ⇒ 是的 条件， 充分 是的_____条件. 必要 新知探究 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ：小明是中国人， ：小明是江苏人. ： ， ： ， 所以不是的充分条件，不是的必要条件. ， 所以是的充分条件 ，不是的必要条件. 典例精析 例1：下列所给出的各组，中，是的充分条件的有哪些？ (1) ，； (2) ：四边形的对角线相等，：四边形是正方形. (3) ：同位角相等，：两条直线平行； (4) ：四边形是平行四边形，：四边形的对角线互相平分. 解： (1)因为，所以是的充分条件。 (2)因为，所以不是的充分条件。 (3)因为，所以是的充分条件。 (4)因为，所以是的充分条件。 典例精析 充分条件与必要条件的判断方法： 一般地，要判断“若，则”形式的命题中是否为的充分条件(或是否为的必要条件)，只需判断是否有“”即“若，则”是否为真命题. (1)如果“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件. (2)如果“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时不是的必要条件 典例精析 例2：下列所给出的各组，中，是的必要条件的有哪些？ (1) ，； (2) ：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； (3) ：同位角相等，：两条直线平行； (4) ：四边形是平行四边形，：四边形的对角线互相平分. 解： (1)因为，所以是的必要条件。 (2)因为，所以不是的必要条件。 (3)因为，所以是的必要条件。 (4)因为，所以是的必要条件。 练习巩固 练习1. 下列命题中，是否是的充分条件？ (1) (2)四边形的对角线相等，四边形是矩形； (3) 解： (1)∵时，，但 ∴，即不是的充分条件. (2)∵等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形 ∴，即不是的充分条件. (3)∵当时，成立， ∴，即是的充分条件. 练习巩固 练习1. 下列命题中，是否是的充分条件？ (4)无实根； (5)设 解： (4) ∵当时， 即无实根. ∴，即是的充分条件. (5)∵当时，满足. ∴，即是的充分条件. 练习巩固 练习2.下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4)若，则 (5)若，则 (6)若为无理数，则为无理数. 解： (1)(2)(4)中，所以是的必要条件 新知探究 问题1：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断是的必要条件吗？ 是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 新知探究 推理关系 条件关系 是的 充分不必要条件 是的 必要不充分条件 是的 充要条件 是的 既不充分也不必要条件 注意：不难发现，“”和“”都具有传递性，即： 如果，，那么； 如果，，那么。 例如：：四边形的对角线相等；：四边形是正方形，则 ，且，所以是的必要不充分条件，是的充分不必要条件。 典例分析 例3.指出下列命题中，是的什么条件： (1) ：两个三角形全等， ：两个三角形的对应角相等； (2) ：三角形的三边相等， ：三角形是等边三角形； (3) ：， ：； (4) ：， ：. 解： (1)因此，是的充分条件，但不是的必要条件. (2)是的充要条件 (3) ⇒ ，但 ，即是的必要条件，但不是的充分条件. (4)不是的充分条件，也不是的必要条件 练习巩固 练习3.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. 解： (2)， (4) 思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 新知探究 问题2：请在横线上填写“四边形是平行四边形”的一个充分条件. 若 ，则这个四边形是平行四边形. 思考：这样的充分条件唯一吗？ 问题3：请在横线上填写“平面内两直线平行”的一个必要条件. 若平面内两直线平行，则 . 思考：这样的必要条件唯一吗？ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 练习巩固 练习4.已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). .为二次函数 . .四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 .或 【答案】 变式4-1.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形； (3) 【答案】（1），（3） 练习巩固 变式4-2.设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】 变式4-3.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【答案】 练习巩固 练习5. 已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. 练习巩固 练习5.已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时， ∴是的充分不必要条件. • • • • • 练习巩固 练习5.已知 (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(3)∵是的必要不充分条件， ∴， ∴. ∴当时，是的必要不充分条件. • • • • • 练习巩固 应用充分条件或必要条件求参数取值范围的步骤： 1.首先，根据条件的充分性或必要性将问题转化为集合之间的关系； 2.然后，构建关于参数的不等式（组），并求解. :集合，:集合 是的充分条件 是的必要条件 练习巩固 变式5-1.已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. • • • • • 练习巩固 变式5-2.已知 (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(2)若是的必要不充分条件， 即但，亦即是的充分不必要条件， ∴， ∴.∴当时， ∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件. • • • • • 小结 推理关系 条件关系 是的 充分不必要条件 是的 必要不充分条件 是的 充要条件 是的 既不充分也不必要条件 集合表示 没有包含关系 充分条件、必要条件、充要条件 注意： “”和“”都具有传递性； 小范围推大范围，大范围推不出小范围 感谢聆听 要想获得真理和知识，唯有两件武器，那就是清晰的知觉和严格的演绎。 ——笛卡儿 $$