精品解析：云南省昆明市西山区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2024－2025年西山区八年级下学期数学期末测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式满足的条件是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②分母不含根号．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，故选项不是最简二次根式； B．，故选项不是最简二次根式； C．，被开方数含平方因数4，需化简，故选项不是最简二次根式； D．，被开方数2为质数，无法分解，且分母无根号，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4. 如图是一台自动测温记录仪测得中卫市冬季某天的气温T与时间t的图像，观察图像得到下列信息，其中错误的是（    ） A. 从14时至24时，气温随时间增长而下降 B. 凌晨4时气温最低，为 C. 从4时至24时，气温随时间增长而上升 D. 14时气温最高，为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据所给函数图象，逐一分析对应选项即可得到答案． 【详解】解：A、由函数图象可知，从14时至24时，气温随时间增长而下降，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，凌晨4时气温最低，为，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，从4时至24时，气温随时间增长先上升，后下降，原说法错误，符合题意； D、由函数图象可知，14时气温最高，为，原说法错误，符合题意； 故选：C． 5. 如图，四边形是平行四边形，其对角线，相交于点，下列理论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， 故只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（ ） A. 36米 B. 24米 C. 12米 D. 6米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知为三角形的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， 又∵米， ∴米． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的应用，理解并掌握三角形中位线的性质是解题关键． 7. 将直线向下平移2个单位长度，此时直线解析式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移规律，根据“上加下减”的原则直接求解即可． 【详解】解：∵平移后的直线解析式遵循“上加下减”的规律，即在函数表达式末尾减去平移的单位数； ∴将直线向下平移2个单位长度，平移后的解析式为；选项B正确， 故选：B． 8. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】A．∵， ∴ ∴是直角三角形，则A不符合题意； B．∵ ， ∴， 所以是直角三角形，则B不符合题意； C．∵， ∴ ∴不是直角三角形，则C符合题意； D．∵， ∴， ∴是直角三角形，则D不符合题意． 故选：C． 9. 课堂上，某同学制作了一个门框模型，就如何判断是矩形？下面四位同学分别给出建议： 甲：测量四个角是否相等；乙：测量四条边是否相等；丙：测量两条对角线是否相等；丁：验证是否是轴对称图形．其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：甲：四个角相等，则每个角都为90度，故四边形为矩形，符合题意； 乙：四条边相等的四边形可能为菱形，故错误，不符合题意； 丙：对角线相等的四边形可能为等腰梯形，故错误，不符合题意； 丁：轴对称图形可能为等腰梯形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 10. 下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（　　） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，0） D. （-2，0） 【答案】D 【解析】 【分析】将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点． 【详解】A、将（2，1）代入解析式y=2x+4得，2×2+4=8≠1，故本选项错误； B、将（-2，1）代入解析式y=2x+4得，2×（-2）+4=0≠1，故本选项错误； C、将（2，0）代入解析式y=2x+1得，2×2+4=8≠0，故本选项错误； D、将（-2，0）代入解析式y=2x+1得，2×（-2）+4=0，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析式成立者即为正确答案． 11. 如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先计算和，确定是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】由题意，得，， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 故选：B． 12. 若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握二元一次方程组的解就是两个二元一次方程转化为函数的图象的交点坐标是解题的关键． 先观察图象，找出两条直线的交点坐标，再写出方程组的解． 【详解】观察图象可得：直线和直线交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为：， 故选：A． 13. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ； 在和中， ， ， ， ； ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解决问题的关键． 14. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知， 则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选：A． 15. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围， ∴关于的不等式的解集 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 17. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了数据的波动，明确方差越小越稳定即可解题． 【详解】，，，， ， 成绩最稳定的是丙． 故答案为：丙． 18. 如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵菱形的周长是16， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形． 19. 如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由勾股定理可知：，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 三、解答题（本大题共8题，满分62分） 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减； （2）分别利用完全平方公式和二次根式的除法计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ＝ ＝； 【小问2详解】 解： ＝ ＝． 21. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b 八年级被抽取的学生得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对“不了解”的共有多少名？ 【答案】（1），，； （2）109名． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，利用样本估计总体，从扇形图与统计表中获取信息是解题的关键． （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有2人，可得的值； （2）由各年级的总人数乘以不了解的占比，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89， 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有， 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有， ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， ∴中位数， ∵被抽取的10名九年级学生的测试成绩出现次数最多的是78分，共出现3次， ∴被抽取的10名八年级学生的测试成绩的众数， ∵被抽取的10名八年级学生的测试成绩在非常了解的学生人数为（人）， ∴所占的百分比为，即， 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计这两个年级学生对“不了解”的共有名． 22. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，这两个取水点之间的距离为2.1千米，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长． 【答案】原来的路线的长为千米． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的应用，先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形．再得出是直角三角形．最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：在中，千米，千米，千米， ， ． 是直角三角形． 、、在同一条直线上 是直角三角形． ，，这两个取水点间距离千米，千米． 千米 在中，千米，千米 由勾股定理得 （千米）． 答：原来的路线的长为千米 23. 已知：如图，在中，，分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形为矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． ，分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 24. 阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，. (1)求△ABC的面积； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长. 【答案】(1)；(2)． 【解析】 【分析】（1）根据，S＝计算即可；（2）根据三角形面积公式求出CD的长即可. 【详解】(1)根据题意 ． ∴ ． (2)∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力以及三角形面积公式，利用海伦——秦九韶公式求出题中三角形的面积是解题的关键. 25. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》以创新手法重塑传统故事，结合世界级特效技术，不仅在国内创下票房纪录，更在全球引发热议．某漫画社准备购进“哪吒”毛绒玩具和“敖丙”钥匙扣共20个作为奖品奖励获奖学生，在某官方旗舰店看到“哪吒”毛绒玩具每个180元，“敖丙”钥匙扣每个70元．若设该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，购买奖品的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进“敖丙”钥匙扣的数量不超过“哪吒”毛绒玩具数量的3倍，则应购进“哪吒”毛绒玩具和“敖丙”钥匙扣各多少个使购买奖品的总费用最少？此时购买奖品的最少费用为多少元？ 【答案】（1）； （2）应购进“哪吒”毛绒玩具5个，“敖丙”钥匙扣15个，此时购买奖品的总费用的最小值为1950元． 【解析】 【分析】（1）该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，则“敖丙”钥匙扣个，根据费用=单价乘以数量，列出等式即可． （2）根据题意，得，确定x的取值范围，再根据，利用一次函数的性质，确定最值即可． 本题考查了函数解析式的表示，不等式的应用，一次函数性质求最值，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，则“敖丙”钥匙扣个， 根据题意，得， 整理，得． 【小问2详解】 解：该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，则“敖丙”钥匙扣个， 购进敖丙钥匙扣的数量不超过哪吒毛绒玩具数量的3倍， ， 解得： ， 随的增大而增大， 当，时，取得最小值，且为. 答：应购进“哪吒”毛绒玩具5个，“敖丙”钥匙扣15个，此时购买奖品的总费用的最小值为1950元． 26. 如图所示，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果的周长为30，且，求四边形的面积S． 【答案】（1）见解析； （2）四边形的面积S为30． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）由勾股定理可得，可得，再证明，结合菱形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：点是的中点 ． 又 四边形是平行四边形． 是直角三角形，，点是中点， 是斜边上中线 ． 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：的周长为30，即 又 ． 在中，由勾股定理得 ∴ ∴ ∴． ∵点D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ； 答：四边形的面积S为30． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的判定与性质，三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练的证明四边形是菱形是关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点A、C的坐标为，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）求线段的长度； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）如图，点Q在线段上，点P在线段上，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 【答案】（1）15 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据矩形 得到，利用勾股定理求线段的长度即可； （2）设，则，根据折叠的性质，得，由（1）得， 根据勾股定理，确定，设的解析式为，利用待定系数法解答即可； （3）不妨设，，根据四边形是平行四边形，，，构造方程组，解答即可． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，待定系数法，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式的应用，解方程组，熟练掌握性质和中点坐标公式的应用，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得． 【小问2详解】 解：设，则， 根据折叠的性质，得， 由（1）得， ∴， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为． 【小问3详解】 解：过点E作于点F， 设直线的函数表达式为：， 根据题意，得， 则， 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点E在直线上， 不妨设 ∴， 解得， ∴， 根据题意，不妨设，，的交点为M， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴或， 而两个点是同一个点，横坐标，纵坐标相同， ∴， 解得， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025年西山区八年级下学期数学期末测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一台自动测温记录仪测得中卫市冬季某天的气温T与时间t的图像，观察图像得到下列信息，其中错误的是（    ） A. 从14时至24时，气温随时间增长而下降 B. 凌晨4时气温最低，为 C. 从4时至24时，气温随时间增长而上升 D. 14时气温最高，为 5. 如图，四边形是平行四边形，其对角线，相交于点，下列理论一定成立是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（ ） A. 36米 B. 24米 C. 12米 D. 6米 7. 将直线向下平移2个单位长度，此时直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. ，， D. 9. 课堂上，某同学制作了一个门框模型，就如何判断是矩形？下面四位同学分别给出建议： 甲：测量四个角是否相等；乙：测量四条边是否相等；丙：测量两条对角线是否相等；丁：验证是否是轴对称图形．其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（　　） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，0） D. （-2，0） 11. 如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm 12. 若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（ ） A B. C. D. 13. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 14. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 15. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 17. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是______． 18. 如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________． 19. 如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若，则_____． 三、解答题（本大题共8题，满分62分） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 某校就“知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b 八年级被抽取学生得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对“不了解”的共有多少名？ 22. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，这两个取水点之间的距离为2.1千米，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长． 23. 已知：如图，在中，，分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 24. 阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，. (1)求△ABC的面积； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长. 25. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》以创新手法重塑传统故事，结合世界级特效技术，不仅在国内创下票房纪录，更在全球引发热议．某漫画社准备购进“哪吒”毛绒玩具和“敖丙”钥匙扣共20个作为奖品奖励获奖学生，在某官方旗舰店看到“哪吒”毛绒玩具每个180元，“敖丙”钥匙扣每个70元．若设该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，购买奖品的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进“敖丙”钥匙扣的数量不超过“哪吒”毛绒玩具数量的3倍，则应购进“哪吒”毛绒玩具和“敖丙”钥匙扣各多少个使购买奖品的总费用最少？此时购买奖品的最少费用为多少元？ 26. 如图所示，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果的周长为30，且，求四边形的面积S． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点A、C的坐标为，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）求线段长度； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）如图，点Q在线段上，点P在线段上，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$