精品解析：山东省德州市陵城区2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题

山东省德州市陵城区2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） －、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中不能组成直角三角形的选项是（ ） A. B. 3，4，5 C. 9，12，15 D. 2，3，4 2. 若式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是正比例函数的是 （ ） A. y=-8x B. y= C. y=5x2+6 D. y= -0.5x-1 4. 如图，在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当平分时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 5. 某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示： 则下列关于此足球队年龄的描述，正确的是（ ） A. 平均数是14岁 B. 众数为8人 C. 中位数为15岁 D. 方差为2 6. 已知等腰三角形周长为20．则底边长关于腰长的函数图象为（ ） A. B. C. D. 7. 某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了．如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线相交于点，点为边上一动点（不与点A，B重合），于点，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 9. 如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 10. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（ ） A. 只有① B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______ ． 12. 已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的解析式是______． 13. 如果直线和直线的交点坐标为，则不等式的解集是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点坐标为______． 15. 甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则甲、乙两车相距时，对应的值是______． 三、解答题（8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； 17. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 18. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 19. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF． 20. 如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且 AB=DE，∠A=∠D，AF=DC． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形， （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形． 21. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）请在轴上找一点，使得最小，并求出点的坐标． 22. A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t．D乡需要肥料260t．怎样调运可使总费用最少？ 23. 如图1，直线分别与，轴交于，B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D． （1）分别求直线和的函数表达式； （2）在线段上是否存在点E，使的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，P为x轴上A点右侧一动点，以P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省德州市陵城区2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） －、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中不能组成直角三角形的选项是（ ） A. B. 3，4，5 C. 9，12，15 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项分析即可求得答案． 【详解】解：A、，故该选项能构成直角三角形，不符合题意； B、 ，故该选项能构成直角三角形，不符合题意； C、 ，故该选项能构成直角三角形，不符合题意； D、 ，故该选项不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 2. 若式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件可知，被开方数必须非负，分母不为0，即，解不等式即可得到答案． 【详解】解：式子有意义， ， 解得， 故选：B． 3. 下列函数中是正比例函数的是 （ ） A. y=-8x B. y= C. y=5x2+6 D. y= -0.5x-1 【答案】A 【解析】 【详解】（A）y=-8x是正比例函数 （B）y=是反比例函数 （C）y=5x2+6 是二次函数 （D）y=-0.5x-1是一次函数 故选A 4. 如图，在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当平分时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、∵， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、∵时， ∴平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示： 则下列关于此足球队年龄的描述，正确的是（ ） A. 平均数是14岁 B. 众数为8人 C. 中位数为15岁 D. 方差为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，中位数和众数、方差．注意找中位数时一定要先按大小排列，再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果是奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则正中间两个数的平均数为中位数．由条形统计图可知各年龄段的人数，从而可求得年龄的平均数、众数、中位数、方差，根据四个统计量的含义可以解释其意义． 【详解】解：足球队共有人， 平均数为：； 15出现次数最多，则众数为：15， 中位数为第11和12位的平均数，，， 则中位数为：， 方差为； 观察四个选项，选项C符合题意． 故选：C． 6. 已知等腰三角形的周长为20．则底边长关于腰长的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再利用三角形三边关系求得，据此判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 7. 某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了．如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案． 【详解】解：因为油箱容量为50 L的汽车，加满汽油后行驶了200 km时，油箱中的汽油大约消耗了，可得：×50÷200＝0.0625L/km，50÷0.0625＝800（km）， 所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y＝50−0.0625x，0≤x≤800， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题． 8. 如图，菱形的对角线相交于点，点为边上一动点（不与点A，B重合），于点，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，，    ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 9. 如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 10. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（ ） A. 只有① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形MPEB是平行四边形但不是菱形，最后再证明四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形， ∵， ∴∠APF＝∠APE＝90°， ∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴EF是△BCD的中位线，CE＝BC，CF＝CD， ∴ CE＝CF， ∵∠C＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EFBD，EF＝BD， ∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°， ∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形， ∴AO＝BO，AO＝DO， ∴BO＝DO， ∵M，N分别为BO，DO的中点， ∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO， ∴OM＝BM＝ON＝ND， ∵∠BAO＝∠DAO＝45°， ∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM， 连接PC，如图， ∴NF是△CDO的中位线， ∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND， ∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°， ∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°， ∴四边形FNOP是矩形， ∴四边形FNOP是正方形， ∴NF＝ON＝ND， ∴△DNF是等腰直角三角形， ∴图中的三角形都是等腰直角三角形； 故①正确， ∵PEBM，PE＝BM， ∴四边形MPEB是平行四边形， ∵BE＝BC，BM＝OB， 在Rt△OBC中，BC＞OB， ∴BE≠BM， ∴四边形MPEB不是菱形； 故②错误， ∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°， ∴△MOP≌△CPF（SAS）， ∴ ， 故③正确， 故选：C 【点睛】此题考查了七巧板，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，根据题意可知这两个最简二次根式是同类二次根式，然后列出方程求解即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的解析式是______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：设函数解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式为． 13. 如果直线和直线的交点坐标为，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系和一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质，确定直线的上下关系，再利用这个关系求不等式的解集． 【详解】∵， ∴直线比直线陡，都从左到右上升， ∵直线和直线的交点坐标为， ∴在交点的左边，直线在直线的下面， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，过作轴于点，，结合正方形的性质可证明，得到，，进而求出，再求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点， 则， ， ， ，， 四边形是正方形， ，，， ， 和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则甲、乙两车相距时，对应的值是______． 【答案】5：50或6：15或8：45或9：10 【解析】 【分析】根据题意求出两车的速度，再列方程解答即可． 【详解】解：由图示知：A，B两城相距300km，甲车从5：00出发，乙车从6：00出发；甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B城； 乙车的平均速度为：300÷（9-6）=100（km/h）， 甲车的平均速度为：=60（km/h）， 设甲车出发x小时后两车相距50千米， 根据题意，得60x=50或60x-100（x-1）=50或100（x-1）-60x=50或60x=250， 解得x=或x=或x=或x=， 即甲、乙两车相距50km时，对应t的值是5：50或6：15或8：45或9：10． 故答案为：5：50或6：15或8：45或9：10． 【点睛】本题考查了一次函数的应用．主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，理解横、纵坐标的实际意义是解题的关键． 三、解答题（8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再和并，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除，即可求解； （3）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再和并，即可求解． 小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 17. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1）四边形的面积为，四边形的周长为 （2）是直角，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可； （2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知：四边形的面积； 由勾股定理，得：， ， ∴四边形的周长为：； 【小问2详解】 是直角，理由如下： 连接，由勾股定理，得：， 由（1）知：，， ∴； ∴是直角． 18. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】（1）5；2；75 （2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义． （1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值； （2）根据中位数和平均数的意义即可求解； （3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； 【小问2详解】 解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； 【小问3详解】 解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 19. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF． 【答案】见详解． 【解析】 【分析】先取AB的中点H，连接EH，根据和四边形ABCD为正方形，得出，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出，最后根据CF是的角平分线，得出，从而证明，即可得出． 【详解】证明：取AB的中点H，连接EH 四边形ABCD是正方形 E是BC的中点，H是AB的中点 CF是的角平分线 在和中 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理、正方形的性质、角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题的关键． 20. 如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且 AB=DE，∠A=∠D，AF=DC． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形， （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）当AF=时，四边形BCEF是菱形． 【解析】 【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形. （2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值. 【详解】（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF. ∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE， ∴△ABC≌DEF（SAS）.∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF. ∴四边形BCEF是平行四边形． （2）解：连接BE，交CF与点G， ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形. ∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC=. ∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC． ∴，即.∴. ∵FG=CG，∴FC=2CG=， ∴AF=AC﹣FC=5﹣. ∴当AF=时，四边形BCEF是菱形． 21. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）请在轴上找一点，使得最小，并求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的位置图见解析，． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），先作点A关于x轴的对称点C，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线BC与x轴的交点坐标即为点P的坐标． 【详解】（1）由题意，将点，代入得：， 解得， 则一次函数的表达式为； （2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则， 由轴对称的性质得：， 则， 由两点之间线段最短可知，的最小值为， 则直线BC与x轴的交点即为所求的点P， 设直线BC的函数解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线BC的函数解析式为， 当时，，解得， 故点P的坐标为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短、点坐标与轴对称等知识点，较难的是题（2），正确找出点P的位置是解题关键． 22. A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t．D乡需要肥料260t．怎样调运可使总费用最少？ 【答案】从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨． 【解析】 【分析】设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，由总运费与各运输量的关系列出一次函数，再根据一次函数的增减性解题即可． 【详解】解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为 y＝20x＋25（200－x）＋15（240－x）＋24（60＋x） 化简得y＝4x＋10040（0≤x≤200） ∵k＝4＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y的最小值10040． 因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 23. 如图1，直线分别与，轴交于，B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D． （1）分别求直线和的函数表达式； （2）在线段上是否存在点E，使的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，P为x轴上A点右侧一动点，以P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为：，直线的解析式为 （2）存在，点E为 （3）点的位置不发生变化， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求解； （2）由三角形的面积关系可求点E纵坐标，代入解析式可求解； （3）由“”可证，可得，即可求解． 小问1详解】 解：直线的解析式为：且过点， ， ， ， ， 由已知得点D为， 设直线为，则有， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ， 将代入得 ∴点E为； 【小问3详解】 解：点的位置不发生变化．理由如下： 如图2中，过点作轴，设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$