精品解析：山东省威海市文登区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制）

2024~2025学年第二学期教学质量检测 初三数学 注意事项： 1.本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟． 2.答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡规定的位置上． 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 4.非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值. 5.写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 4. 若等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 5. 如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ） A. 正六边形 B. 矩形和正六边形 C. 三角形和矩形 D. 三角形和正六边形 8. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为正方形的对角线上一点，过点分别作于点，于点，连接．下列结论：；②；③；④是等腰三角形，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为_______． 12. 一元二次方程有一个实数根是，则的值为__________． 13. 若，则__________． 14. 放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具．如图，点的位置固定不变，在点，处装有画笔，当画笔沿图1运动时，画笔画出图形2，图形就放大了；反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，点的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上．若，则图1与图2的相似比为__________． 15. 如图，菱形的顶点在坐标系原点，顶点在轴正半轴上，，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为__________． 16. 如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，至点停止．当平分时，点运动的时间为__________s． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2）若，，求的值． 18. 解下列方程： （1） （2）用配方法解方程： 19. 【观察·发现】 填空： ①； ②； ③ ④__________； ⑤__________； ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 20. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图所示的大正方形，其面积可以表示为，同时其面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，故得到，即，进而求出方程的解． 请利用此法解方程 21. 如图，在四边形中，连接，，点是上一点，且．求证：． 22. 某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． （1）求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 23. 如图1，菱形对角线，交于点，点是的中点，连接并延长，过点作，交的延长线于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，求的长． 24. （1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期教学质量检测 初三数学 注意事项： 1.本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟． 2.答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡规定的位置上． 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 4.非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值. 5.写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由， 、与是同类二次根式，符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、不与是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 2. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段的定义：如果四条线段a、b、c、d满足，则四条线段a、b、c、d称为成比例线段．根据成比例线段的定义列式求解即可． 【详解】解：a、b、c、d是成比例线段， ， ， ， ， 故选：C． 3. 如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 若等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键，根据题意可得且，解得即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：， 故选：D． 5. 如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 7. 如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ） A. 正六边形 B. 矩形和正六边形 C. 三角形和矩形 D. 三角形和正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得：， ∴且， 故选：． 9. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形；根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据相似三角形求出，再计算求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积； 故选：C． 10. 如图，点为正方形的对角线上一点，过点分别作于点，于点，连接．下列结论：；②；③；④是等腰三角形，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长交于点H，M，根据正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，逐一进行判断即可． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴，故①，③正确； 如图，延长交于点H，M，， ∵， ∴， ∴， ∴；故②正确； 没有条件可以证明，或不一定是等腰三角形，故④错误， ∴正确的是①②③， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴n的最小值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 12. 一元二次方程有一个实数根是，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程求出m值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个实数根是， ∴， 解得， 故答案为：4． 13. 若，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，运用整体思想是解决本题的关键，需要注意的是：由于可能为0，因此求k的过程中，要分两种情况求解． 由可得，①，②，③，然后把三个式子相加，整理可得，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：由可得，， 得，， 整理可得， 当时，， ； 当时，， ． 故答案为：或． 14. 放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具．如图，点的位置固定不变，在点，处装有画笔，当画笔沿图1运动时，画笔画出图形2，图形就放大了；反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，点的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上．若，则图1与图2的相似比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握位似变换的性质．利用位似变换的性质求解． 【详解】解：如图，因为O，A，在同一直线上，连接． ∵， ∴， ∴， ∴图1与图2的相似比为， 故答案为： 15. 如图，菱形的顶点在坐标系原点，顶点在轴正半轴上，，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法． 连接，过点作轴于E，，由旋转的性质，易得，由菱形的性质，证得是等边三角形，即可得，，继而可求得为等腰直角三角形，再由勾股定理，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于E， 根据题意得：， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法． 16. 如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，至点停止．当平分时，点运动的时间为__________s． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角形的性质可证得，可求AD的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减法和乘法运算． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并； （2）根据已知条件算出和，再将变形为，代入计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ∵，， ， ． 18. 解下列方程： （1） （2）用配方法解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】​本题考查了因式分解法​、配方法​解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）通过移项使右侧为0，提取公因式，将方程转化为，再求解两个一元一次方程。 ​（2）先将二次项系数化为1（除以3），移常数项后配方（加一次项系数一半的平方），构造完全平方公式，最后开平方求解 【小问1详解】 解：移项： 因式分解：解： 或， 当时， 解得， 当时，​， 解得， ， 【小问2详解】 二次项系数化1，得，， 移常数项，得， 配方，得：， ， 开平方解： ， ， ​ 19. 【观察·发现】 填空： ①； ②； ③ ④__________； ⑤__________； ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ② 【解析】 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①略 ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 20. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图所示的大正方形，其面积可以表示为，同时其面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，故得到，即，进而求出方程的解． 请利用此法解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，按照记载的方法，正确构造大正方形，得出新的一元二次方程是解题的关键． 将变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形，得出，即可得出结果． 【详解】解：变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积为， 同时，图中大正方形的面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积， 即， ， 或， 解得：． 21. 如图，在四边形中，连接，，点是上一点，且．求证：． 【答案】 证明：如图，设交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．设交于点F，根据以及三角形内角和定理可得，再由，可得，可证明，即可求证． 【详解】略 22. 某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． （1）求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 【答案】（1）一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元 （2）2400元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）将型洗衣机的售价定为m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元； 【小问2详解】 解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元． 23. 如图1，菱形对角线，交于点，点是的中点，连接并延长，过点作，交的延长线于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 四边形为矩形， 证明：点E是的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，对角线，交于点O， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由是的中点且，根据AAS可证明，得到，利用对角线互相平分得到四边形为平行四边形，由菱形的性质可得，所以四边形AODF是矩形； （2）因为，由菱形性质可推得是的直角三角形，因为，所以，长度都可求；作于点H，由平行四边形对角线互相平分可知分别为线段，的中点，则为的中位线，且，可推得也为的直角三角形，则，长度可求，则可求，在中利用勾股定理即可求得线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，作于点H，则， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 24. （1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【答案】 （1）如图，交于， 四边形与四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中，， ， ∴， ， ，则 ， ； （2）； （3）260 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． （1）如图，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，即可得证； （2）同（1）可证，得，再结合三角形的内角定理，即可求得； （3）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得，，，，即可求解； 【详解】解：（1）略 （2）如图，交于， 四边形与四边形是菱形，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $