第23章《旋转》第9课时旋转章节复习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第23章《旋转》第9课时旋转章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：中心对称图形 1. 以下分别是回收、 节水、 绿色包装、 低碳四个标志， 其中是中心对称图形的是( C ) 2. 下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是( B ) 知识点2：旋转的基本性质 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD.若AE⊥CD.则旋转角是( D ) A. 25° B. 30° C. 45° D. 50° 4. 如图，将△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到△DEC.若AB＝5，BC＝3，则线段AE的长为　7　. 知识点3：关于原点对称的点的坐标 5.填空： (1)点(3，1)关于原点对称的点的坐标为　(－3，－1)　； (2)点(－3，1)关于原点对称的点的坐标为　(3，－1)　； (3)点(－3，0)与点(　3　，　0　)关于原点对称. 6. 已知点A(a，－2)，B(3，b)关于原点对称，则a－b的值为( C ) A. 3 B. －1 C. －5 D. －3　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点4：旋转作图 7. 如图，△OAB顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，－2)，将 △OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA′B′.请画出旋转后的△OA′B′，并写出点A′和点B′的坐标. 解：如答图，△OA′B′即为所作.A′(0，3)，B′(2，3). 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，解答下列问题： (1)画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标. 解：(1)如答图，△A1B1C1即为所作，A1(－2，－4). (2)如答图，△A2B2C2即为所作，A2(－4，2). 例题1. 如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置. (1)△ABP旋转的度数是　90°　； (2)连接PP′，则△BPP′的形状是　等腰直角三角形　； (3)若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长. 解：(3)∵P′B＝PB＝4，∠PBP′＝90°， ∴PP′＝4，∠BP′P＝45°. ∵∠BP′C＝∠BPA＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－45°＝90°. 在Rt△PP′C中，PP′＝4，P′C＝PA＝2， ∴PC＝＝＝6. 例题2. . 如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，AD，OB. (1)求证：△BCO≌△ACD； (2)若∠BOC＝150°，OB＝8，OC＝6，求△AOD的面积. (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴CB＝CA，∠ACB＝60°. ∵将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD， ∴CO＝CD，∠OCD＝60°. ∴∠ACB＝∠OCD. ∴∠BCO＝∠ACD. 在△BCO和△ACD中， ∴△BCO≌△ACD(SAS). (2)解：∵△BCO≌△ACD， ∴AD＝BO＝8，∠ADC＝∠BOC＝150°. ∵CO＝CD，∠OCD＝60°， ∴△ODC是等边三角形. ∴OD＝OC＝6，∠ODC＝60°. ∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°. ∴S△AOD＝AD·OD＝×8×6＝24. 例题3. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM. (1)求证：EF＝MF； (2)当AE＝1时，求EF的长. (1)证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°. ∵∠EDF＝45°， ∴∠MDF＝45°.∴∠EDF＝∠MDF. 在△DEF和△DMF中， ∴△DEF≌△DMF(SAS). ∴EF＝MF. (2)解：设EF＝MF＝x. ∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3， ∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4. ∴BF＝BM－MF＝4－x. 在Rt△EBF中，由勾股定理，得 EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2. 解得x＝. ∴EF的长为. 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查旋转的性质、多边形内角与外角 ，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 证明，推出即可解决问题． 【解答】 解：，， ， 四边形的内角和为 ， ， ． 故选D． 2.如图，在中，，，将绕顶点按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则线段的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.平面直角坐标系内，与点关于原点对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  4.如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【解答】 解：将绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ． 故选C． 6.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  7.如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  8.如图，为等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点若，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  9.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  10.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【解答】 解：， ， ， 将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 11.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是          ． 【答案】  12.如图，四边形和四边形都是边长为的正方形，点是正方形对角线的交点，正方形绕点旋转过程中分别交，于点，，则四边形的面积为          ． 【答案】  13.如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，当点恰好落在直线上时，线段的长度是          ． 【答案】或  【解析】【分析】 如图，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算，，和的长，根据线段的和差可得结论． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形，解题的关键是：作辅助线，构建等腰直角三角形和直角三角形． 【解答】 解：当在线段上时，如下图， 连接，过点作于点，则， 将正方形绕点逆时针旋转角 在中，由勾股定理得：， ． 当在线段的延长线上时，如下图， 连接，过点作于点，则， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为：或． 14.已知点与关于原点对称，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【解答】 解：点与关于坐标原点对称， ，， ． 故答案为：． 15.在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是          ． 【答案】  16.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标是          ． 【答案】  17.如图，以点为旋转中心，旋转后得到已知，，，则          ． 【答案】  18.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到若，则的度数是          ． 【答案】  19.如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结若，，，则四边形的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理逆定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质和旋转的性质． 连结，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，接着证明≌，得到，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用进行计算． 【解答】 解：连结，如图， 为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ≌， ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，， ． 故答案为． 20.如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质， 根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得． 【解答】 解：是绕点顺时针旋转后得到的图形， ，． ， ． ． 由三角形的外角性质得，． 故答案为． 三、解答题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.点与点关于原点对称，求，的值． 【答案】解：点与点关于原点对称，，，，．  22.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的长． 【答案】解：在中，，，绕点顺时针旋转得到，，是等腰直角三角形．．  23.如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，求的度数． 【答案】根据旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形，， ， ．   24.如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线上．求证：平分． 【答案】证明：将绕点旋转得到，，，，，，平分．  25.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． 将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； 将平移得到，若点的对应点的坐标为，求的面积． 【答案】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求．  (2)如图，△A1C1C2的面积．   26.如图，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： 画出关于轴对称的，并写出的坐标； 画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； 画出绕点旋转后得到的，并写出的坐标． 【答案】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(-2，2)．  (2)如图所示，△A2BC2即为所求，A2(4，0)．  (3)如图所示，△A3B3C3即为所求，A3(-4，0)． 27.如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点． 试判定四边形的形状，并说明理由； 已知，，求的长． 【答案】解：四边形是正方形，理由如下： 绕点逆时针方向旋转得到， ≌，， ， ， 在四边形中，，，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； 设． 则由以及题意可知：，，， 在中，， 即，解得：， ， ， 又， ．  【解析】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键． 根据旋转角的概念以及旋转的性质，先判定四边形是矩形，再根据邻边相等可判断该四边形是正方形； 设，则，，利用勾股定理即可求出，进而可求出的长． 28.如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，． 求的大小； 若，与交于点，求证：． 【答案】解：由旋转得≌， ，， ， ； ，， ，， ， ， ， ，， ≌， ．   【解析】本题考查了旋转的基本性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，属于中档题． 结合旋转的基本性质和三角形的内角和定理，可得出结果； 结合三角形的内角和定理，旋转的基本性质可得出，再通过证明≌，可得出结论． 29.如图，在中，，，是线段延长线上一点，连接，过点作于． 求证：． 将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接． 依题意补全图形； 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】证明：， ， ， ， ， ， ； 由题意补全图形如图所示： 过点作交于， ， ， ， ， 由知，， 在和中， ≌， ，， 在中，， ， ， 由旋转知，， ， ， ， ．  【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造出全等三角形是解本题的关键． 利用同角的余角即可得出结论； 根据题意补全图形； 过点作交于，进而判断出，即可判断出≌，得出，，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论． 30.在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、． 当点恰好在上时，如图，求的大小； 若时，点是边中点，如图，求证：四边形是平行四边形． 【答案】解：绕点顺时针旋转得到，点恰好在上， ，，， ， ， ； 证明：如图，延长交于点 在中， 点是边中点， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，为等边三角形， ，即 四边形是平行四边形．  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定． 如图，利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而利用互余计算出的度数； 如图，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含度角的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明≌得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 31.如图，已知正方形的边长为，点在边上点不与点，重合，，连接，将绕点顺时针旋转一个角度后与重合点的对应点记作点，连接，设交于点． 绕点旋转的旋转角是          ；是          三角形； 若的面积为，的面积为，求，的值； 求的长结果用含，的代数式表示． 【答案】(1)90 ;等腰直角  (2)由旋转性质，得CF＝AE＝b， ．∴ab＝12．  根据题意，得S梯形ABFD＝S正方形ABCD+S△BCF＝a2+6．  又​​​​​​​，∴，即a2+b2＝40．  又ab＝12，∴(a+b)2＝a2+b2+2ab＝64．∴a+b＝8（负值舍去）．∴解得或∵b＜a，∴a＝6，b＝2．  (3)根据题意，得．  又 ．∴．∴．  又．∴．   32.如图，已知和都是等腰直角三角形，． 如图，连接，，求证：； 若将绕点顺时针旋转， 如图，当点恰好在边上时，求证：； 当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】解：证明：， ， 在和中， ． 证明：如图，连接． 同可证， ，． ， ， 在中，． 是等腰直角三角形， ， ． 如图，设交于，过点作于． ， ， ，， ，与是等腰直角三角形， ， ，， ，， ， ； 如图，同法可证．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第23章《旋转》第9课时旋转章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：中心对称图形 1. 以下分别是回收、 节水、 绿色包装、 低碳四个标志， 其中是中心对称图形的是( ) 2. 下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是( ) 知识点2：旋转的基本性质 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD.若AE⊥CD.则旋转角是( ) A. 25° B. 30° C. 45° D. 50° 4. 如图，将△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到△DEC.若AB＝5，BC＝3，则线段AE的长为　　. 知识点3：关于原点对称的点的坐标 5.填空： (1)点(3，1)关于原点对称的点的坐标为　 　； (2)点(－3，1)关于原点对称的点的坐标为　 　； (3)点(－3，0)与点(　　，　　)关于原点对称. 6. 已知点A(a，－2)，B(3，b)关于原点对称，则a－b的值为( ) A. 3 B. －1 C. －5 D. －3　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点4：旋转作图 7. 如图，△OAB顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，－2)，将 △OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA′B′.请画出旋转后的△OA′B′，并写出点A′和点B′的坐标. 解： 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，解答下列问题： (1)画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标. 解： 例题1. 如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置. (1)△ABP旋转的度数是　 　； (2)连接PP′，则△BPP′的形状是　 　； (3)若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长. 解： 例题2. . 如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，AD，OB. (1)求证：△BCO≌△ACD； (2)若∠BOC＝150°，OB＝8，OC＝6，求△AOD的面积. 例题3. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM. (1)求证：EF＝MF； (2)当AE＝1时，求EF的长. 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，将绕顶点按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则线段的长是(    ) A. B. C. D. 3.平面直角坐标系内，与点关于原点对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 4.如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为(    ) A. B. C. D. 7.如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，为等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点若，则的长为  (    ) A. B. C. D. 9.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是          ． 12.如图，四边形和四边形都是边长为的正方形，点是正方形对角线的交点，正方形绕点旋转过程中分别交，于点，，则四边形的面积为          ． 13.如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，当点恰好落在直线上时，线段的长度是          ． 14.已知点与关于原点对称，则          ． 15.在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是          ． 16.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标是          ． 17.如图，以点为旋转中心，旋转后得到已知，，，则          ． 18.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到若，则的度数是          ． 19.如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结若，，，则四边形的面积为          ． 20.如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是          ． 三、解答题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.点与点关于原点对称，求，的值． 22.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的长． 23.如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，求的度数．   24.如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线上．求证：平分． 25.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． 将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； 将平移得到，若点的对应点的坐标为，求的面积．   26.如图，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： 画出关于轴对称的，并写出的坐标； 画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； 画出绕点旋转后得到的，并写出的坐标． 27.如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点． 试判定四边形的形状，并说明理由； 已知，，求的长． 28.如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，． 求的大小； 若，与交于点，求证：． 29.如图，在中，，，是线段延长线上一点，连接，过点作于． 求证：． 将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接． 依题意补全图形； 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 30.在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、． 当点恰好在上时，如图，求的大小； 若时，点是边中点，如图，求证：四边形是平行四边形． 31.如图，已知正方形的边长为，点在边上点不与点，重合，，连接，将绕点顺时针旋转一个角度后与重合点的对应点记作点，连接，设交于点． 绕点旋转的旋转角是          ；是          三角形； 若的面积为，的面积为，求，的值； 求的长结果用含，的代数式表示．  32.如图，已知和都是等腰直角三角形，． 如图，连接，，求证：； 若将绕点顺时针旋转， 如图，当点恰好在边上时，求证：； 当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$