第23章 旋转 第7课时旋转模型——手拉手暑假预习课 2025-2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第23章《旋转》第7课时旋转模型——手拉手 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.手拉手基本图形：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD. 特征：四线共点，两两相等，夹角相等. 结论：△OAC≌△OBD(SAS). 2.常见图形： 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一：三角形手拉手 1. (1)如图①，△ABC和△ADE均是顶角为120°等腰三角形，求证：BD＝CE； (2)如图②，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数； (3)如图③，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°.将△ADE绕点A逆时针旋转，使得∠DEC＝90°，连接BE，作△ADE中DE的高AF，判断BE，CE，AF之间的数量关系，并说明理由. (1)证明：∵△ABC和△ADE均是等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE. ∵∠BAC＝∠DAE＝120°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD＝CE. (2)解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝∠ADE＝60°. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝180°－∠ADE＝120°. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS).∴∠AEC＝∠ADB＝120°. ∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120°－60°＝60°. (3)解：BE＝CE＋2AF.理由如下. ∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝135°. ∴∠ADB＋∠ADE＝180°.∴点B，D，E在同一直线上. ∵△ADE为等腰直角三角形，AF⊥DE，∴DE＝2AF. ∴BE＝BD＋DE＝CE＋2AF. 类型二：正方形手拉手 2. 已知边长为和3的两个正方形放置在直线l上，解答下列问题： (1)如图①，连接AD，CF，则AD与CF的数量关系为　AD＝CF　； (2)如图②，将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，试判断AD与CF的数量关系，并说明理由； (3)如图③，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，求CF的长. 解：(2)AD＝CF. 理由如下： 在正方形ABCO和正方形ODEF中，OA＝OC，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°， ∴∠AOC＋∠COD＝∠DOF＋∠COD，即∠AOD＝∠COF. 在△AOD和△COF中， ∴△AOD≌△COF(SAS). ∴AD＝CF. (3)如答图W7－1，连接DF交OE于点G，则DF⊥OE，DG＝OG＝OE. 　答图W7－1 ∵正方形ODEF的边长为， 在Rt△DOE中，OE＝＝＝2. ∴DG＝OG＝OE＝×2＝1. ∵正方形ABCO的边长为3， ∴AG＝OA＋OG＝3＋1＝4. 在Rt△ADG中，AD＝＝＝. 同(2)可得△AOD≌△COF. ∴CF＝AD＝. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.与都是等边三角形，连接，． 如图，当点，，在同一条直线上时，则________度； 将图中的绕着点逆时针旋转到如图的位置．求证：． 【答案】解：． 与都是等边三角形， ，，， ， ． 在和中， ≌， ．   2.已知：如图．和都是等边三角形．是延长线上一点，与相交于点、相交于点，、相交于点． 在图中，求证：； 当绕点沿逆时针方向旋转到图时，______． 【答案】证明：和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ，，， ≌， ； ．  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 根据等边三角形性质得出，，，推出，根据推出两三角形全等即可； 证明≌，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【解答】 见答案； 解：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ． 故答案为：． 3.如图，和都是等边三角形． 将绕点顺时针旋转到图的位置，连接，，若，则          ； 如图，将绕点顺时针旋转一定角度，使得点在的延长线上，，交于点，连接求证：平分． 【答案】(1)5  (2)证明：如解图，过点A作AM⊥BE于点M，作AN⊥CD于点N． ∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，EA＝CA，∠BAD＝∠EAC＝60°， ∴∠BAD＋∠DAE＝∠EAC＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC． 在△BAE和△DAC中，， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADC，即∠ABM＝∠ADN， ∵AM⊥BE，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°． 在△ABM和△ADN中，， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM＝AN， ∴FA平分∠BFC．   4.如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点，交于点． 求出的度数； 请在图中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由； 若将绕点转动到如图所示的位置，其余条件不变，中的结论是否还成立，试说明理由． 【答案】解：和都是等边三角形， ， 点、、在同一条直线上， ； ≌． 理由：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌； 中的结论还成立． 和都是等边三角形， ，，． ， ≌．  【解析】由等边三角形的性质得出，则可求出； 依据等边三角形的性质可得到，，，然后可证明，依据可证明≌； 中的结论还成立．证明方法同． 本题考查了旋转的基本性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，证得≌是解题的关键． 5.如图，与都是等边三角形，边长分别为和，连接，为高，连接，为的中点． 求证：≌； 将绕点旋转，当点在上时，如图，与交于点，连接，求线段的长； 连接，在绕点旋转过程中，求的最大值． 【答案】证明：如图中，与是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌； 解：如图中，为等边的高， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ； 解：如图中，取的中点，连接，． 为等边的中线， ， 由同理可得， 为的中点， 是的中位线， ， 在旋转过程中，， 而且当点在线段上时可以取到最大值， 的最大值．  【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 根据证明三角形全等即可； 证明垂直平分线段，推出，利用勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出； 取的中点，连接，，在旋转过程中，，而且当点在线段上时可以取到最大值． 6.如图，如果四边形和四边形都是正方形，那么将旋转某一角度后，能不能与重合？如果能重合，那么旋转中心是什么，旋转角的度数是多少？ 【答案】解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在中， ， 将旋转某一角度后，能与重合， 旋转中心是点，旋转角的度数是．  【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论． 本题考查旋转的基本性质，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质． 7.如图，，，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形．连接，． 探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 当正方形绕点在平面内顺时针转动到如图所示的位置时，线段和有何关系写出结论并证明． 【答案】猜想：，且证明如下： 延长与交于点． 和都是正方形， ，，． 在和中，，，， ， ，． 又，， ， ， 故，且． ，证明如下： 四边形、都是正方形， ，，， ， ， ，． 又，， ， ， ， ，．   【解析】【分析】猜想，且，延长与交于点，用证明，得出，，再证明，即可得出结论； 用证明，得出，，再根据对顶角相等和直角三角形两锐角互余，通过等量代换即可得出结论． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了正方形各边相等且各内角为的性质，本题中求证是解题的关键． 8.已知四边形和四边形都是正方形，且． 如图，连接、，求证：； 如图，如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，若正方形的边长是，求正方形的边长． 【答案】证明：四边形和四边形为正方形， ，，， ， ≌， ； 解：连接，延长交于， ， ， ． ， ， ． ，， ≌， ． 由可知， ， 为等边三角形， ， 正方形的边长是， ， ，， 垂直平分， ，， ，， ， ， 正方形的边长为．  【解析】结合正方形的性质利用证明≌，进而可证明结论； 连接，通过证明≌可得为等边三角形，可得，由正方形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，能证明相关三角形全等是解题的关键． 9.如图，若四边形、四边形都是正方形，显然图中有，； 当正方形绕旋转到如图的位置时，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 当正方形绕旋转到如图的位置时，延长交于，交于． 求证：； 当，时，求四边形的面积． 【答案】解：如图，成立成立， ， ， 在和中，， ≌， ； 如图，连接，交于， 同可证≌， ， ， ， ； ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形的面积．  【解析】如图，利用证≌即可； 如图，同样先证明≌，得出，而，从而，结论显然； 连接、，注意到，与的面积相等，于是考虑用等积变换，求出即可求出； 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 10.如图，四边形，都是正方形，、分别在、边上，已知． 求正方形的周长； 将正方形绕点逆时针旋转时，如图，求证：． 将正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点，设与的交点为． 求证：； 当时，求线段的长． 【答案】解：正方形的周长； 证明：四边形，都是正方形， ，， 将正方形绕点逆时针旋转， ， 在和， ， ≌， ； 证明：同可证得≌， ， 又， ， ； 解：连结交于点，连结，如图， 正方形绕点逆时针旋转， 与互相垂直平分，且在上， ， ， ， 在中，； ， ， ， ．  【解析】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和旋转的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算． 根据正方形的周长定义求解； 根据正方形的性质得，，再根据旋转的性质得，然后根据“”判断≌，则； 同可证得≌得到，而，根据三角形内角和定理即可得到，则； 连结交于点，连结，由于正方形绕点逆时针旋转，与互相垂直平分，且在上，由可得到，所以，然后根据勾股定理可计算出，则，接着利用可计算出，所以． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第23章《旋转》第7课时旋转模型——手拉手 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.手拉手基本图形：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD. 特征：四线共点，两两相等，夹角相等. 结论：△OAC≌△OBD(SAS). 2.常见图形： 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一：三角形手拉手 1. (1)如图①，△ABC和△ADE均是顶角为120°等腰三角形，求证：BD＝CE； (2)如图②，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数； (3)如图③，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°.将△ADE绕点A逆时针旋转，使得∠DEC＝90°，连接BE，作△ADE中DE的高AF，判断BE，CE，AF之间的数量关系，并说明理由. 类型二：正方形手拉手 2. 已知边长为和3的两个正方形放置在直线l上，解答下列问题： (1)如图①，连接AD，CF，则AD与CF的数量关系为　 　； (2)如图②，将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，试判断AD与CF的数量关系，并说明理由； (3)如图③，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，求CF的长. 解： 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.与都是等边三角形，连接，． 如图，当点，，在同一条直线上时，则________度； 将图中的绕着点逆时针旋转到如图的位置．求证：． 2.已知：如图．和都是等边三角形．是延长线上一点，与相交于点、相交于点，、相交于点． 在图中，求证：； 当绕点沿逆时针方向旋转到图时，______． 3.如图，和都是等边三角形． 将绕点顺时针旋转到图的位置，连接，，若，则          ； 如图，将绕点顺时针旋转一定角度，使得点在的延长线上，，交于点，连接求证：平分．  4.如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点，交于点． 求出的度数； 请在图中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由； 若将绕点转动到如图所示的位置，其余条件不变，中的结论是否还成立，试说明理由． 5.如图，与都是等边三角形，边长分别为和，连接，为高，连接，为的中点． 求证：≌； 将绕点旋转，当点在上时，如图，与交于点，连接，求线段的长； 连接，在绕点旋转过程中，求的最大值． 6.如图，如果四边形和四边形都是正方形，那么将旋转某一角度后，能不能与重合？如果能重合，那么旋转中心是什么，旋转角的度数是多少？ 7.如图，，，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形．连接，． 探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 当正方形绕点在平面内顺时针转动到如图所示的位置时，线段和有何关系写出结论并证明． 8.已知四边形和四边形都是正方形，且． 如图，连接、，求证：； 如图，如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，若正方形的边长是，求正方形的边长． 9.如图，若四边形、四边形都是正方形，显然图中有，； 当正方形绕旋转到如图的位置时，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 当正方形绕旋转到如图的位置时，延长交于，交于． 求证：； 当，时，求四边形的面积． 10.如图，四边形，都是正方形，、分别在、边上，已知． 求正方形的周长； 将正方形绕点逆时针旋转时，如图，求证：． 将正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点，设与的交点为． 求证：； 当时，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$