重难点培优03 利用导数证明不等式（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 利用导数证明不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 直接构造法证明不等式（★★★★★） 2 题型二 通过函数放缩证明不等式（★★★★★） 6 题型三 极值点偏移问题（★★★★★） 11 03 实战检测・分层突破验成效 19 检测Ⅰ组 重难知识巩固 19 检测Ⅱ组 创新能力提升 28 一、证明步骤 构造函数：将不等式进行变形，使不等式一边为0，另一边构造为一个新的函数，即若要证明f(x)>g(x)，可构造函数h(x)=f(x)−g(x)。 求导分析：对构造的函数h(x)求导，根据导数的正负判断函数的单调性。若h′(x)>0，则h(x)在相应区间上单调递增；若h′(x)<0，则h(x)在相应区间上单调递减。 利用最值证明：根据函数的单调性求出h(x)的极值或最值，若h(x)min>0，则可证明f(x)>g(x)；若h(x)max<0，则可证明f(x)<g(x)。 二、常见构造方法 直接构造法：如上述所说，直接将不等式f(x)>g(x)转化为f(x)−g(x)>0，构造函数h(x)=f(x)−g(x)进行证明。 适当放缩构造法：可根据已知条件适当放缩，也可利用常见的放缩结论。如对数形式x≥1+lnx(x>0)，指数形式≥x+1(x∈R)，进而得到不等式链。 三、含双参不等式证明： 转化：由已知条件找出双参满足的关系式，将含双参的不等式转化为含单参的不等式。 构造函数：构造关于单参的函数，利用导数判断函数单调性，求出最值。 回归证明：将求出的最值应用到双参不等式中，完成证明。 题型一 直接构造法证明不等式 1.已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，. (1)求函数的单调区间; (2)求证:； (3)设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为"A关联函数".求证：若与为"关联函数"，则. 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间； （2）根据题意分析可知：原不等式等价于，构建，利用导数求其最值，进而分析证明； （3）根据题意整理可得，利用基本不等式可得对任意都成立，取可得，构建，利用导数判断其单调性，进而判断其符号即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且. 当时，；当时，， 所以函数的单调增区间为，单调见区间为. （2）由（1）可知，故只需证. 由于，等价于. 令，则. 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在单调递增， 则，所以. （3）由题意知，对任意，存在， 满足，且，则， 即，即. 对于给定的，有， 当且仅当，即时，等号成立， 因此对任意都成立. 在上式中令，得. 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，可知满足不等式的. 题型二 通过函数放缩证明不等式 4.已知实数，函数（e为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间及最小值； (2)若对任意的恒成立，求实数a的值； (3)证明：． 【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是， (2)实数a的值为1 (3)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、由导数求函数的最值（含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间，根据单调性求最值； （2）若对任意的恒成立，即对a >0恒成立，即可求实数a的值； （3）根据（2）的结论得到，对不等式每一项进行放缩，再结合裂项相消计算即可. 【详解】（1）函数定义域为R，， 当时，若，得函数在上是增函数； 若，得函数在上是减函数． 则当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 即在处取得极小值且为最小值，最小值为． （2）若对任意的恒成立，等价为， 由（1）知，， 设，则， 由，得， 由，得，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减， 在处取得最大值，即，因此的解为．所以实数a的值为1． （3）证明：由（2）可知时恒成立，即，则． ， ． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键是根据前问得到，再进行适当放缩，结合数列求和证明. 5．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)已知对于恒成立，证明：当时，； (3)当时，不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求出的导数，将点横坐标代入导数求出切线的斜率，再写出切线的方程； （2）可设函数，借助导数，将区间分为和分别研究函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明； （3）构造函数，利用得到，从而求得参数的值，然后验证当时，为函数的极小值点即可. 【详解】（1）已知，则， 切线的斜率， 所以函数在点处的切线方程为. （2）由已知，，， 令，所以， ①当时， ，所以，而， 则，所以，函数在上单调递减，故； ②当时，构造函数，， 所以在区间上单调递增，，即. 由（1），所以 当时，，当且仅当时等号成立， 综上所述，对任意时，. （3）当时，不等式（）， 不妨设，即， 因为且，所以当时，取得最小值. 由于函数为可导函数，， 则为函数的极小值点，故，解得， 下面证明当时，为函数的极小值点， 由（2）问可知，当时，， 令，所以， 故函数在上单调递增，因为， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极小值点，满足题意. 综上所述，. 【点睛】含有指数或对数函数的不等式恒成立问题方法点睛：在证明不等式恒成立的题目中，可借助“”或“”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明. 6．设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）直接使用导数的几何意义求解切线斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对范围分类讨论. 【详解】（1）由于，故． 所以，所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为． （2）设，则，从而当时， 当时． 所以在上单调递减，在上单调递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当． 设，则． 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有． 一方面，若对任意，都有，则对，有， 取，得，故． 再取，得，所以． 另一方面，若，则对任意都有，满足条件． 综合以上两个方面，知a的取值范围是． （3）先证明一个结构，对，有， 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即． 由，可知当时，当时． 所以在上单调递减，在上单调递增．不妨设，下面分三种情况证明本题结论． 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有． 对任意的，设，则． 由于单调递增，且有， 且当时，由可知． 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时时，． 故在上单调递减，在上单调递增． ①当时，有； ②当时，由于，故可以取． 从而当时，由，可得． 再根据在上单调递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即． 根据和的任意性，取，就得到． 所以． 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得， ． 而根据的单调性，知或． 故一定有成立． 题型三 极值点偏移问题 7．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）对不等式参变分离，然后构造函数，利用导数求的最大值可解； （2）将变形为，构造函数，根据其单调性将方程转化为，再构造函数，利用导数讨论其性质，结合图象可得，构造函数，根据单调性，并令，可得，最后由作差整理可证. 【详解】（1）的定义域为， 由，得. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而. 故，即的取值范围是. （2）证明：由，得， 即，即. 设，则等价于. 易证在上单调递增，则，即. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，且， 当x趋于时，趋于0. 方程有两个不同的正实根，不妨设， 由图可知，. 设 则在上单调递增. 因为，所以，即. 设，则， 即，则. 因为方程有两个不同的正实根， 所以，作差得. 因为，所以，所以， 则，故. 8．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)的取值范围为；证明见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用定义及导数的计算法则计算即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【详解】（1）是，理由如下： 根据条件易知， 又，可得， 显然，符合“双中值函数”定义， 即函数是上的“双中值函数”； （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，且时，,时，， 所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，可证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 9.已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得； （2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围； （3）构造差函数，证明极值点偏移问题. 【详解】（1）定义域为，， 所以切线斜率为， 又，所以切线方程为，即. （2）， 定义域为，， ①当时，有恒成立，在上单调递增， 函数不可能有两个零点； ②当时，由，解得，由，解得， 故函数在上递增，在上递减． 因为， 故， 设，， 则，当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故， 即 ， 取，则. 因此，要使函数且两个零点，只需， 即，化简，得， 令，因为， 所以函数在上是单调递增函数， 又，故不等式的解为， 因此，使求实数a的取值范围是：. （3）因为，所以， 根据（2）的结果，不妨设，则只需证明， 因为在时单调递增，且，， 于是只需证明， 因为，所以即证， 记，， ， 所以在单调递增，则， 即证得，原命题得证. 10.设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证 检测Ⅰ组 重难知识巩固 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；     （2） （3）；   （4）当时， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】构造函数，即可根据单调性求解（1），根据，即可求导求解（2），根据求导即可判定（3），结合（1）的结论以及的单调性即可求解（4）. 【详解】（1）正确;因为令在上是增函数， 当时，，，即. （2）错误；因为令 时，单调递增，时，单调递减.与无法比较大小. （3）错误；因为， 时，单调递增，时，单调递减.所以无法确定的大小，故（3）错误， （4）正确;因为时，，单调递增， 又（1）正确， ， 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】对于①，由题意，进一步即可判断；对于②，将题目转换为只需证明，即可. 【详解】设，易知， 单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，所以，故①正确； 设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 又，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 下面证明，只需证， 由于，在上单调递减， 即证，即证. 设，， 因为，， 所以在上单调递增，所以， 故，即成立.故②正确. 故选：A 二、解答题 3．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，即可结合分类讨论求解， （2）根据函数的单调性可得最值点，即可代入求证. 【详解】（1）， ①若，恒成立，此时函数的单调递减区间为； ②若，令，得，令，得． 此时函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调减区间为， 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）由（1）得，函数在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 因为，所以， 即函数的最小值，所以． 4．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 5．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由题意得，令，根据的正负确定的单调性， 得，即得函数的单调性. （2）构造函数，其中，则， 令，得，从而可得在上单调递减，然后根据函数的单调性可得. 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 6．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，其中，其中． (1)当时，求的最小值； (2)若，其中在R上严格递增，则当时，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导得到函数的单调性，进而求得最小值； （2）转化为恒成立求出的范围，结合、可得答案． 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，在上严格递减； 当时，在上严格递增． 所以； （2）因为， 所以恒成立， 所以恒成立． 则由（1）可解在递增得：． 又因为，所以， 因为，所以，，．， 所以，． 7．若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系. (1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系； (2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围； (3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：. 【答案】(1)具有伯努利型关系，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、二项式定理与数列求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）直接用二项式定理即可证明结论； （2）构造并研究在上单调性，即可比较和的大小，进而得到的条件，从而确定的取值范围； （3）将不等式的左边化为，然后利用（2）中得到的结论，可以推知，再用裂项法证明即可. 【详解】（1）由于对任意，，有，故具有伯努利型关系. （2）条件具有伯努利型关系等价于，对任意的，，都有. 设，则. 当时，由，知对有，对有，所以在上单调递减，在上单调递增. 故此时对任意的都有，即，等号成立当且仅当； 当时，由，知对有，对有，所以在上单调递增，在上单调递减. 故此时对任意的都有，即，等号成立当且仅当； 当或时，容易验证此时对任意的都有. 以上结论表明，对任意的都有的充要条件是，从而条件等价于，即，所以的取值范围是. （3）由（2）的结论，当时，对任意，有，故对任意的正整数，有成立，从而，因此我们只需证明，下面证明此结论. 因为关于显然是递增的，所以我们可以不妨设，此时有 ， 所以，结论得证. 8．（25-26高三上·上海·单元测试）设函数，其中，曲线过点． (1)求a，b的值； (2)求证在时，恒大于零，其中； (3)证明：当时，． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）由题意分析求解即可； （2）利用导函数分析的单调性，证明即可； （3）令，当时，转化为，利用导函数证明即可. 【详解】（1）因为曲线过点． 所以，因为， 所以成立， 所以，； （2）， 因为，所以， 所以在严格递增， 所以，即； （3）令，即， ，， 由（2）证可知，所以在上严格递增， 所以，因为，所以，， 即，所以 9．已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据以及即可求得； （2）研究的单调性，得出即可； （3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可. 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 因切点为，则，则， 故 （2） 则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． （3）， 因对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.已知，. (1)求函数的单调区间； (2)若数列为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围； (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、分组（并项）法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）利用分组求和法求，代入不等式运算求解即可； （3）利用导数可求得当时，，结合根据函数的单调性分析证明. 【详解】（1）因为，定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为，则， 可得 ， ， 对于不等式：，即， 整理得， 所以使得不等式：成立的正整数的取值范围. （3）因为，的定义域为， 且恒成立， 且，所以当时，， 由（1）可知数在单调递减，在单调递增， 因为，所以，，，， 又因为，则，所以， 又因为在单调递减，所以， 即，即， 所以，则，所以. 2.若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”． (1)分别判断，是否为T函数，并说明理由； (2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：； (3)已知T函数的定义域为，不等式的解集为．证明：在上严格增． 【答案】(1)是“T函数”，不是“T函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，根据T函数的定义得到答案. （2）构造，确定函数单调递增，根据得到证明. （3），设，得到，恒成立，得到，再排除的情况得到证明. 【详解】（1），定义域为，则是在上严格单调递增函数，则是“T函数”； ，定义域为，则不是在上严格单调递增函数，则不是“T函数”； （2）定义在上的函数是T函数，则在上严格单调递增， 设，则， 故在上单调递增，故， 即， （3）T函数的定义域为，故在上严格单调递增， ，设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，故， 即， 当时，恒成立，则恒成立， 故， 若存在，使，则当时，， 这与，矛盾，故不存在使，故恒成立， 故在上严格增. 3.设函数，且对任意恒成立. (1)求的值； (2)求函数在上的最值； (3)设实数且，证明：. 【答案】(1)1； (2)函数在上的最大值为4，最小值为-16； (3)证明见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）令代入，即可求解；（2）求出导函数，研究单调性求出最值；（3）先证明出，分别把，代入，相加后整理即可证明. 【详解】（1）因为函数，且对任意恒成立 所以当时，有，即,解得：. （2）因为,故,. 令，解得：；令，解得：或； 所以函数在上单增，在上单减. 因为，，， 所以函数在上的最大值为4，最小值为-16. （3）由（1）知,故. 由（2）知，当时，. 所以. 当实数且，有. 所以，，， 相加得：. 即证. 4.已知函数，设，. (1)若在上有解，求的取值范围； (2)若，证明：当时，成立； (3)若恰有三个不同的根，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】（1）常数分离法，转化为有解，用导数求的最小值即可； （2）即证在时恒成立，用导数求左边函数的最小值; （3）确定是先减后增，要使有三根，要满足，从而，可将表示为的函数，根据的范围，求得的范围. 【详解】（1）由题，在上有解，，所以有解 令，则， 而在上为增函数，所以， 即成立，所以在严格递增， 因而，即. （2）时，则， 令， 得，记， 则在时严格增， 因而，所以在时严格增， 因而 即在严格增，， 即在恒成立. （3）在定义域上递增 ①当时，， 而当时成立，且， 所以， 因而存在，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点.， 由，此时不可能有三个根. ②当时， 因而存在，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点.， 由，此时不可能有三个根. ③当时，在定义域上递增， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点.所以为最小值，此时不可能有三个根. ④当时，，存在，使得 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点， 而，所以 由 由有三个根，得 由， 所以. 5.已知． (1)求函数的极值； (2)求证：对任意正整数n，有； (3)记，求整数a，使得． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)证明见解析； (3). 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、裂项相消法求和 【分析】（1）利用导数求函数的极值即可； （2）令且，利用函数单调性有，即可证结论； （3）令且，，同（2）证得，结合（2）结论，应用累加法可得，根据题设有，列不等式组求参数a的范围，即可得结果. 【详解】（1）由题设，又， 当，，即递减；当，，即递增； 所以的极小值为，无极大值. （2）令且，故，由（1）知：在上递增， 所以，即在上恒成立，得证. （3）由（2）知， 令且，，故，由（1）知：在上递减， 所以，即，且，， 则， 综上，，则， 若，则，故， 所以，而（用计算器）， 故正整数. 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，. (1)求函数的单调区间 (2)若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围 (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、分组（并项）法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）利用分组求和法求，代入不等式运算求解即可； （3）利用导数可求得当时，，结合根据函数的单调性分析证明. 【详解】（1）因为，定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为，则， 可得 ， ， 对于不等式：，即， 整理得， 所以使得不等式：成立的正整数的取值范围. （3）因为，的定义域为， 且恒成立， 且，所以当时，， 由（1）可知数在单调递减，在单调递增， 因为，所以，，，， 又因为，则，所以， 又因为在单调递减，所以， 即，即， 所以，则，所以. 7.若定义域为的函数满足是上的严格增函数，则称是一个“函数”. (1)分别判断，是否为函数，并说明理由： (2)设，若函数是函数，判断和的大小关系，并证明： (3)已知函数是函数，过可以作函数的两条切线，证明：. 【答案】(1)是“函数”；不是“函数”，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用定义直接判断各函数； （2）构造函数，可证在上单调递增，即可得证； （3）设切点，不妨设，由“函数”可知，，使，又，化简即可得证. 【详解】（1），得，是上的严格增函数， 所以是“函数”； ，得，不是上的严格增函数， 所以不是“函数”； （2）由函数是函数， 可知是上的严格增函数， 设，则， 所以在上单调递增， 所以， 即， 即； （3）过作函数的切线， 设切点为，不妨设 则， 由函数是“函数”， 所以是上的严格增函数， 所以， 则，使， 所以， 即， 化简可得. 8.已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1). (2)见解析. (3)见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时, ，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调区间. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【详解】（1）当时, ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设 则， 令得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以得证， 即得证. 9.已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. (1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求； (2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； (3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【知识点】利用导数证明不等式、判断或写出数列中的项、等比中项的应用、数列新定义 【分析】（1）根据题意确定，，计算得到答案. （2）确定，构造，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明. （3）确定，，根据得到，确定，再假设存在得到，整理得到，无解，得到答案. 【详解】（1），，，故， 则； （2），，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. （3），则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 10．已知数列满足. (1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列； (2)若，求证：； (3)对于（2）中的数列，求证： 【答案】(1)4； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）根据给定的递推关系及函数，求出，借助等差数列求出的表达式，并验证即可求解. （2）利用函数不等式放缩，借助构造法、累乘法求通项推理得证. （3）由（2）中数列，探求数列递增，并借助累加法得，再利用不等式放缩得，利用裂相消法求和推理即得. 【详解】（1）依题意，，而，则， ，要使数列为等差数列，则，即公差， 而，则，于是，解得， 显然，此时， 即对，恒有，因此数列是以为公差的等差数列， 所以当时，. （2）函数的定义域为，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， ，即，，，即， 当时，，显然时上式成立， 又，因此，所以. （3）由（2）知，而，则， ，显然，又函数是上的增函数，则可递推得， 当时，，于是， 当时，， 而，即，恒有， 因为当时，，则当时，，而 因此当时，，， ， 于是， 所以. 11.已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 利用导数证明不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 直接构造法证明不等式（★★★★★） 2 题型二 通过函数放缩证明不等式（★★★★★） 3 题型三 极值点偏移问题（★★★★★） 4 03 实战检测・分层突破验成效 5 检测Ⅰ组 重难知识巩固 5 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、证明步骤 构造函数：将不等式进行变形，使不等式一边为0，另一边构造为一个新的函数，即若要证明f(x)>g(x)，可构造函数h(x)=f(x)−g(x)。 求导分析：对构造的函数h(x)求导，根据导数的正负判断函数的单调性。若h′(x)>0，则h(x)在相应区间上单调递增；若h′(x)<0，则h(x)在相应区间上单调递减。 利用最值证明：根据函数的单调性求出h(x)的极值或最值，若h(x)min>0，则可证明f(x)>g(x)；若h(x)max<0，则可证明f(x)<g(x)。 二、常见构造方法 直接构造法：如上述所说，直接将不等式f(x)>g(x)转化为f(x)−g(x)>0，构造函数h(x)=f(x)−g(x)进行证明。 适当放缩构造法：可根据已知条件适当放缩，也可利用常见的放缩结论。如对数形式x≥1+lnx(x>0)，指数形式≥x+1(x∈R)，进而得到不等式链。 三、含双参不等式证明： 转化：由已知条件找出双参满足的关系式，将含双参的不等式转化为含单参的不等式。 构造函数：构造关于单参的函数，利用导数判断函数单调性，求出最值。 回归证明：将求出的最值应用到双参不等式中，完成证明。 题型一 直接构造法证明不等式 1.已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 2.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，. (1)求函数的单调区间; (2)求证:； (3)设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为"A关联函数".求证：若与为"关联函数"，则. 题型二 通过函数放缩证明不等式 4.已知实数，函数（e为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间及最小值； (2)若对任意的恒成立，求实数a的值； (3)证明：． 5．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)已知对于恒成立，证明：当时，； (3)当时，不等式，求的取值范围． 6．设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明． 题型三 极值点偏移问题 7．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 8．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 9.已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 10.设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；     （2） （3）；   （4）当时， A．1 B．2 C．3 D．4 2．在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、解答题 3．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求证：． 4．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 5．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 6．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，其中，其中． (1)当时，求的最小值； (2)若，其中在R上严格递增，则当时，求证：． 7．若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系. (1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系； (2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围； (3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：. 8．（25-26高三上·上海·单元测试）设函数，其中，曲线过点． (1)求a，b的值； (2)求证在时，恒大于零，其中； (3)证明：当时，． 9．已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.已知，. (1)求函数的单调区间； (2)若数列为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围； (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 2.若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”． (1)分别判断，是否为T函数，并说明理由； (2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：； (3)已知T函数的定义域为，不等式的解集为．证明：在上严格增． 3.设函数，且对任意恒成立. (1)求的值； (2)求函数在上的最值； (3)设实数且，证明：. 4.已知函数，设，. (1)若在上有解，求的取值范围； (2)若，证明：当时，成立； (3)若恰有三个不同的根，证明：. 5.已知． (1)求函数的极值； (2)求证：对任意正整数n，有； (3)记，求整数a，使得． 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，. (1)求函数的单调区间 (2)若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围 (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 7.若定义域为的函数满足是上的严格增函数，则称是一个“函数”. (1)分别判断，是否为函数，并说明理由： (2)设，若函数是函数，判断和的大小关系，并证明： (3)已知函数是函数，过可以作函数的两条切线，证明：. 8.已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 9.已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. (1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求； (2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； (3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由. 10．已知数列满足. (1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列； (2)若，求证：； (3)对于（2）中的数列，求证： 11.已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$