重庆市沙坪坝区 2024--2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年重庆市沙坪坝区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.在▱ABCD中，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.在“一分钟跳绳”的五次测试中，甲、乙、丙三人的平均成绩相同，方差分别是：，，，则成绩较为稳定的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 一样稳定 5.若是一元二次方程的解，则k的值是(    ) A. B. C. D. 6.在一次校园演讲比赛中，9位评委老师给小慧同学分别打了分.如果去掉一个最高分和一个最低分，那么这两组数据的下列统计量不变的是(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7.一元二次方程配方后，可化为(    ) A. B. C. D. 8.某选手在2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松比赛中匀速跑步，能反映他跑步的路程单位：米与时间单位：分的函数关系的大致图象是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形ABCD中，连接AC，E是AD上一点，连接CE，CA平分若，，则线段AC的长度为(    ) A. 6 B. C. 8 D. 10.在平面直角坐标系xOy中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当其中x，的值为整数时，称“整点”P为“超整点”.已知点，下列说法：其中正确的个数是(    ) ①若点P为“整点”且在二象限，则点P的个数为6个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.已知反比例函数的图象经过点，则k的值是______. 12.一元二次方程的两根分别为和，则的值为______. 13.某校学生会招聘红岩志愿讲解员，其中小明试讲、面试的成绩分别是90分和80分，综合成绩中试讲占，面试占，则小明的综合成绩为______分. 14.已知在正比例函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为______. 15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，则AB的长度为______；过点 A作于点E，过点A作于点F，连接EF，则EF的长度为______. 16.一个各数位数字均不为零的四位正整数M，若千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称M为“凹数”.将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调产生新四位数N，例如：若，则记，，则______；若M为“凹数”，且能被7整除，能被6整除，则满足条件的最大“凹数”M为______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解下列方程： ； 18.本小题8分 小李在学习平行四边形时发现：在平行四边形ABCD中，的角平分线交AC于点E，的角平分线交AC于点F，连接DE，BF，则四边形DEBF也是平行四边形.他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决.请根据小李的思路将下面证明过程补充完整. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ______①，，， ， 平分，DF平分， ，， ， ≌， ______②，， ， 即______③， ， 四边形DEBF是平行四边形______④ 19.本小题10分 “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚.沙坪坝区某校举办了“吃得营养，动得有效”的科普知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析.试题满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分成绩用x表示，共分为四组：合格，中等，良好，优秀，下面给出部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩的数据是：62，74，78，78，83，86，86，86，95，98； 八年级10名学生的竞赛成绩为“良好”的数据是：82，83，85，85； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 b 85 根据以上信息，解答下面问题： 直接写出上述图表中______，______，______； 根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级的学生竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可； 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩中，竞赛成绩为“合格”的平均成绩为67分，竞赛成绩为“中等”的平均成绩为71分，请你计算八年级抽取的10名学生的竞赛成绩为“优秀”的平均成绩为多少分？ 20.本小题10分 如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且，连接AC、AE、AF、EF，AC与EF相交于点 求证：≌； 设，求的度数用含的代数式表示 21.本小题10分 新能源汽车通过激活产业链、技术革新、消费扩张和绿色转型，是国内大循环的核心驱动力之一，电车成为越来越多人购车的首选.某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造.如图，将矩形ABCD停车场的长和宽分别减少相等的宽度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米. 求减少的宽度是多少米？ 为确保安全，停车场充电桩区域须划分独立防火区，停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙.若防火隔离墙的高度为米，则需要修建的防火隔离墙的面积是多少平方米？ 22.本小题10分 如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、点F分别为OA，OC的中点，连接BE， 求证：； 已知，，若，求▱ABCD的面积. 23.本小题10分 如图，在中，，，于点D，动点P从点A出发，沿着运动点P与点A、C不重合，交折线于点设点P运动的路程为x，PE的长度为，BD的长度与点P运动的路程之比为 请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； 在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； 观察函数图象，请直接写出时x的取值范围结果保留一位小数，误差不超过 24.本小题10分 如图，已知直线：分别与x轴、y轴交于点A，直线与x轴交于点B，与直线交于点，且 求直线的表达式； 点P是线段BD上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交直线于点F，当时，求的面积及此时点F的坐标； 在问的条件下，点F关于x轴的对称点为点将直线向下平移6个单位得到直线，直线与直线交于点平面内是否存在点M，使得以点M，B，G，H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 25.本小题10分 如图1，在正方形ABCD中，动点E在对角线BD上，连接AE、CE，以AE为斜边向下作等腰 求证：； 如图2，点G是EC的中点，连接DF，求证：； 如图3，连接BF，将点F绕点B逆时针旋转得到点M，连接AM，BM，当线段取得最小值时，请直接写出的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：点的横坐标，纵坐标， 这个点在第一象限． 故选： 根据点在第一象限的坐标特点即可解答． 本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 2.【答案】C  【解析】解：是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B.，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C.，是一元二次方程，故此选项符合题意； D.，是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选： 由平行四边形的性质得，而，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质，推导出是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：，，， ， 成绩较为稳定的是甲， 故选： 根据方差的意义求解即可． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5.【答案】D  【解析】解：把代入一元二次方程得， 解得 故选： 把代入一元二次方程得，然后解关于k的一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6.【答案】C  【解析】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的是中位数． 故选： 根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响． 7.【答案】B  【解析】解：， ， ， ， 故选： 直接运用配方法解一元二次方程即可． 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：通过分析题意可知，他跑步的路程单位：米随时间单位：分的增加而增加，所以图象是 . 故选： 根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况进行确定． 9.【答案】D  【解析】解：平分， ， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选： 由矩形的性质可得，，由角平分线的性质可求，由勾股定理可求DE的长，由勾股定理可求AC的长． 本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：点P为“整点”且在第二象限， ，解得， 为整数时，和均为整数， 的可能取值为，，0，1，2，3，共6个．故说法①正确； 当时，， 点P在直线又点P为“整点”， 所有有“整点”均在直线上．故说法②正确； 点为“超整点”，是整数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 则点P的个数至少2个，故说法③错误． 综上，正确说法为①和②，共2个， 故选： 需结合坐标条件逐一验证三个说法的正确性即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标，解题的关键是掌握相关知识． 11.【答案】2  【解析】解：点在函数上，则有，即 故答案为： 把代入函数，可求出k的值． 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数． 12.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故答案为： 直接运用直接开平方法求出两根，然后再求出两根的乘积即可． 本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 13.【答案】87  【解析】解：小明的综合成绩为分， 故答案为： 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 14.【答案】6  【解析】解：在正比例函数中，y的值随着x的增大而增大， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 所有满足条件的整数a的值之和为：， 故答案为： 根据正比例函数的性质得到，再根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可得到，进一步求得所有满足条件的整数a的值之和． 本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 15.【答案】5   【解析】解：设EF于AC交于点Q，如图所示： 四边形ABCD是菱形，且，， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ，， 由菱形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 同理：，， ， 点A在线段EF的垂直平分线上， ， 点C在线段EF的垂直平分线上， 是线段EF的垂直平分线， ，， 由三角形的面积公式得：， ， ， 故答案为： 设EF于AC交于点Q，根据菱形性质得，，，由勾股定理得，再由菱形的面积公式，进而由勾股定理得，，同理得，，，由此得AC是线段EF的垂直平分线，则，，再由三角形的面积公式求出即可得出EF的长． 此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活运用菱形的面积公式，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 16.【答案】303  9559  【解析】解：当时，，； 若M为“凹数”，可设M的千位，百位，十位，个位数字分别为a，b，b，a， ， 的千位，百位，十位，个位数字分别为b，a，a，b， ， ，， ， ， 能被7整除，又101与7互为质数， 能被7整除， 或， 能被6整除，又81与6有一公因数3， 能被2整除， ，同时满足且能被2整除的正整数解为：或或或或， 当，时，M有最大值为9559，满足条件的最大“凹数”M为9559， 故答案为：303， 根据定义直接求的值，设M的千位，百位，十位，个位数字分别为a，b，b，a，根据题意表示出M的和，再表示出N和，根据和均为整数来推出能被2整除，，求出满足条件的解，最后得出满足条件的最大“凹数”M的数． 本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键． 17.【答案】，；   ，  【解析】， ， ， ，； ， ，，， ， ， 运用直接开平方法解一元二次方程即可； 运用开平方法解一元二次方程即可． 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法、直接开平方法是解题的关键． 18.【答案】CD      一组对边平行且相等的四边形是平行四边形  【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ①，，， ， 平分，DF平分， ，， ， ≌， ②，， ， 即③， ， 四边形DEBF是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④ 故答案为：CD，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 19.【答案】86，84，30；   七年级学生竞赛成绩较好，理由见解答；   94分．  【解析】在七年级10名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数； ，把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，85， 故中位数，， 故答案为：86，84，30； 七年级学生竞赛成绩较好，理由：七、八年级的平均分均为分，七年级的中位数高于八年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好．合理即可； 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩中，竞赛成绩为“合格”的平均成绩为67分，竞赛成绩为“中等”的平均成绩为71分， 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩为“优秀”的平均成绩为：分 分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得的m值； 根据平均数和中位数的意义解答即可； 由总分减去已知组别的总分，再除以优秀的人数可得答案． 本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数、平均数的含义，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． 20.【答案】见解析过程；     【解析】证明：四边形ABCD是正方形， ，，， 又， ≌； 解：≌， ，，， ， ， ， ， 由SAS可证≌； 由全等三角形的性质可得，，，由外角的性质可求的度数，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 21.【答案】减少的长度是30米；   需要修建的防火隔离墙的面积是420平方米．  【解析】设减少的长度是x米， 根据题意得：， 解得：不合题意，舍去，， 答：减少的长度是30米； 剩余停车场的长为米，宽为米， 剩余停车场的周长为：米， 防火隔离墙的面积平方米， 答：需要修建的防火隔离墙的面积是420平方米． 设减少的长度是x米，根据剩余停车场的面积为4500平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 求出剩余停车场的周长，即可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】证明见解答；   ▱ ABCD的面积为  【解析】证明：连接DE、BF， 点E、点F分别为OA，OC的中点， ，， 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD交于点O， ，， ， 四边形EBFD是平行四边形， 解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ▱ABCD的面积为 连接DE、BF，由点E、点F分别为OA，OC的中点，得，，由平行四边形的性质得，，推导出，则四边形EBFD是平行四边形，所以； 由，，得，，而，则，因为，所以，则，求得，可证明，由，得，求得，则 此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的面积公式等知识，推导出及是解题的关键． 23.【答案】，；   图象见解答；函数的性质：当时，随x的增大而增大，的性质：当时，随x的增大而减小；   时x的取值范围为  【解析】在中，，，，， ，， ， 当点P在AD上时，，当点P在CD上时，， ， 的长度与点P运动的路程之比为， ； 如图即为函数，的图象， 函数的性质：当时，随x的增大而增大，的性质：当时，随x的增大而减小； 时x的取值范围为 根据等腰直角三角形的性质得，，当点P在AD上时，，当点P在CD上时，，进而可以解决问题； 结合即可画出函数，的图象，根据图象即可写出函数，的一条性质； 观察函数图象，即可写出时x的取值范围． 本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质． 24.【答案】；   ，的面积为；   存在，M点坐标为或或  【解析】当时，， ， 将点代入， ， 解得， 直线的表达式为； 当时，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设，则，， ， ， 解得， ，， 的面积； 存在点M，使得以点M，B，G，H为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 点F关于x轴的对称点为点G， ， 直线向下平移6个单位得到直线， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 设， 当BM为平行四边形的对角线时，， ， ； 当GM为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 当HM为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 综上所述：M点坐标为或或 用待定系数法求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，则，，再由，求出m的值，即可求解； 根据平行四边形的对角线分三种情况求解即可． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 25.【答案】证明见解析；  证明见解析；   【解析】证明：四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 是的外角， ， ， ； 证明：将DG绕点D旋转到DK，连接FG、FK、AK， 由旋转可知：，， ， 又， ≌， ，， 又是正方形的对角线， 点A、C是关于BD的对称， ， 由得， 设， ， ， ， 又，， ≌， ，， ， ， ，，， ≌， ， ， ，， ， ； 解：过点F作，垂足为P，交BD于点O，过点E作，垂足为T， ，，， 又是等腰直角三角形， ，， ≌， ，， 又，， ，， ，， ， ， 是AB的垂直平分线， ， 同理可得≌， ， ， 当F在AC上时，最小， 此时点F在正方形对角线交点上，， 四边形ABCD是正方形，， 根据正方形，等腰直角三角形的性质得到，，由三角形外角的性质即可求解； 将DG绕点D旋转到DK，连接FG、FK、AK，构造旋转全等，可得≌，从而可得，，再证明，利用角关系证明，从而得出≌，进而可得，继续证明≌，可得是等腰直角三角形，由此即可得出结论； 过点F作，垂足为P，交BD于点O，过点E作，垂足为T，构造K字形全等，结合等腰直角三角形的判定和性质证明，从而可得PF是AB的垂直平分线，由此得出，利用旋转全等可得≌，即可得出，根据两点之间线段最短可得：，进而判定当点F在正方形对角线交点上，取得最小值，由此即可解答． 本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，难度较大，问题的解题关键是利用旋转构造全等，并利用角的关系证明≌，从而得出是等腰直角三角形，问题的解题关键是利用旋转全等模型和K字形模型证明 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$