24.2.2 专题十三 证明切线的两种常用方法-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题十三 证明切线的两种常用方法 例题讲解 类型一 直线过圆上一点 例1**如图，AB是⊙0的直径，BD是⊙O的弦，连接 AD,延长BD到点C,连接AC,使AB=AC,过点D作DE ⊥AC,垂足为E求证： (1)BD=CD; (2)DE是⊙0的切线 证明：(1)，AB是⊙0的直径， 多思路分析 等腰三角形 ∴.∠ADB=90°..AD⊥BC (1)4B为⊙O “三线合一“ 的直径 AD⊥BC 又AB=AC, BD=CD AB=AC .BD=CD. 中位线定理 (2)O为AB的中点 OD∥AC D为BC的中点 OD⊥DE DE⊥AC 例题讲解 类型直线过圆上一点 例1*如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙0O的弦，连接 (2)如图，连接OD AD,延长BD到点C,连接AC,使AB=AC,过点D作DE ·.OA=OB,BD=CD, ⊥AC,垂足为E.求证： (1)BD=CD; ∴.OD是△ABC的中位线 (2)DE是⊙0的切线. .OD∥AC. ·另解：AB=AC x∠ABC=∠C 又DE⊥AC,.OD⊥DE. :0B=0D OD为⊙0的半径， ∠ABC=∠0DB, ∠0DB=∠C .DE是⊙O的切线 0D∥AC B 解题策略直线过圆上一点时，要证明直线是圆的切线，只需要 “连半径，证垂直，得切线”.“垂直”除了直接给定之外，常来源于 “直径所对的圆周角是90°”“等腰三角形的‘三线合一’”等 对应训练 一、借助角度转化90° 1-1★如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直 径的⊙O交AB于点P,Q是AC的中点.求证：PQ是 ⊙0的切线. B 证明：如图，连接OP,CP.BC为⊙O的直径， ∴.∠BPC=∠APC=90° B Q是AC的中点， P ∴.PQ=CQ=AQ.∴.∠CPQ=∠PCQ .OP=OC,∴.∠OPC=∠OCP. ∴.∠0PQ=∠0CQ=90°.∴.PQ⊥0P. 又OP是⊙O的半径，∴.PQ是⊙O的切线 二、利用全等转化90° 1-2★[遵义期末]如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连 接P0交⊙O于点C,PC=OC,⊙O上有一点B,且∠POB =60°，连接PB. (1)探究OC和AC的数量关系，并说明理由； (2)求证：PB是⊙O的切线 B A ● (1)解：OC=AC.理由如下： ·PA是⊙O的切线， .∴.PA⊥OA,∴.∠PA0=90°. PC=OC, 即AC是Rt△PAO斜边上的 中线，.AC=OC B A (2)证明：.OC=AC,OA=OC, .OC=OA=AC,.△OAC为等边三角形， ∴.∠AOC=60°.∴.∠AOC=∠P0B. B 0B=0A, 在△POB和△POA中，∠POB=∠POA, OP=OP, A ∴.△POB≌△POA(SAS),∴.∠PB0=∠PAO=90°， .OB⊥PB..OB是⊙O的半径， .PB是⊙O的切线 类型二不确定直线与圆是否有交点 例2*如图，在Rt△MBC中，∠ABC= (1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F.:∠ABC=90°， 90°，∠BAC的平分线交BC于点D,E为 ∴.AB⊥BC AB边上一点，DE=CD,以点D为圆心，DB 又AD平分∠BAC,DF⊥AC, 为半径作⊙D ∴.DF=DB,即DF是⊙D的半径 (1)求证：AC是⊙D的切线； ∴.AC是⊙D的切线 (2)若AB=10,BE=6,求AC的长 ®思路分析 AD=AD, 角平分线的性质 (2)解：在R1△ABD和R△AFD中， Rt DB=DF, (1)AD平分 DF-DB AC是⊙D ∠BAC 的切线 △ABD≌RL△AFD(HL)..AB=AF.在RL△BDE和RI (2) 证Rt△ABD≌ AB-AF △FDC中， Rt△AFD DE=C,R△BDE≌R△FDC(Hl).BE DB=DF, 求AC =FC...AC=AF+FC=AB+BE=10+6=16. 证Rt△BDE≌ BE=FC Rt△FDC