专题八 二次函数与（等腰）直角三角形及矩形的存在性问题-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题八 二次函数与（等腰）直角三角形及 矩形的存在性问题 例题讲解 例1**南[安顺中考节选]如图，己知抛物线y=x2+bx+c 解：(1)依题意得 (a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A,B 抛物线=ax十bx 两点，与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3) a=-1, 2a 的对称轴为直线 (1)若直线y=mx+n经过B,C两点，求直线BC和抛物 解得b=-2, 2a 线的解析式； a+b+c=0, c=3, (2)设P为抛物线的对称轴上的一个 c=3, 动点，求使△BPC为直角三角形的点P 所以抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. 的坐标 因为抛物线的对称轴为直线x=-1,且其经过点A(1, 0),所以B(-3,0) 把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得 -3m+n=0 m=1, 解得 n=3, n=3, 所以直线BC的解析式为y=x+3. (2)设P(-1,t).因为B(-3,0),C(0,3) 所以BC2=(-3-0)2+(0-3)2=18,PB2=(-1+3)2+2=4 +2,PC2=(-1)2+(t-3)2=12-61+10. ①若∠CBP=90°，则BC+PB=PC2, 即18+4+2=2-61+10，解得1=-2， 所以P(-1,-2); 2若∠BCP=90°，则BC+PC=PB,即18+t2-6t+10=4+t2, 解得t=4,所以P(-1,4); 3若∠BPC=90°，则PB+PC2=BC, 即4+t2+t2-6t+10=18, ● 解得= 3+173-/17 2 2 所以P1,37)成(1,37 综上所述，点P的坐标为(-1，-2)或(-1,4)或 (-1,0 度1,3） 。解题策略解答此类直角三角形的存在性问题的一般步骤：(1) 表示出直角三角形三个顶点的坐标；(2)表示出直角三角形的三 边长；(3)根据勾股定理分情况讨论求解 对应训练 1-1★[广元中考节选]如图，直线y=-2x+10分别与x 轴、y轴交于A,B两点，C为OB的中点，抛物线y=x2+ bx+c经过A,C两点. (1)求抛物线的解析式； (2)P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的 直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离： 解：(1)对于y=-2x+10,令x=0,则y=10; 令y=0,则x=5,所以A(5,0),B(0,10).因为C是0B 的中点，所以C(0,5). 将A(5,0),C(0,5)代入y=x2+br+c,得 得b=-6, ”解 c=5, 所以抛物线的解析式为y=x2-6x+5. (2)设P(n,n2-6n+5). 因为A(5,0),B(0,10), 所以Ap2=(n-5)2+(n-6n+5)2, BP2=n2+(n2-6n+5-10)2,4B2=125 因为△APB是以AB为直角边的直角三角形， 所以当A为直角顶点时，BP2=AB2+AP2,即n2+(n2-6n+5-10)2=125+ (m-5)+(m-6m+5),解得m,=,=5(不合意意，合去 当B为直角顶点时，4P2=AB+BP2,即(n-5)2+(n2-6n+5)2=125+n2+ (n2-6m+5-10),解得n1=4 13+√/24913-√/249 ,12= 而抛物线的对称抽 4 为直线x=3,则3-3=313+V24 22,4 -3=+29,3-1-29 4 4 √/249-1 4 √249-1 综上所述，点P到抛物线的对称轴的距离为 或 4 4 1-2*★[东营中考节选]如图，抛物线y=ax2+bx-3(a≠ 0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左 侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直 角三角形时，请直接写出所有点M的坐标！