4.1整式讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

4.1整式 一、知识梳理 1、单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫 ，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的v；②单独的一个 ；③单独的一个 ． （2）单项式中不能含有 ，但可以含有 运算．如：可以写成。 2、单项式的系数与次数 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的 ． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省 ； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成 . 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 ．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： 3、 多项式 （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做 ． （2）多项式的项：每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 ． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的 ，叫做这个多项式的 ． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的 ，而是多项式中次数最高的单项式的次数． 4、整式 单项式与多项式统称为 ． 二、习题精选 一、单选题 1．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列结论中正确的是（     ） A．单项式的次数是3 B．3不是单项式 C．多项式是三次三项式 D．单项式m没有系数 3．下列式子不是单项式的是（    ） A． B． C． D． 4．单项式的次数为（　　） A．4 B．5 C．6 D． 5．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 6．多项式的二次项系数是（    ） A． B． C．3 D． 7．多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 8．已知整式，其中为自然数，为正整数，互不相等，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有2个； ②满足条件的整式中，有7个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 10． 的系数是 ，次数是 ． 11．按一定规律排列的单项式：4m，，，，，…据此规律，第12个单项式为 ． 12．在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 13．多项式是 次 项式． 三、解答题 14．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 15．请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 16．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 17．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 2．C 【分析】本题考查了单项式和多项式，根据单项式的系数、次数以及多项式的次数和项数的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：A．单项式中，字母的指数是2，常数不计入次数，故次数为2，选项A错误． B．单项式可以是单独的数，3是单项式且次数为0，选项B错误． C．多项式中，次数为2，次数为，常数项次数为0，最高次数为3，共有三项，故为三次三项式，选项C正确． D．单项式的系数为1（隐含的系数），选项D错误． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查单项式的概念． 单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，逐一判断即可． 【详解】解：A．：数字4与字母x的乘积，是单项式； B．：单独一个字母，是单项式； C．：包含加法运算“+”，由2和x两个单项式组成，属于多项式而非单项式； D．：单独一个数字，是单项式； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了单项式的次数，单项式的次数是所有字母的指数之和，与系数无关．根据单项式次数的求解方法进行求解即可得答案． 【详解】解：所有字母的指数之和为． 因此，该单项式的次数为4． 故选A． 5．D 【分析】本题考查多项式，根据单项式的和的形式叫做多项式进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，不符合题意； B、是单项式，不符合题意； C、是单项式，不符合题意； D、是多项式，符合题意； 故选D． 6．B 【分析】本题考查了多项式的定义． 先确定二次项，再确定其系数即可． 【详解】解：多项式中，二次项为，其系数是， 故选B． 7．B 【分析】本题考查了多项式，多项式中不含有某某项就是指多项式合并同类项后该项的系数为0即可．由于不含项，令前的系数为0即可求解． 【详解】解：∵多项式中，不含项， ∴， 解得：， 故选：B． 8．B 【分析】本题综合考查了整式的相关概念，包括二次三项式的定义，以及通过代入求值和等式变形来求解问题，解题的关键在于准确找出满足条件的系列组合．根据已知条件确定，，的取值组合，进而对关于整式M的四种说法逐一进行分析判断，即可求得答案． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵为自然数，互不相等， ∴，或，， ∴满足条件的整式共有2个．故①正确； ②∵为自然数，为正整数，互不相等，且． ∴或，，， ，，，，，，，，，， ∴都为非零的有6组， ∴满足条件的整式中，有6个是二次三项式．故②错误； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数，为自然数， ∴当，时，y有最小值，为．故③正确． 综上，①和③正确，共2个． 故选：B． 9． 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 10． 4 【分析】本题考查单项式的系数及次数，根据单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数的和是次数即可解答． 【详解】解： 的系数是，次数是4． 故答案为：，4 11． 【分析】本题考查了单项式的规律，从给定的单项式的系数和次数中提炼规律是解决本题的关键． 先分别找出单项式系数和字母部分的规律，即系数为观察可得第n个单项式的系数为；次数为为观察可得第n个单项式的次数为，由此可求第12个单项式． 【详解】根据题意可知，按一定规律排列的单项式：，，，，，…， ∴第n个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 13． 三 三 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，组成该多项式中的单项式的个数就是多项式的项数；根据多项式的项、次数的相关知识解答即可． 【详解】解：多项式是三次三项式． 故答案为：三；三． 14．①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 15．①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【详解】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）根据（3）中的结论即可解决问题； 本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键； 【详解】（1）解：由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． （2）解：由（1）知， ， 所以． 故答案为：． （3）解：由题知， 原式． 令①， 则②， 得， ， 即， 所以原式 ． 故答案为：． 17．(1)，，，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$