精品解析：湖南省娄底市第三中学2024-2025学年高二下学期期末质量监测考试数学试题B

绝密★启用前试卷类型：B版 2024—2025学年（下）高二年级期末质量监测考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 复数（ ） A B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用虚数单位的性质，复数的乘法公式即可求解. 【详解】原式，故B正确. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 31 B. 17 C. 15 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出值. 【详解】令，则， 得． 故选：A． 3. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的最小正周期可得，从而得所求. 【详解】由题意知，得， 所以 故选：A. 4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质比较大小. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 6. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得函数的定义域，再分别求函数与坐标轴的交点，结合图象，建立不等式，可得答案. 【详解】依题意，函数的定义域为．由图象可得，所以； 由，所以； 由图可知，否则当时，无解，和轴无交点，不符题意， 令，得，所以. 故选：B. 7. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ） A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 8. 已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，则得，从而得，再构造函数，，结合导数知识从而可求解. 【详解】根据函数解析式，可得函数的大致图象如图所示， 因为有三个零点，所以. 令，得， 因为，所以， 又，且， 则. ，且 令，，则. 当时，，在上单调递增， 当时，，上单调递减， 所以，的最大值为， 综上，，则，故A正确. 故选:A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项即可求解. 【详解】因为在等比数列{}中，， 设等比数列的公比为，则，所以， 故选：. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法判断ABC；对两边同时求导，再令，判断D. 【详解】令得，所以A错误； 令得，所以B正确； 令得， 显然都是正数，都是负数， 所以，所以C正确； 对两边同时求导， 得， 取得-2025，所以D正确. 故选：BCD. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D. 若随机变量，满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据残差图的意义可判断A的真假；根据相关系数的意义判断B的真假；根据决定系数的意义判断C的真假；根据两个变量之间的关系，求其方差的关系，判断D的真假. 【详解】对于A，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误； 对于B，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确； 对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误； 对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为______.（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用双曲线与圆的位置关系得，结合离心率得，分类讨论即的答案. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，，因为离心率，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. 同理，当双曲线的焦点在轴上时，，，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：（或） 13. 已知的面积为，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】应用三角形面积公式可得，再由向量数量积的运算律有，结合已知即可得. 【详解】由题设，则， 又， 所以，则， 综上，. 故答案为：2 14. 若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记“函数的定义域为”为事件，记“函数为奇函数”为事件，用列举法求出，再根据条件概率公式计算. 【详解】有序实数对表示的所有结果有种情况， 记“函数的定义域为”为事件，，即， 满足这个条件有共9种情况， 所以． 记“函数为奇函数”为事件，因为，， 所以，或，经检验此时为奇函数， 满足或的有共6种情况， 同时满足AB的有共4种情况，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式化简即可得解； （2）法一：利用正弦定理角化边得，代入余弦定理求出关系，然后由勾股定理即可得证；法二：利用内角和消去，结合和差公式展开直接求出即可得证. 【小问1详解】 由条件及正弦定理得， 即，得， 又，所以，所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 解法一：由及正弦定理可得， 由余弦定理得，即， 化简得，所以， 因此， 所以是直角三角形. 解法二：因为，所以. 所以， 所以，又，故， 即是直角三角形. 16. 某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院就诊的人数，得到如下数据： 日期 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 昼夜温差 11 13 12 8 因患感冒就诊人数（人） 25 29 26 16 （1）求因患感冒到惠民医院就诊的人数关于昼夜温差的线性回归方程； （2）如果8月5日昼夜温差是时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）． 附：线性回归直线中，； 【答案】（1） （2）19. 【解析】 【分析】（1）利用公式求出，从而可求得回归方程； （2）将代入回归方程中求解估计即可. 【小问1详解】 ， ， ， 所以， ， 所以所求线性回归方程为. 【小问2详解】 时，， 因此如果8月5日昼夜温差是时，预测因患感冒到惠民医院就诊的人数大约为19. 17. 在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用已知条件证明平面，从而建立空间直角坐标系，可得到与平面法向量共线，即可证明； （2）结合（1）并利用向量法求解面面夹角，从而可求解. 【小问1详解】 连接，， 因平面，平面，平面平面，所以， 设，，连接， 由在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， 则得， 又由题意知，则得四边形是等腰梯形， 所以，同理可证， 因，平面，所以平面， 又底面是菱形，所以， 则以为原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为菱形的边长为，，则，， 则，，则， 所以，，，，， 则，，， 设，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以，即平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 设，因，， 则，，， 所以，则得， 又在上，设，则，解得， 可得，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 则得， 所以，所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 18. 设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. （1）求抛物线的标准方程； （2）①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用， 解出未知数，得到方程； （2）①验证轴时成立，再求解当不垂直于轴时，直线的方程，令，得，直接判断； ②方法一，连接，，证明，再证明得到，设直线的倾斜角为，表示为，求解即可； 方法二，同方法一证得，利用相似得到，，表示出以及，带入求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线：，所以焦点为，准线为， 如图，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立，得， 易知，则，， 又，， 所以，当且仅当时取等号， 因为的最小值为6，所以，， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 ①当轴时，，. 当不垂直于轴时，设直线的方程为，， 则直线的方程为， 令，得，即为的中点，所以. 综上可得，. ②方法一 如图，连接，，因为，， 所以，则. 由①知，为的中点，故. 设直线的倾斜角为，，可得，则， 因为， 所以. 所以， 因为，所以，同理， 则， 所以， 所以的最小值为18. 方法二 同方法一证得. 在与中，， 所以，则，即， 同理可得. 又， ， 所以， 则，所以的最小值为18. 19. 设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”. （1）任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分） （2）已知函数有两个极值点，，且. （i）求的取值范围； （ii）利用“对数平均不等式”证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明左边不等式：，将不等式变形为，令，，即证，设，然后利用导数研究单调性求解最值即可证明； 证明右边不等式：，将不等式变形为，令，，即证，设，然后利用导数研究单调性求解最值即可证明； （2）（i）由题意有两个异号零点，令，按照和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合极值和零点个数即可求解； （ii）由（i）知，利用比例性质得，由对数平均不等式可得，结合对数运算即可证明. 【小问1详解】 证明左边不等式：. 不妨设，则该不等式等价于，即. 令，，即证. 设，则，所以在上单调递减， 所以当时，，故原不等式成立. 证明右边不等式：. 不妨设，则该不等式等价于，即. 令，，即证. 设，则，所以在上单调递增. 所以当时，，故原不等式成立. 【小问2详解】 （i）的定义域为，， 因为有两个极值点，所以有两个异号零点. 令，则，. 若，,则在上单调递增，此时即不可能有两个零点，不符合题意. 若，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以， 且当时，，当时，， 要使有两个零点，只需，得，经检验符合题意， 因此，的取值范围是. （ii）由（i）知，是的两个根，所以， 从而. 由对数平均不等式可得， 故，且，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前试卷类型：B版 2024—2025学年（下）高二年级期末质量监测考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 复数（ ） A. B. 5 C. D. 2. 已知，则（ ） A 31 B. 17 C. 15 D. 7 3. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. 4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ） A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001 8. 已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等比数列{}中，，则{}公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 若，则（ ） A B. C. D. 11. 下列说法中，正确是（ ） A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x相关程度很强 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D. 若随机变量，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为______.（写出一个即可） 13. 已知的面积为，，，则______. 14. 若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 16. 某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院就诊的人数，得到如下数据： 日期 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 昼夜温差 11 13 12 8 因患感冒就诊人数（人） 25 29 26 16 （1）求因患感冒到惠民医院就诊的人数关于昼夜温差的线性回归方程； （2）如果8月5日昼夜温差是时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）． 附：线性回归直线中，； 17. 在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. （1）求抛物线的标准方程； （2）①求证：； ②求的最小值. 19. 设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”. （1）任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分） （2）已知函数有两个极值点，，且. （i）求的取值范围； （ii）利用“对数平均不等式”证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$