精品解析：湖南省永州市祁阳市第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

祁阳四中2024年上期高一年级期中考试数学试题 命题人：曾玉芳 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. -2 C. -2i D. 2 2 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则A等于（ ） A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30° 4. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 若一个圆锥轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量为（精确到）（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点是边上的一点，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个选项的，部分选对的每一个得3分.三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分.） 9. 已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点在第三象限 10. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 在中，已知为的中点，E为的中点，与相交于点M，下列结论中正确的是（ ） A. 点M为的重心 B. C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 13. 在直角三角形中，，，将此三角形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为________ 14. 已知在中，，点为垂心，则=________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知向量，，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值． 16. 在中，内角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且 （1）求D点对应的复数； （2）求平行四边形的面积. 18. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α． 19. 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 祁阳四中2024年上期高一年级期中考试数学试题 命题人：曾玉芳 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. -2 C. -2i D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接辨析即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数虚部辨析，复数的虚部为， 属于基础题. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列式计算即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以，解得. 故选：B. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则A等于（ ） A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解.利用正弦值求三角形内角时，需要考虑角的取值 【详解】由正弦定理，得，． 又，，，或120°． 故选：B 4. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】作出原图形，且得出原图形中的线段长度，由三角形的面积公式可求得答案. 【详解】解：作出原图形如下图所示：则，所以该平面图形的面积为， 故选：D. 5. 若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥的轴截面是面积为的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积即可． 【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是，因为正三角形的面积为， 所以，解得， 所以圆锥的底面半径，圆锥的母线， 这个圆锥的表面积是：. 故选：C． 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，根据求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【详解】解：在中，，， ， 所以， 所以. 故选：B. 7. 降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量为（精确到）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据梯形性质得到水面直径和水深，利用圆台公式得到降水体积，再由降水量是降水体积与上口面积之比得到降水量. 【详解】水深为，水面直径， 根据圆台体积公式得降水体积， 则降水量为. 故选：D. 8. 已知，点是边上的一点，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，则由已知可得，，然后化简，化简后可利用基本不等式求得结果 【详解】在中，，设，，则， 因为， 所以， 因，所以， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16， 所以的最小值为4， 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个选项的，部分选对的每一个得3分.三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分.） 9. 已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可 【详解】， 对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以在复平面内对应的点在第三象限，所以D正确， 故选：BD 10. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，与的夹角为锐角，则，且与不共线 【详解】当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误； 若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确； 若，两边平方得，，即，C正确； 若因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确. 故选：BC 11. 在中，已知为的中点，E为的中点，与相交于点M，下列结论中正确的是（ ） A. 点M为的重心 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据重心的概念及性质可判断选项A，B；由余弦定理可判断C，D. 【详解】对于A，由重心的概念，三角形中线的交点为三角形的重心，故A正确； 对于B，中，已知，E为的中点，可得, ,根据选项A，由重心的性质可知,从而可知，故B正确； 对于C，在中，由余弦定理， 有，故C不正确； 对于D，由选项C，在中，由余弦定理， . 故选：ABD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题 可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 13. 在直角三角形中，，，将此三角形绕直线旋转一周，所得几何体体积为________ 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知得到的几何体是两个同底圆锥的组合体,由体积公式可得答案. 【详解】将三角形绕直线旋转一周得到的几何体是两个同底圆锥的组合体, 在直角三角形中，, 所以圆锥底面圆的半径为1，两个圆锥的高的和为， 所以几何体的体积为, 故答案为： 14. 已知在中，，点为的垂心，则=________． 【答案】18 【解析】 【分析】延长交于点，根据及垂心的性质得到为的中点，，再根据数量积的运算性质即可得答案 【详解】延长交于点， 因为，点为的垂心， 所以为的中点，， 所以 ， 故答案为：18 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式与运算律化简求解即可； （2）根据化简求解即可 【详解】（1）设向量与的夹角为， 因为，故， ，解得， 又，故， 即向量与的夹角为； （2）由（1）知，， 故 16. 在中，内角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得. （2）利用面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由，得， 在中，， 在中，. 【小问2详解】 ， 由余弦定理得， ，， 的周长为. 17. 如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且 （1）求D点对应的复数； （2）求平行四边形的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出． （2）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出． 【详解】解：（1）依题意，点对应的复数为，对应的复数为， 所以，，可得． 又对应的复数，且，所以，所以，可得． 设点对应的复数为，，． 所以，． 为平行四边形，，即解得， 故点对应的复数为． （2）由（1）可知，， 可得：，． 又，． 故平行四边形的面积． 18. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α． 【答案】（1）7 n mile/h （2） 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理求解； (2)利用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 依题意，知 在中，由余弦定理， 得 解得甲船的速度为＝7， 所以渔船甲的速度为7 n mile/h． 【小问2详解】 在中， 由正弦定理，得＝， 即. 19. 在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点. （1）的中点为，证明：平面平面； （2）请画出过点，，的平面与平面的交线，证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）在平面内过作直线，证明见解析． 【解析】 分析】（1）连接，证明，，得线面平行，然后可得面面平行； （2）在平面内过作直线，即为所求，由线面平行的判定定理与性质定理证明． 【小问1详解】 连接， 因为，且，平行四边形， 所以且，所以是平行四边形，，同理， 平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 在平面内过作直线，即为平面和平面的交线； 证明如下： 设平面和平面的交线为 由（1），平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$