专题12 解直角三角形及其应用（50题）（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题12 解直角三角形及其应用（50题） 1．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 3．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    4．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    5．（2021·陕西·中考真题）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 一、单选题 6．（2025·陕西榆林·三模）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 7．（2025·陕西渭南·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度OA为．人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（　　） （参考数据：，，） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025·陕西榆林·二模）如图，为矩形的对角线，，，点为上一动点，以为斜边向上方作，使得，连接，则的最小值为 ． 9．（2025·陕西延安·二模）如图，等边三角形的一边在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过边的中点，则点的坐标是 ． 10．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是边的中点，是边的中点，是边上一动点，，，，则的周长最小值是 ． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题背景】 陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度． 【解决问题】 张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动96米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度．（结果保留根号） 12．（2025·陕西渭南·三模）庆安寺塔（如图①），又称耒化塔、镇风宝塔，位于陕西省渭南市临渭区，它不仅是渭南地区的地标性古迹，也是中国古代建筑艺术的重要代表之一，现已被中华人民共和国国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．如图②，小亮为了测量庆安寺塔的高度，他站在地面上的点G处，恰好看到塔尖A，此时仰角为，他沿往前走到达点D处，并在此处竖立一根高为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端C和塔尖A恰好在同一直线上，并测得，已知点B、D、E、G在同一水平线上，，，，小亮眼睛到地面的距离，求庆安寺塔的高度．（参考数据：，，） 13．（2025·陕西宝鸡·二模）太平寺塔，又名岐山塔，因塔建于太平寺内而得名，是陕西关中地区遗存的标准宋塔之一．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量太平寺塔的高度． 【测量过程】如图，在处利用高度为的测角仪测得太平寺塔塔顶的仰角，沿方向移动至点处，在处放置一块平面镜大小忽略不计，继续沿方向移动至点处，蹲下后眼睛在处，恰好从平面镜中看到太平寺塔塔顶的像； 【测量数据】，，在处得到太平寺塔塔顶的仰角为． 【参考数据】，，． 已知，，，点、、、在同一条直线上．请你根据以上测量过程及所得信息求出太平寺塔的高度． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下： 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角为测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，.求塑像的高度.平面镜大小忽略不计，参考数据：，， 15．（2025·陕西西安·三模）如图1，公园的湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，白天，小刚家楼顶恰好能看到湖心亭及其在湖水面的倒影，如图2所示，小刚利用测角仪在楼顶A处测得湖心亭顶端C的俯角测得湖心享顶端C在水面倒影E处的俯角．已知：点A到湖面的距离．，，C，D，E三点共线，.求湖心亭的高度.（光线的折射忽略不计，结果精确到．参考数据：） 16．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上，有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观察站O，现测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西方向，且与O相距60千米的A处，经过一段时间，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距30千米的B处，如果该轮船不改变航向继续航行，判断该轮船能否行至码头靠岸，请通过计算进行说明．（参考数据：，，） 17．（2025·陕西·一模）某学校操场边有一棵银杏树，小明想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放置一根竹竿，利用测角仪从竹竿的影子边缘点处测得竹竿的顶端点处的仰角，用卷尺测得银杏树的影长为，其中点在同一条直线上，．求银杏树的高度．（参考数据：， 18．（2025·陕西商洛·三模）项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 19．（2025·陕西咸阳·三模）根据以下材料，完成项目任务． 项目主题 测量某湖心岛到水上乐园之间的航线长度 项目背景 如图，某地有一个湖心岛在湖中，湖岸边有一座玻璃桥和一座水上乐园，为方便游客去湖心岛游玩，现要从处沿直线开一条航线到处． 测量过程 现在玻璃桥处测得水上乐园在西偏北的方向上，测得湖心岛在东偏北的方向上，湖心岛在水上乐园的正东方向上． 已知数据 玻璃桥与水上乐园之间的距离为． 参考数据 ，，， 项目任务 计算从处到处所开航线（即线段）的长度． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），其中点O为的中点，M在边上滑动，N在边上滑动，是与平行的伸缩横杆．已知窗子的边框米，米，，． (1)求窗子顶端E到底边的距离； (2)为提升换气效率，现要通风口面积尽可能大，请求出伸缩杆的端点M滑动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 21．（2025·陕西西安·模拟预测）黄河下游通过河堤治理；显著提升了滩区群众的安全保障．学校数学兴趣小组的同学应用所学知识对一段护堤石坝的高度进行测量，他们将一根笔直的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上一点到地平面的竖直距离为，竹竿底端到点的距离为，石坝底部到点的距离为，已知护堤石坝的倾斜角为．请根据上述数据，计算护堤石坝的高度．（参考数据：，，） 22．（2025·陕西西安·三模）公刘雕塑位于陕西省境内，公刘炯炯有神的双眼和刚毅的表情，表现出一位氏族酋长的温和谦逊、刚毅威武的精神气质和光辉形象．如图是洋洋同学测量公刘雕塑高度的示意图，在地面上的点处测得雕塑最高点的仰角，沿走到点处，放置一个支架，将测角仪放置在支架上，测得雕塑最高点的仰角，已知米，米，、，点在上，图中所有的点都在同一平面内，测角仪的大小忽略不计，请你求出公刘雕塑的高度．【参考数据：，，】 23．（2025·陕西榆林·三模）某地公园里有一座纪念碑，将其抽象为如图所示五边形．已知，，求纪念碑的高度．（结果精确到小数点后一位．参考数据： 24．（2025·陕西延安·三模）昆明池•七夕公园位于西咸新区沣东新城，地处西安城西的沣水、潏水之间，南眺秦岭，景色优美．公园内坐落着巨型的汉武帝操练水军雕像，身着披风、手持宝剑、目视前方、威风凛凛．李刚想利用无人机测量该雕像的高度，测量方案如下：如图所示，无人机在空中点处，测得点与地面上点的距离为米（米），点处的俯角为，点与雕像顶端点的距离为14米（米），点处的俯角为，其中点、、、在同一平面内，，求该雕像的高度． 25．（2025·陕西渭南·二模）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．数学活动小组在某公园测量一只风筝高度的示意图如图所示，甲同学在支架的顶部D处放置一个测角仪（大小不计），测得风筝的仰角，乙同学在地面上的点M处竖立一根标杆，发现地面上的点F、标杆顶端N、风筝A恰好在一条直线上，测得米，米，米，米，已知B、C、M、F在一条水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上测量结果计算这只风筝的高度．【参考数据：，，】 26．（2025·陕西渭南·二模）如图1是某市的一棵千年古树，如图2是小丽同学测量这棵千年古树高度的示意图，在地面上的点D处放置测角仪，测得树顶A的仰角，在地面上的点F处放置测角仪，测得树顶A的仰角，已知测角仪的高度米，米，点B、D、F在同一水平线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上测量结果，计算这棵千年古树的高度． 27．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 28．（2025·陕西咸阳·二模）如图，这是雨伞打开后的示意图，是伞柄，是伞骨，，点为伞圈，平分，伞完全张开时．雨往往斜向落下，假设雨线之间是平行的．某一天，雨线与地面之间的夹角为，小伟站在伞圈点正下方的点处，将小伟的身高记为，此时他身上被雨淋湿，测得．求伞至少向下移动多少的距离，才能使得小伟站在点处不被雨淋湿身上． 29．（2025·陕西西安·模拟预测）桔棒是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．如图1所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段、是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米．当水桶C的位置低于地面米（如图2所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度． 30．（2025·陕西·模拟预测）陕西泾阳崇文塔始建于明代，有着深厚的历史文化底蕴，结构坚固，造型精美，是我国古代建筑艺术的杰出代表．某校数学学习小组成员小泽和小雅合作开展了测量崇文塔高度的项目活动： 活动名称 测量崇文塔的高度 测量工具 测倾器、平面镜、皮尺 图示及测量方案 如图，小泽在塔底的水平线上的点处安装测倾器，测出塔顶端的仰角； 小雅在水平线上的点处放置了一个平面镜，当她后退至点时，恰好在平面镜中看到塔顶端；    测量说明 点在同一条水平线上，，，，平面镜用点表示（大小忽略不计） 测量数据 测倾器高1米，测得塔顶端的仰角为，小雅与侧倾器之间的距离米，她的眼睛距地面的高度米，平面镜放置的位置到她的距离米（参考数据：，，） 请根据以上信息求崇文塔的高度，（结果精确到1米）． 31．（2025·陕西榆林·二模）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．数学活动小组在某公园测量一只风筝高度的活动报告如表： 活动报告 活动目的 测量一只风筝的高度 测量过程及示意图 如图，甲同学在支架的顶部处放置一个测角仪，测得风筝的仰角的度数，乙同学在地面上的点处放置一个测角仪，测得风筝的仰角的度数（测角仪大小不计）    测量数据 ，，米，米 测量说明 B、C、F在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 ，，，，， 请你根据以上活动报告，计算这只风筝的高度． 32．（2025·陕西榆林·二模）贞观纪念碑是西安曲江大唐不夜城的地标性雕塑，由李世民骑马像及周围的附属雕塑组成．小莫去大唐不夜城游玩时，想用学过的知识测量贞观纪念碑的高度．小莫在地面上的点C处测得纪念碑顶端A的仰角为，然后，小莫半蹲在点C处，眼睛位于点D处时，测得纪念碑顶端A的仰角为，小莫的眼睛到地面的高度，，，图中所有点均在同一平面内，求贞观纪念碑的高度．（参考数据：，，，，，） 33．（2025·陕西咸阳·三模）数学活动实践课上，小轩和小浩所在小组的任务是测量校园内一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，于是小组成员制订了如下测量方案：如图，小轩在大树前某一位置放置了一个平面镜（大小忽略不计），并在镜面上做了一个标记点，镜子不动，然后小轩看着镜子上的标记来回走动，走到点时，他看到树顶与镜面上的标记点重合，这时，小浩测得小轩眼睛到地面的高度，，同时，小组其他成员在的延长线上的点处安装了测倾器（高度忽略不计），测得树顶的仰角为，且．已知：，，，四点共线，，均垂直于，请你根据以上数据，求出大树的高度．（结果保留一位小数；参考数据：，，） 34．（2025·陕西西安·三模）如图①是醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图②，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，．醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求“采青”路径的长．（参考数据：） 35．（2025·陕西渭南·二模）潜龙寺位于陕西省渭南市少华山景区，有前殿、中殿、大雄宝殿，在大雄宝殿前生长着一棵千年古柏，某数学实践小组在天气晴朗的周末来潜龙寺测量这棵千年古柏的高度．下面是此次测量活动的实践报告： 活动主题 测量潜龙寺千年古柏的高度 测量过程及示意图 小组成员杨青在处利用高为的测角仪测得这棵古柏的顶端的仰角为，再沿移动至点处，在点处放置高为的标杆，在阳光下同一时刻，发现这棵古柏的影子末端与标杆的影子末端重合于地面上的点处．    测量数据及图形说明 ，点B、D、F、G在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上活动报告，求出这棵千年古柏的高度． 36．（2025·陕西西安·三模）如图1是某游乐场的摩天轮，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人．图2是它的平面示意图，是摩天轮的直径，小红从C点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点A的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知A、两点之间的距离为74米，，（A、、在同一条直线上）．求摩天轮的高度（结果保留整数）．（参考数据：，） 37．（2025·陕西咸阳·三模）如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点E，B，C在同一条直线上，，m，B是的一个三等分点（），四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若m，求雕塑的高（点E到的距离）．（结果精确到m，参考数据：，，） 38．（2025·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究地下车库入口的高度 素材一 某小区为保障社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶，并在地下停车库坡道口上方张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入．如图是该小区地下停车库入口的侧面示意图． 素材二 已知于点，斜坡与水平地面的夹角为（即，点在上，于点． 参考数据 ． 解决问题 现有一辆高为的汽车要进入地下车库，请你根据以上数据，求出该地下车库的限高的值，并判断该汽车能否安全进入地下车库． 39．（2025·陕西咸阳·二模）【实践主题】测量校园内路灯的高度． 【素材】皮尺、测角仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度．一天傍晚，王阳竖直站在处时，李刚测得王阳在路灯下的影子的长为3.2米；接下来，王阳从点处沿方向前进6.8米到达点处（即米），用测角仪测得路灯顶端的仰角．已知王阳的身高米，点、、、在同一水平直线上，图中所有点均在同一平面内，，． 【问题解决】根据上述测量数据，计算路灯的高度．（参考数据：，，） 40．（2025·陕西汉中·一模）莲花池公园内“春有垂柳映波，夏有莲花香溢，秋有鸟栖满枝，冬有腊梅吐蕊”，承载记录了汉中市四十年来的发展变迁．数学活动小组测量莲花池公园内某段湖水宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量莲花池公园（如图1）内某段湖水的宽度 测量过程及示意图 如图2，甲同学在湖边空地上水平放置一根竹竿，发现地面上的点E、竹竿端点D、湖水的一端A恰好在一条直线上，地面上的点E、竹竿端点C、湖水的一端B恰好也在一条直线上，沿着继续向前走到点F处，测出的度数 测量数据 米，米，米， 测量说明 B、C、E、F在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，计算这段湖水的宽度． 41．（2025·陕西西安·模拟预测）夜晚，小华在操场打羽毛球，抬头看见路灯，于是想利用所学的数学知识测量路灯的高．已知羽毛球场位于路灯东侧，从路灯底部点出发，需走上一段斜坡才能到达羽毛球场所在地面．由于小华没有带任何测量工具，于是，他借助步测测得离灯较近的网杆在路灯下的影长为2步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为4步，斜坡为1.5步．回家后小华查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，测得1步米，同时了解到斜坡的坡度为，请你利用以上数据帮小华求出路灯的高．（路灯杆，斜坡，地面，羽毛球网杆均在同一平面内，结果保留一位小数．） 42．（2025·陕西西安·模拟预测）小亮想利用刚学过的测量知识来测量校园的一棵树的高度（如图），由于护栏的保护不能直接到达树底部，于是他设计出以下方案来计算树的高度．如图，小亮在处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点），然后沿射线方向后退0.8米到点处，此时从镜子中恰好看到树梢，然后小亮在原地利用测角仪从点处测得树顶的仰角为，已知小亮的眼睛到地面的高度是米，求树的高度．（参考数据：，，） 43．（2025·陕西西安·二模）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 44．（2025·陕西西安·一模）“学思用”数学实践小组把测量某古堡南堡门与北堡门的距离作为一项实践活动，在老师的帮助下形成了如下活动报告． 课题 测量古堡南堡门与北堡门的距离 指导教师 王老师 小组成员 组长：卫国嘉 组员：艾雪熙，纪楚欣，原丹泽 测量工具 无人机，皮尺 测量方案 艾雪熙利用无人机在处测出北堡门上方标志物、南堡门上方标志物的俯角；原丹泽测量北堡门高度，纪楚欣测量南堡门高度，卫国嘉负责记录整理数据． 示意图及测量数据 相关数据及说明：如图所示，点，，，，，，在同一竖直平面内，，，，米，到地面距离20米，，． 参考数据 ，， ，， 计算过程及结果 请根据活动报告计算的长度（结果精确到1m） 45．（2025·陕西西安·模拟预测）法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地．小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法到达塔的底部．如图，小明先在塔前方的点处用侧倾器测得塔顶端的仰角为；然后，他沿方向前进米至塔的影子顶端处．此时，测得小明的影长为米．已知小明的身高为米，测倾器的高度为米，且．求这座宝塔的高度．（参考数据：） 46．（2025·陕西宝鸡·一模）一天，军军想测量某塔的高度，如图，他在处观察塔的顶端的视线与水平地面的夹角，在点处有一棵高为的小树，当他从点处沿着方向移动到达点处时（即），此时发现塔的顶端点，小树的顶端以及点恰好在同一条直线上，已知图中所有点均在同一平面内，，，点在同一条直线上，，求该塔的高度．（参考数据：，，） 47．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮在A处调整航向，沿着北偏东方向航行到B处后，再沿着南偏东方向航行40海里到达码头C．求货轮从A到码头C的距离．（结果保留根号） 48．（2025·陕西渭南·二模）西安大雁塔位于唐长安城晋昌坊（今陕西省西安市南）的大慈恩寺，又名“慈恩寺塔”．李明同学想利用所学的知识测量大雁塔的高度，他家的住宅楼正好与大雁塔相对而立，他利用测角仪在住宅楼的底端B处测得塔顶C的仰角为，在住宅楼的顶端A处测得塔顶C的仰角为，已知李明家住宅楼的高度为30米，请你利用以上数据帮李明求出大雁塔的高度．（参考数据：，，，，，．） 49．（2025·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组测市政新增路灯高度的活动记录如下： 活动记录表 测量目标 测量市政新增路灯高度 测量工具 测倾器，皮尺等 测量示意图及测量方法 说明：新增路灯款式为折线，为灯杆，为立柱，已知． 测量方法：在点处架设测倾器，分别测量和的角度． 备注：测倾器的高度忽略不计，点、、、在同一平面，． 测量数据 ，，米． 请根据上表中的测量数据，求出路灯的高度（点到地面的距离）．（结果精确到米，参考数据：，，，） 50．（2025·陕西渭南·一模）大象寺塔是渭南的一座回音塔，是当地的一大奇观，这里的建筑风格独特，回音效果让人叹为观止．林轩和王飞想利用所学知识测量大象寺塔的高度．测量方案如下：如图，林轩在地面上立即点处，放置一个小平面镜（大小忽略不计），并沿着方向移动，当移动到点处时，他刚好在小于曲镜内看到该塔最高点的像，此时，测得米，林轩眼睛与地面的距离米．土（红色）的另一侧的点处，测得该塔顶部的仰角，测得点A、P之间的距离为米．已知图中所有点均在同一平面内，、，点P、C、E、A在同一水平直线上．请根据以上信息计算大象寺塔的高度．（参考数据：，，） 试卷第62页，共62页 试卷第61页，共62页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解直角三角形及其应用（50题） 1．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 2．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 3．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 4．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2021·陕西·中考真题）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先设，再通过x表示出BD，最后利用三角函数关系建立方程即可完成求解． 【详解】解：在中，设． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， 即． 解之，得 ∴ ∴钢索的长度约为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角函数、一元一次方程等知识，解决本题的关键是能建立题干信息与图形的关联，能正确设出未知数建立方程等，本题涉及到二次根式的运算等内容，对学生的计算能力有一定的考查． 一、单选题 6．（2025·陕西榆林·三模）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的求法，构建直角三角形是解答关键． 过点作的延长线于点，根据题意求出和的长度，再利用正切值的求法来求解． 【详解】解：过点作的延长线于点，如下图 根据题意可知，，， ， ． 故选：A． 7．（2025·陕西渭南·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度OA为．人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（　　） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解，根据题意构造直角三角是的关键． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过， 故选B． 二、填空题 8．（2025·陕西榆林·二模）如图，为矩形的对角线，，，点为上一动点，以为斜边向上方作，使得，连接，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，利用正切函数求得，判断出点在射线上运动，过点作交的延长线于点，则的长即为的最小值，在射线上截取，连接、，交于点，中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用等积法求解即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点在射线上运动，过点作交的延长线于点，则的长即为的最小值， 在射线上截取，连接、，交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， 在中， ∵， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，则， ∵， ∴，即的最小值为8， 故答案为：8． 9．（2025·陕西延安·二模）如图，等边三角形的一边在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过边的中点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确求出C点坐标是解题的关键． 过点作轴，垂足为，设点的坐标为，先根据反比例函数的性质得到，再解直角三角形得到，从而求出点坐标，再由是的中点即可求出点坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为，设点的坐标为， ∵点在双曲线上， ， 又 ∵是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ∴ ∵点是的中点， ∴点的坐标是， 故答案为：． 10．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是边的中点，是边的中点，是边上一动点，，，，则的周长最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的中位线，利用轴对称解决线段的和最短问题．易得是的中位线，得到，根据的周长，得到当最小时，的周长最小，作点关于的对称点，连接，交于点，此时最小，为的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵中，是边的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵的周长，为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时最小，为的长，则的周长最小， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题背景】 陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度． 【解决问题】 张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动96米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，灵活运用解直角三角形进行计算是解题的关键． 根据垂直定义可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴和均为直角三角形． 设米，则米， ，， ，． ∴，解得：， ∴ ， 陕西信息大厦的高度AB为米． 12．（2025·陕西渭南·三模）庆安寺塔（如图①），又称耒化塔、镇风宝塔，位于陕西省渭南市临渭区，它不仅是渭南地区的地标性古迹，也是中国古代建筑艺术的重要代表之一，现已被中华人民共和国国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．如图②，小亮为了测量庆安寺塔的高度，他站在地面上的点G处，恰好看到塔尖A，此时仰角为，他沿往前走到达点D处，并在此处竖立一根高为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端C和塔尖A恰好在同一直线上，并测得，已知点B、D、E、G在同一水平线上，，，，小亮眼睛到地面的距离，求庆安寺塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】30m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 易得，则，设，，代入得．作于H，在中，根据三角函数的定义可得，将代入即可求出x、y的值，即可得解． 【详解】解：由题知，，，， ， ，， ， 又， ， ， 设，， ， 则， 作于H， 则， 由题知， 在中，， ， ∴， 解得， ∴， 即庆安寺塔的高度为． 13．（2025·陕西宝鸡·二模）太平寺塔，又名岐山塔，因塔建于太平寺内而得名，是陕西关中地区遗存的标准宋塔之一．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量太平寺塔的高度． 【测量过程】如图，在处利用高度为的测角仪测得太平寺塔塔顶的仰角，沿方向移动至点处，在处放置一块平面镜大小忽略不计，继续沿方向移动至点处，蹲下后眼睛在处，恰好从平面镜中看到太平寺塔塔顶的像； 【测量数据】，，在处得到太平寺塔塔顶的仰角为． 【参考数据】，，． 已知，，，点、、、在同一条直线上．请你根据以上测量过程及所得信息求出太平寺塔的高度． 【答案】太平寺塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，根据题意可得：，，，，，设，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，，， 设， ，， ， ∴， ， ， 解得：， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 太平寺塔的高度约为． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下： 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角为测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，.求塑像的高度.平面镜大小忽略不计，参考数据：，， 【答案】塑像的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用． 过点G作，垂足为H，根据题意可得：，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而可证∽，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点G作，垂足为H， 由题意得：，米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 米， ，， ， ∽， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 米， 塑像的高度约为米． 15．（2025·陕西西安·三模）如图1，公园的湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，白天，小刚家楼顶恰好能看到湖心亭及其在湖水面的倒影，如图2所示，小刚利用测角仪在楼顶A处测得湖心亭顶端C的俯角测得湖心享顶端C在水面倒影E处的俯角．已知：点A到湖面的距离．，，C，D，E三点共线，.求湖心亭的高度.（光线的折射忽略不计，结果精确到．参考数据：） 【答案】39m 【分析】本题主要考查了直角三角形的边角关系定理的应用，延长，交水平线于点，设湖心亭的高度，则，，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出线段，得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：延长，交水平线于点，如图， 由题意得：， ，， 四边形为矩形， ， 设望江楼的高度，则，， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， 湖心亭的高度大约米． 16．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上，有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观察站O，现测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西方向，且与O相距60千米的A处，经过一段时间，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距30千米的B处，如果该轮船不改变航向继续航行，判断该轮船能否行至码头靠岸，请通过计算进行说明．（参考数据：，，） 【答案】该轮船能行至码头靠岸，说明见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作交延长线于H，设直线与直线l交于P，解得到千米，千米，则千米，根据，得到，则，即，求出的长即可得到结论． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，设直线与直线l交于P， 在中，， ∴(千米)， (千米)， ∴(千米)， ∵， ∴， ∴，即， ∴千米， ∵， ∴该轮船能行至码头靠岸． 17．（2025·陕西·一模）某学校操场边有一棵银杏树，小明想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放置一根竹竿，利用测角仪从竹竿的影子边缘点处测得竹竿的顶端点处的仰角，用卷尺测得银杏树的影长为，其中点在同一条直线上，．求银杏树的高度．（参考数据：， 【答案】银杏树的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知可得，，则，解，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， ． 在中，，即， 解得． 答：银杏树的高度约为． 18．（2025·陕西商洛·三模）项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 【答案】无障碍通道和的总长为米 【分析】延长，，交于点H，过点B作于点T，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可． 【详解】解：如图，延长，两线交于点，过点作于点，则． ， ． ， ． ． 四边形为矩形． ． 米，， （米）． 米 ． ． ． ， 米． （米）． 在Rt中，（米） （米）． 无障碍通道和的总长为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 19．（2025·陕西咸阳·三模）根据以下材料，完成项目任务． 项目主题 测量某湖心岛到水上乐园之间的航线长度 项目背景 如图，某地有一个湖心岛在湖中，湖岸边有一座玻璃桥和一座水上乐园，为方便游客去湖心岛游玩，现要从处沿直线开一条航线到处． 测量过程 现在玻璃桥处测得水上乐园在西偏北的方向上，测得湖心岛在东偏北的方向上，湖心岛在水上乐园的正东方向上． 已知数据 玻璃桥与水上乐园之间的距离为． 参考数据 ，，， 项目任务 计算从处到处所开航线（即线段）的长度． 【答案】从到处所开航线（即线段）的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，并对图形进行标注，先解，求出，再解，求出，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，并对图形进行标注，如图． 由题意得：在中，， ， 而， 由题意得：在中，， ， ∴ ， 从到处所开航线（即线段）的长度为． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），其中点O为的中点，M在边上滑动，N在边上滑动，是与平行的伸缩横杆．已知窗子的边框米，米，，． (1)求窗子顶端E到底边的距离； (2)为提升换气效率，现要通风口面积尽可能大，请求出伸缩杆的端点M滑动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)窗子顶端E到底边的距离为 (2)点滑动到距离 处时，面积最大，为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用： （1）过点作，垂足为，交于点，证明四边形为矩形，得到，解，求出的长，进而求出的长即可； （2）设与之间的距离为，的面积为，分和两种情况，求出函数解析式，利用一次函数和二次函数的性质，求最值，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点，则：， ∵矩形， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 答：窗子顶端E到底边的距离为； （2）设与之间的距离为，的面积为， 由（1）可知：，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 当时，点在线段上， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的面积为， ∴当时，有最大值为：； 当时，此时，点在线段上， ∴设交于点， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴当点滑动到距离 处时，面积最大，为． 21．（2025·陕西西安·模拟预测）黄河下游通过河堤治理；显著提升了滩区群众的安全保障．学校数学兴趣小组的同学应用所学知识对一段护堤石坝的高度进行测量，他们将一根笔直的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上一点到地平面的竖直距离为，竹竿底端到点的距离为，石坝底部到点的距离为，已知护堤石坝的倾斜角为．请根据上述数据，计算护堤石坝的高度．（参考数据：，，） 【答案】护堤石坝的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用－坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、掌握相似三角形的判定是解题的关键．过点A作于点F，根据正切的定义得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如解图，过点A作于点F， 在中， ，， ，即 又，， ， ． ，，， ，解得． 答：护堤石坝的高度约为． 22．（2025·陕西西安·三模）公刘雕塑位于陕西省境内，公刘炯炯有神的双眼和刚毅的表情，表现出一位氏族酋长的温和谦逊、刚毅威武的精神气质和光辉形象．如图是洋洋同学测量公刘雕塑高度的示意图，在地面上的点处测得雕塑最高点的仰角，沿走到点处，放置一个支架，将测角仪放置在支架上，测得雕塑最高点的仰角，已知米，米，、，点在上，图中所有的点都在同一平面内，测角仪的大小忽略不计，请你求出公刘雕塑的高度．【参考数据：，，】 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，可得，，米，设米，则米，由得米，即得米，再由得，解方程求出即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意得，，，米， 设米，则米， 在中，∵， ∴米， ∴米， 在中，∵， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：公刘雕塑的高度为米． 23．（2025·陕西榆林·三模）某地公园里有一座纪念碑，将其抽象为如图所示五边形．已知，，求纪念碑的高度．（结果精确到小数点后一位．参考数据： 【答案】纪念碑的高度约为 【分析】本题考查了考查平行线的判定和性质，矩形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点C作，然后利用平行线的判定和性质证明，过点A作的延长线于点L，过点E作的延长线于点P，过点E作于点O，得出四边形为矩形，再由各角之间的关系确定，，然后利用解三角形求解即可． 【详解】解：如图1，过点作． ． ． ， ． 如图2，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，则四边形为矩形， ． ． ， ． 在中，； 在Rt中，． ，即纪念碑的高度约为 24．（2025·陕西延安·三模）昆明池•七夕公园位于西咸新区沣东新城，地处西安城西的沣水、潏水之间，南眺秦岭，景色优美．公园内坐落着巨型的汉武帝操练水军雕像，身着披风、手持宝剑、目视前方、威风凛凛．李刚想利用无人机测量该雕像的高度，测量方案如下：如图所示，无人机在空中点处，测得点与地面上点的距离为米（米），点处的俯角为，点与雕像顶端点的距离为14米（米），点处的俯角为，其中点、、、在同一平面内，，求该雕像的高度． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，解求出，再解求出，再由 即可求解． 【详解】解：如图，过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴ ∴大楼的高度为． 25．（2025·陕西渭南·二模）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．数学活动小组在某公园测量一只风筝高度的示意图如图所示，甲同学在支架的顶部D处放置一个测角仪（大小不计），测得风筝的仰角，乙同学在地面上的点M处竖立一根标杆，发现地面上的点F、标杆顶端N、风筝A恰好在一条直线上，测得米，米，米，米，已知B、C、M、F在一条水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上测量结果计算这只风筝的高度．【参考数据：，，】 【答案】22米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点H，可得四边形为矩形，从而得到，米，在中，根据锐角三角函数可得，再由，可得米，即可求解；能熟练利用三角函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：延长交于点H，如图， 根据题意得：， ∴四边形为矩形， ，米． 在中，． ， ， ， ，， ． ， ， ， 即， 解得米， 米， 米． 即这只风筝的高度AB为22米． 26．（2025·陕西渭南·二模）如图1是某市的一棵千年古树，如图2是小丽同学测量这棵千年古树高度的示意图，在地面上的点D处放置测角仪，测得树顶A的仰角，在地面上的点F处放置测角仪，测得树顶A的仰角，已知测角仪的高度米，米，点B、D、F在同一水平线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上测量结果，计算这棵千年古树的高度． 【答案】这棵千年古树的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型．延长，交于点，易证四边形都是矩形，得米，米，设米，然后在和中，解直角三角形求出，由构造方程求解即可得解． 【详解】解：如图2，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴米，， ∴， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， 则米， ∴米， 答：这棵千年古树的高度为米． 27．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，作辅助圆是解决问题的关键． （1）根据点与圆上点的最值问题解答即可； （2）根据题意可得总费用，连接，求出，再作于点E，于点G，作于H，求出，即可得到当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小，求出解题即可． 【详解】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 28．（2025·陕西咸阳·二模）如图，这是雨伞打开后的示意图，是伞柄，是伞骨，，点为伞圈，平分，伞完全张开时．雨往往斜向落下，假设雨线之间是平行的．某一天，雨线与地面之间的夹角为，小伟站在伞圈点正下方的点处，将小伟的身高记为，此时他身上被雨淋湿，测得．求伞至少向下移动多少的距离，才能使得小伟站在点处不被雨淋湿身上． 【答案】伞至少向下移动的距离，才能使得小伟站在点处不被雨淋湿身上 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设与交于点，与交于点，先由角平分线的定义得到，再解中得到．解得到，则．解得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点． ∵平分， ∴， 在中，， ， ． 在中，， ， ． 在中，． 答：伞至少向下移动的距离，才能使得小伟站在点处不被雨淋湿身上． 29．（2025·陕西西安·模拟预测）桔棒是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．如图1所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段、是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米．当水桶C的位置低于地面米（如图2所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，及线段长度的计算，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，数形结合，作出辅助线． 过点A作于点G，构建直角三角形，根据和求出，再由和长求出，进而得到，得出，由与长度求出，最后根据计算出支架的高度． 【详解】解：过点A作于点G，交于点N，设与地面交于点T ，， ，， ，， ， ， ． 又， ， 答：这个桔棒支架的高度为． 30．（2025·陕西·模拟预测）陕西泾阳崇文塔始建于明代，有着深厚的历史文化底蕴，结构坚固，造型精美，是我国古代建筑艺术的杰出代表．某校数学学习小组成员小泽和小雅合作开展了测量崇文塔高度的项目活动： 活动名称 测量崇文塔的高度 测量工具 测倾器、平面镜、皮尺 图示及测量方案 如图，小泽在塔底的水平线上的点处安装测倾器，测出塔顶端的仰角； 小雅在水平线上的点处放置了一个平面镜，当她后退至点时，恰好在平面镜中看到塔顶端；    测量说明 点在同一条水平线上，，，，平面镜用点表示（大小忽略不计） 测量数据 测倾器高1米，测得塔顶端的仰角为，小雅与侧倾器之间的距离米，她的眼睛距地面的高度米，平面镜放置的位置到她的距离米（参考数据：，，） 请根据以上信息求崇文塔的高度，（结果精确到1米）． 【答案】崇文塔的高度约为87米 【分析】本题考查解直角三角形测高，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，过点作于点，如图所示，先由矩形的判定得到四边形是矩形，进而由矩形性质求出相关线段长，再由三角形相似的判定得到，进而得到，在中，解直角三角形即可得到答案，熟记矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，，， ， 四边形是矩形， 米，米． 由题意得， 又， ， ，即， ， 在中，，， ， ， 解得米， 答：崇文塔的高度约为87米． 31．（2025·陕西榆林·二模）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．数学活动小组在某公园测量一只风筝高度的活动报告如表： 活动报告 活动目的 测量一只风筝的高度 测量过程及示意图 如图，甲同学在支架的顶部处放置一个测角仪，测得风筝的仰角的度数，乙同学在地面上的点处放置一个测角仪，测得风筝的仰角的度数（测角仪大小不计）    测量数据 ，，米，米 测量说明 B、C、F在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 ，，，，， 请你根据以上活动报告，计算这只风筝的高度． 【答案】为22米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点， 由正切函数得，，即可求解；能熟练利用三角函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形为矩形， ，米． 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 米， ， 解得米， 米， 米． 即这只风筝的高度为22米． 32．（2025·陕西榆林·二模）贞观纪念碑是西安曲江大唐不夜城的地标性雕塑，由李世民骑马像及周围的附属雕塑组成．小莫去大唐不夜城游玩时，想用学过的知识测量贞观纪念碑的高度．小莫在地面上的点C处测得纪念碑顶端A的仰角为，然后，小莫半蹲在点C处，眼睛位于点D处时，测得纪念碑顶端A的仰角为，小莫的眼睛到地面的高度，，，图中所有点均在同一平面内，求贞观纪念碑的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】贞观纪念碑的高度为18米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，求出，在中，求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：延长交于点F，则四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ． 在中，， ， ， ． 贞观纪念碑的高度为18米． 33．（2025·陕西咸阳·三模）数学活动实践课上，小轩和小浩所在小组的任务是测量校园内一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，于是小组成员制订了如下测量方案：如图，小轩在大树前某一位置放置了一个平面镜（大小忽略不计），并在镜面上做了一个标记点，镜子不动，然后小轩看着镜子上的标记来回走动，走到点时，他看到树顶与镜面上的标记点重合，这时，小浩测得小轩眼睛到地面的高度，，同时，小组其他成员在的延长线上的点处安装了测倾器（高度忽略不计），测得树顶的仰角为，且．已知：，，，四点共线，，均垂直于，请你根据以上数据，求出大树的高度．（结果保留一位小数；参考数据：，，） 【答案】m 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 根据题意设古树AB的高度为x米，又可证明，得到，即可表示出，在中， ，代入即可列出方程，解出x即为古树AB的高度． 【详解】解：设古树的高度为x米，由题意可知， 在和中 ， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得 故古树AB的高度约为米． 34．（2025·陕西西安·三模）如图①是醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图②，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，．醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求“采青”路径的长．（参考数据：） 【答案】“采青”路径AC的长约为2 【分析】过点B作直线，分别交于点E，F．过点A作直线，交于点D，连接，得出四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得， ，，在中，求出的值，在中，根据勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点B作直线，分别交于点E，F．过点A作直线，交于点D，连接． 由题意得： ， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形． ∴， ，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵在中， ， ， ∴ 即“采青”路径AC的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 35．（2025·陕西渭南·二模）潜龙寺位于陕西省渭南市少华山景区，有前殿、中殿、大雄宝殿，在大雄宝殿前生长着一棵千年古柏，某数学实践小组在天气晴朗的周末来潜龙寺测量这棵千年古柏的高度．下面是此次测量活动的实践报告： 活动主题 测量潜龙寺千年古柏的高度 测量过程及示意图 小组成员杨青在处利用高为的测角仪测得这棵古柏的顶端的仰角为，再沿移动至点处，在点处放置高为的标杆，在阳光下同一时刻，发现这棵古柏的影子末端与标杆的影子末端重合于地面上的点处．    测量数据及图形说明 ，点B、D、F、G在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上活动报告，求出这棵千年古柏的高度． 【答案】这棵千年古柏的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形仰角，俯角的应用，相似三角形的应用举例，过点作于点，则，四边形是矩形，解直角三角形求出，证明，推出，即可解答． 【详解】解：过点作于点，则，四边形是矩形， ． 在中，， ． ， ． ， ， ． ， ，即， 解得， 这棵千年古柏的高度为． 36．（2025·陕西西安·三模）如图1是某游乐场的摩天轮，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人．图2是它的平面示意图，是摩天轮的直径，小红从C点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点A的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知A、两点之间的距离为74米，，（A、、在同一条直线上）．求摩天轮的高度（结果保留整数）．（参考数据：，） 【答案】约为89米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后根据已知可设，则，再在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，记与交点为F， 由题意得：，， ，， 设米， 米， 米， 在中，米， 在中，（米， ， 解得：， 米， 斜坡的坡度， ， 设，则， 在中，， 米， ， 解得：， 米， （米， 摩天轮的高度约为89米． 37．（2025·陕西咸阳·三模）如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点E，B，C在同一条直线上，，m，B是的一个三等分点（），四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若m，求雕塑的高（点E到的距离）．（结果精确到m，参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为m 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）分别证明，，即可解答； （2）过点E作，交的延长线于点P，求出m，m，在中根据三角函数，求出，可求出雕塑的高，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点E作，交的延长线于点P． 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴m． ∵， ∴m， ∴m， ∴m 在中，m，，， ∴m． ∵m， ∴雕塑的高约为m． 38．（2025·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究地下车库入口的高度 素材一 某小区为保障社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶，并在地下停车库坡道口上方张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入．如图是该小区地下停车库入口的侧面示意图． 素材二 已知于点，斜坡与水平地面的夹角为（即，点在上，于点． 参考数据 ． 解决问题 现有一辆高为的汽车要进入地下车库，请你根据以上数据，求出该地下车库的限高的值，并判断该汽车能否安全进入地下车库． 【答案】，该汽车能安全进入地下车库 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 解得，从而求得，再证明，然后解即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴， ∴ 即地下车库入口的限高的长为， ， 该汽车能安全进入地下车库． 39．（2025·陕西咸阳·二模）【实践主题】测量校园内路灯的高度． 【素材】皮尺、测角仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度．一天傍晚，王阳竖直站在处时，李刚测得王阳在路灯下的影子的长为3.2米；接下来，王阳从点处沿方向前进6.8米到达点处（即米），用测角仪测得路灯顶端的仰角．已知王阳的身高米，点、、、在同一水平直线上，图中所有点均在同一平面内，，． 【问题解决】根据上述测量数据，计算路灯的高度．（参考数据：，，） 【答案】路灯的高度为8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．先证明，求出，再在中，利用三角函数求出，进而求出结论． 【详解】解：由题意知，，， ， ，即， ，① 在中，， ，即，② ①②联立，解得， 路灯的高度为8米． 40．（2025·陕西汉中·一模）莲花池公园内“春有垂柳映波，夏有莲花香溢，秋有鸟栖满枝，冬有腊梅吐蕊”，承载记录了汉中市四十年来的发展变迁．数学活动小组测量莲花池公园内某段湖水宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量莲花池公园（如图1）内某段湖水的宽度 测量过程及示意图 如图2，甲同学在湖边空地上水平放置一根竹竿，发现地面上的点E、竹竿端点D、湖水的一端A恰好在一条直线上，地面上的点E、竹竿端点C、湖水的一端B恰好也在一条直线上，沿着继续向前走到点F处，测出的度数 测量数据 米，米，米， 测量说明 B、C、E、F在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，计算这段湖水的宽度． 【答案】这段湖水的宽度为100米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 在Rt中，解直角三角形得，则，再证得，得，即，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在Rt中，，即， ∵米， ∵．     ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴这段湖水的宽度为100米． 41．（2025·陕西西安·模拟预测）夜晚，小华在操场打羽毛球，抬头看见路灯，于是想利用所学的数学知识测量路灯的高．已知羽毛球场位于路灯东侧，从路灯底部点出发，需走上一段斜坡才能到达羽毛球场所在地面．由于小华没有带任何测量工具，于是，他借助步测测得离灯较近的网杆在路灯下的影长为2步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为4步，斜坡为1.5步．回家后小华查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，测得1步米，同时了解到斜坡的坡度为，请你利用以上数据帮小华求出路灯的高．（路灯杆，斜坡，地面，羽毛球网杆均在同一平面内，结果保留一位小数．） 【答案】约7.2米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立相似三角形模型，根据相似三角形的性质求解． 延长，交于，根据，，，得，可证明，，从而可得，，设米，米，列出方程求解．根据斜坡的坡度为，由勾股定理求得米，即可求得． 【详解】解：延长，交于， 设米，米， 由题意得，米，米，米， ，，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 作于， 斜坡的坡度为， ， ， ，即， 米， ，， ， 米， 米． 答：路灯的高约7.2米． 42．（2025·陕西西安·模拟预测）小亮想利用刚学过的测量知识来测量校园的一棵树的高度（如图），由于护栏的保护不能直接到达树底部，于是他设计出以下方案来计算树的高度．如图，小亮在处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点），然后沿射线方向后退0.8米到点处，此时从镜子中恰好看到树梢，然后小亮在原地利用测角仪从点处测得树顶的仰角为，已知小亮的眼睛到地面的高度是米，求树的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点数形结合是解题的关键．先证明，得到，推出，过点作，垂足为，在，，利用，算得答案． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 解得：， 如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， ， ， ． ． （米）， 答：树的高度约为米． 43．（2025·陕西西安·二模）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 【答案】中华文字博物馆大门的高度约为20米 【分析】本题主要考查了解直角三角形，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 如图，在中解直角三角形可得，进而得到，易得，再在Rt中解直角三角形可得的长即可解答． 【详解】解：如图，在中，， ， ． 由题知， 在Rt中， ． 中华文字博物馆大门的高度约为20米． 44．（2025·陕西西安·一模）“学思用”数学实践小组把测量某古堡南堡门与北堡门的距离作为一项实践活动，在老师的帮助下形成了如下活动报告． 课题 测量古堡南堡门与北堡门的距离 指导教师 王老师 小组成员 组长：卫国嘉 组员：艾雪熙，纪楚欣，原丹泽 测量工具 无人机，皮尺 测量方案 艾雪熙利用无人机在处测出北堡门上方标志物、南堡门上方标志物的俯角；原丹泽测量北堡门高度，纪楚欣测量南堡门高度，卫国嘉负责记录整理数据． 示意图及测量数据 相关数据及说明：如图所示，点，，，，，，在同一竖直平面内，，，，米，到地面距离20米，，． 参考数据 ，， ，， 计算过程及结果 请根据活动报告计算的长度（结果精确到1m） 【答案】的长度为米． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，学会理解题意构建直角模型是解题的关键．连接，过点作于，交于点，可证明四边形是矩形，得出，，，根据到地面距离及两楼的高度可求出米，利用锐角三角函数分别得出和，进而即可得出的长度． 【详解】如图，连接，过点作于，交于点， ∵米，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，， ∵到地面距离20米，即米， ∴（米）， ∴（米），（米）， ∴（米）． 答：的长度为米． 45．（2025·陕西西安·模拟预测）法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地．小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法到达塔的底部．如图，小明先在塔前方的点处用侧倾器测得塔顶端的仰角为；然后，他沿方向前进米至塔的影子顶端处．此时，测得小明的影长为米．已知小明的身高为米，测倾器的高度为米，且．求这座宝塔的高度．（参考数据：） 【答案】这座宝塔的高度米 【分析】本题主要考查了仰俯角解直角三角形，相似三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是关键． 设米，则米，在中，，（米），再证，，，可得米，由米，即可求解． 【详解】解：如图所示，，米，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，，米，米， 设米，则米， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵同一时刻，塔的影子为，的影子为，， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴米， ∴米， ∴这座宝塔的高度为62米． 46．（2025·陕西宝鸡·一模）一天，军军想测量某塔的高度，如图，他在处观察塔的顶端的视线与水平地面的夹角，在点处有一棵高为的小树，当他从点处沿着方向移动到达点处时（即），此时发现塔的顶端点，小树的顶端以及点恰好在同一条直线上，已知图中所有点均在同一平面内，，，点在同一条直线上，，求该塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】该塔的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形——仰角问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 先证明，则，即，故有，然后由，可得，联立即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得， 在中，， ∴， ∴， 联立，解得， 答：该塔的高度为． 47．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮在A处调整航向，沿着北偏东方向航行到B处后，再沿着南偏东方向航行40海里到达码头C．求货轮从A到码头C的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于点，根据方位角的定义可得，，再分别解和求出、的长，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 由题意得，，， ， 在中，，， 海里，海里， 在中，， 海里， 海里． 答：货轮从A到码头C的距离为海里． 48．（2025·陕西渭南·二模）西安大雁塔位于唐长安城晋昌坊（今陕西省西安市南）的大慈恩寺，又名“慈恩寺塔”．李明同学想利用所学的知识测量大雁塔的高度，他家的住宅楼正好与大雁塔相对而立，他利用测角仪在住宅楼的底端B处测得塔顶C的仰角为，在住宅楼的顶端A处测得塔顶C的仰角为，已知李明家住宅楼的高度为30米，请你利用以上数据帮李明求出大雁塔的高度．（参考数据：，，，，，．） 【答案】60米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答． 过点A作，证明出四边形为矩形，得到米，，然后设，则，解直角三角形求解即可． 【详解】解：如答图，过点A作， 四边形为矩形， 米，． 在中，， ． 设，则， ， 在中， ， 即， 解得 经检验，是原方程的解， （米）， （米）， 答：大雁塔的实际高度约为60米． 49．（2025·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组测市政新增路灯高度的活动记录如下： 活动记录表 测量目标 测量市政新增路灯高度 测量工具 测倾器，皮尺等 测量示意图及测量方法 说明：新增路灯款式为折线，为灯杆，为立柱，已知． 测量方法：在点处架设测倾器，分别测量和的角度． 备注：测倾器的高度忽略不计，点、、、在同一平面，． 测量数据 ，，米． 请根据上表中的测量数据，求出路灯的高度（点到地面的距离）．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【答案】约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握西贡姿色点是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，求出，得到四边形是矩形，得到，继而得到，得出，设，则，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点． 在中，，，米， 米． ，于点，于点， ， 四边形是矩形， 米，，． ， ， ， 设，则， ，． 在中，， ， ， 解得， 米． 该路灯的高度约为米． 50．（2025·陕西渭南·一模）大象寺塔是渭南的一座回音塔，是当地的一大奇观，这里的建筑风格独特，回音效果让人叹为观止．林轩和王飞想利用所学知识测量大象寺塔的高度．测量方案如下：如图，林轩在地面上立即点处，放置一个小平面镜（大小忽略不计），并沿着方向移动，当移动到点处时，他刚好在小于曲镜内看到该塔最高点的像，此时，测得米，林轩眼睛与地面的距离米．土（红色）的另一侧的点处，测得该塔顶部的仰角，测得点A、P之间的距离为米．已知图中所有点均在同一平面内，、，点P、C、E、A在同一水平直线上．请根据以上信息计算大象寺塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】大象寺塔的高度约为30米． 【分析】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形的应用．设大象寺塔的高度米．在中，利用正切函数的定义求得米，由题意，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设大象寺塔的高度米．在中，， ∴， ∴米， ∵点A、P之间的距离为米，米， ∴米， 由题意得， ∴，即， 解得， ∴大象寺塔的高度约为30米． 试卷第62页，共62页 试卷第61页，共62页 学科网（北京）股份有限公司 $$