专题20 综合实践（压轴）——图形的性质与变换综合（3考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（陕西专用）

专题20 综合实践（压轴）——图形的性质与变换综合 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点 1 圆综合 2024 ·陕西：圆周角定理，解直角三角形，平行四边 形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质 近五年中考的最后一个大题主要考查图形的性质与图形 的变换的综合实践问题 。 其 中 2020年 、2023年 、2024年以圆的性质和图形变换进行综合实践命题，2022年重点体现了三角形综合；21年重点体现了四边形综合。本题作为中考中的压轴大题，难度较大，部分学有余力的学生在备考中，需要对三角形、四边形、圆、图形的相似、 锐角三角函数、几何图形中的函数应用等知识和方法进行灵活运用，会将几何知识与实际问题相联系，会根据条件转化问题，会灵活引出辅助线进行解题。 2023 ·陕西：等腰三角形的性质，切线的性质，平行 四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解 直角三角形 2020 · 陕西：圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、 正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、 三角函数定义、三角形面积与正方形面积 考点 2 三角形综合 2022 ·陕西：等边三角形的性质，等腰三角形的判定 及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐 角三角函数、正方形、垂直平分线 考点 3 四边形综合 2021 ·陕西：平行四边形性质，运用锐角三角函数求 边长，根据二次函数图像求最值问题 考点1圆综合 1．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    3．（2020·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 考点2 三角形综合 4．（2022·陕西·中考真题）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 考点3 四边形综合 5．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 6．（2024·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，与的半径分别为1和2，均与直线相切，切点分别为、，，、分别为两圆上的动点，求线段的最小值． 问题解决 （2）春意盎然，万物复苏，到了种植的季节，学校里的校园农场热闹起来，同学们积极参与到校园农场建设中．已知校园农场为矩形区域，如图2所示，记作矩形，经过测量，米，米，为方便耕作，需要在农场上设计两条小路．已知点、分别是线段、上的动点，且满足．在线段上任取一点，始终满足为直角，把满足条件的所有点设计成第一条弯弯的小路，这条小路成了校园农场一道亮丽的风景线．为了方便休息，在这条弯弯的小路上建造凉亭．在农场西南角如图顶点位置搭建一个弓形阳光房，米，曲线是圆心角为的圆弧．在弧上取一点作为阳光房的门，在门和凉亭之间建造第二条小路即线段． ①试画出第一条弯弯小路的位置（不要求尺规作图），并求这条小路的长度； ②当小路最短时，求三角形区域的面积．（注：小路和门的宽度忽略不计） 7．（2024·陕西西安·三模）【实验探究】 （1）如图1，在矩形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接、，若，且，求的面积． 【问题解决】 （2）如图2所示，平行四边形为经济开发区某一区域的示意图，，，A处为一村庄，在点B处修建一个以B为圆心，为半径的圆形度假村供市民休闲娱乐，线段为一条公路（宽度忽略）．开发区想在这片区域内修建一个民俗展示馆P，并修建公路分别连通A村（线段）、度假村（线段，E为上一点）和公路（线段，F为公路上一点），修路费用为2万元，求修建道路的最少费用是多少万元？（结果保留整数，参考数据：） 8．（2024·陕西汉中·二模）【问题探究】 （1）如图，已知点与点关于对称，则________；（填“”“”或“”） （2）如图，在菱形中，点是上的点，连接，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长； 【问题解决】 （3）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，．园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）问题提出 如图（1），在中，，，则的值为__________； 问题探究 如图（2）在中，，点为的中点，且，求的最大值；    问题解决 为了迎接六一儿童节，营造欢乐的气氛，公园工作人员决定在矩形场地内用红色花卉摆出一个形图案，即七边形，其中点在矩形的内部，且，分别在矩形的边和上取一点，使得，，沿着和拉了两条彩带，彩带米，点E、F关于矩形的一条对称轴对称，且．为了夜晚的形图案更美观，工作人员计划沿着七边形的边装上一周灯带，并在尽可能大的区域内插上风车．已知灯带每米40元，请帮助公园工作人员解决问题：求当最大且的面积最大时，购买全部灯带所需的费用． 10．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）问题提出 （1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为 ； 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值； 问题解决 （3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 11．（2024·陕西宝鸡·三模）（1）如图①，在中，，，则外接圆的半径为______； （2）如图②，在四边形中，连接，，，，，点是上一动点，连接，求的最小值； （3）弓形是一个人工湖，其示意图如图③所示，弓形是由弦和劣弧组成，、是两座石桥，交于点，点在上，点在上，，，点是的中点，点到的距离为，．现要对这个人工湖进行扩建，在的上方扩建，点是所在圆的圆心，设计师计划沿线段修建木制小桥，点在上，，动点分别在上，设计师测得．为节约成本，要求修建的木制小桥的总长尽可能的短（即最短），问的值是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的长；若不存在，请说明理由． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）综合实践 (1)如图，点在上，，圆心到直线的距离，求的最大值． (2)市政部门要把一块长方形荒地（如图）改造成一个户外休闲区，其中米，米，在边上分别取点，修建一条笔直的通道，要求，过点修建通道，且于点，计划在内修建草坪，在四边形内修建老年活动区，在四边形内修建儿童游乐园，请问修建的老年活动区与儿童游乐园面积之和（即）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由． （2）如图2，影厅是一个长为12米，宽为6米的矩形，是观影屏幕，且米，观众座位设置在矩形区域内，其中米，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列上的座位可选，为使观影视角最佳，在上是否存在点P，使得最大，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． （3）在（2）情况下，交于点Q，所在区域观影效果不佳，则此区域的面积_______． 14．（2024·陕西榆林·三模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，，点D是的中点，点E在上，且，点F是边上的一个动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口G、H分别在、边上，，，，，，，现计划在边上修建一个半径为的圆形休闲娱乐广场（即的圆心在上，且的半径为），再沿直径设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且），在F处设置自助饮水设备，需要沿和铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度要最小，请你求出的最小值． 15．（2024·陕西商洛·二模）【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】 （3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    16．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在正方形内有一点，，点是的中点，且．连接，求的最小值； （2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形，米，米，在小区内部建立一个老年活动中心，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到老年活动中心的距离相等（即，过点作于点，老年活动中心，，围成直角三角形．在的内心建立一个餐厅，现修建一条小路，使得栋楼的居民到餐厅的距离最小，请问是否存在最小距离？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．    17．（2024·陕西渭南·二模）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，连接，点分别是的中点，连接，若，，则矩形的周长为______； （2）如图2，正方形边长为10，、分别是边上的动点，连接，且，若，，求与之间的函数关系式； 【问题解决】 （3）如图3所示，矩形是某地的一个湖，其中，点分别是湖岸、的中点．当地政府计划将其改造成一个旅游景点，决定在湖岸上选一点，过点作与平行的直线交于点，沿分别建观光长廊，交于点，点是的中点，并以为一边向左侧建一个正方形垂钓中心．设，正方形垂钓中心的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②按照设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时，正方形垂钓中心的面积． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题探究：如图①，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上的任意一点，连接，请求出的最小值． （2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖，已知，米，米，米，F为中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道（宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．    19．（2024·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积． 20．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 21．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 综合实践（压轴）——图形的性质与变换综合 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点 1 圆综合 2024 ·陕西：圆周角定理，解直角三角形，平行四边 形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质 近五年中考的最后一个大题主要考查图形的性质与图形 的变换的综合实践问题 。 其 中 2020年 、2023年 、2024年以圆的性质和图形变换进行综合实践命题，2022年重点体现了三角形综合；21年重点体现了四边形综合。本题作为中考中的压轴大题，难度较大，部分学有余力的学生在备考中，需要对三角形、四边形、圆、图形的相似、 锐角三角函数、几何图形中的函数应用等知识和方法进行灵活运用，会将几何知识与实际问题相联系，会根据条件转化问题，会灵活引出辅助线进行解题。 2023 ·陕西：等腰三角形的性质，切线的性质，平行 四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解 直角三角形 2020 · 陕西：圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、 正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、 三角函数定义、三角形面积与正方形面积 考点 2 三角形综合 2022 ·陕西：等边三角形的性质，等腰三角形的判定 及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐 角三角函数、正方形、垂直平分线 考点 3 四边形综合 2021 ·陕西：平行四边形性质，运用锐角三角函数求 边长，根据二次函数图像求最值问题 考点1圆综合 1．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、圆周角定理 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    【答案】（1）；（2） 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】 （1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案． 【详解】 解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，    则． 半径为4， ， ．， ， ， ， 线段的最小值为； （2）如图②，分别在，上作，    连接，、、、． ，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 当点在上时，取得最小值． 作，使圆心在上，半径， 作，垂足为，并与交于点． ∴， △△， ， 在矩形区域内（含边界）， 当与相切时，最短，即． 此时，也最短． ， 也最短． ， ， 此时环道的圆心到的距离的长为． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2020·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 【答案】（1）CF、DE、DF；（2）CF＝6﹣2；（3）① y＝﹣x2+35x+1225；② 576m2． 【知识点】其他问题(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果； （2）连接OP，由AB是半圆O的直径，，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4 ，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果； （3）① 同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝ PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35 ，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果； ② 当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝ ＝＝50，由S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，求PF，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形CEDF是矩形， ∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF是正方形， ∴CE＝CF＝DE＝DF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接OP，如图2所示： ∵AB是半圆O的直径，， ∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°， ∴∠ABP＝30°， 同（1）得：四边形PECF是正方形， ∴PF＝CF， 在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8× ＝4 ， 在Rt△CFB中BF＝＝ ＝ ＝CF， ∵PB＝PF+BF， ∴PB＝CF+BF， 即：4＝CF+CF， 解得：CF＝6﹣2； （3）①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC， 同（1）得：四边形DEPF是正方形， ∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°， ∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示： 则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF， ∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°， ∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x）， 在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35， ∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225， ∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225； ②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40， 在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝ ＝＝50， ∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P， ∴×50×PF＝×40×30， 解得：PF＝24， ∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2）， ∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2． 【点睛】本题是关于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键． 考点2 三角形综合 4．（2022·陕西·中考真题）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)符合要求，理由见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可； （2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解； （3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，连接．       图2 ∵， ∴四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：符合要求． 由作法，知． ∵， ∴． 如图3，以为边，作正方形，连接．         图3 ∴． ∵l是的垂直平分线， ∴l是的垂直平分线． ∴． ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∴． ∴裁得的型部件符合要求． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难． 考点3 四边形综合 5．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为． 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、平行四边形性质和判定的应用、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可； （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可． 【详解】解：（1）在中，设边上的高为h． ∵，，∴ ∵，∴点到的距离为． ∴ ． （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则 ， ， ，． 由题意，易知， ∴ ． ∴当时，． ，． ∴符合设计要求的四边形面积的最小值为， 这时，点N到点A的距离为． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键． 6．（2024·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，与的半径分别为1和2，均与直线相切，切点分别为、，，、分别为两圆上的动点，求线段的最小值． 问题解决 （2）春意盎然，万物复苏，到了种植的季节，学校里的校园农场热闹起来，同学们积极参与到校园农场建设中．已知校园农场为矩形区域，如图2所示，记作矩形，经过测量，米，米，为方便耕作，需要在农场上设计两条小路．已知点、分别是线段、上的动点，且满足．在线段上任取一点，始终满足为直角，把满足条件的所有点设计成第一条弯弯的小路，这条小路成了校园农场一道亮丽的风景线．为了方便休息，在这条弯弯的小路上建造凉亭．在农场西南角如图顶点位置搭建一个弓形阳光房，米，曲线是圆心角为的圆弧．在弧上取一点作为阳光房的门，在门和凉亭之间建造第二条小路即线段． ①试画出第一条弯弯小路的位置（不要求尺规作图），并求这条小路的长度； ②当小路最短时，求三角形区域的面积．（注：小路和门的宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）①画图见解析，米；② 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段长、圆周角的概念辨析、圆周角定理 【分析】此题属于圆的综合题，涉及了三角形的面积，三角函数，最短路线，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． （1）连接，过点作，设交与分别为，则此时线段的最小，进而即可得出答案； （2）①如图，延长至点，使得，连接交于点T，过点D作，连接，作出中点O，连接，以为O为圆心，为半径，作出，则为第一条弯弯小路的位置，再利用弧长公式求解即可； ②如图，以为底作等腰三角形，且使，则是以点为圆心，为半径的圆的一部分，连接交于点R，分别交、于点，此时最短，连接，过点N作，连接，过点Q作交于点Y，垂足为点Z，可得，进而即可求解． 【详解】解：（1）连接，过点作，设交与分别为，则此时线段的最小， ∵与的半径分别为1和2，均与直线相切，切点分别为、，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的最小值=； （2）①如图，延长至点，使得，连接交于点T，过点D作，连接，作出中点O，连接，以为O为圆心，为半径，作出，则为第一条弯弯小路的位置， 四边形是矩形， 米，米，， ， ， 米， ， ， ， 米， ， 的长为：米， 这条小路的长度米； ②如图，以为底作等腰三角形，且使，则是以点为圆心，为半径的圆的一部分，连接交于点R，分别交、于点，此时最短， 连接，过点N作，连接，过点Q作交于点Y，垂足为点Z， ， 米， 由题意可得：在中，米， 米，米， 米， 米，米， ， ， 米， （米）， ， ， ， （米）， （平方米）， 7．（2024·陕西西安·三模）【实验探究】 （1）如图1，在矩形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接、，若，且，求的面积． 【问题解决】 （2）如图2所示，平行四边形为经济开发区某一区域的示意图，，，A处为一村庄，在点B处修建一个以B为圆心，为半径的圆形度假村供市民休闲娱乐，线段为一条公路（宽度忽略）．开发区想在这片区域内修建一个民俗展示馆P，并修建公路分别连通A村（线段）、度假村（线段，E为上一点）和公路（线段，F为公路上一点），修路费用为2万元，求修建道路的最少费用是多少万元？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)，详见解析(2)24万元，详见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由，利用等角的三角函数值相等，由的三角函数值，在中解三角形，求出，在中解三角形中解三角形求出，进而得出，最后代入面积公式即可； （2）如图，连交于点E，将绕点B逆时针旋转得到，连，将的最小值即可转化成点到直线的垂线段的长，然后求出的长，去掉的长即可得出的最小值，进而即可得解． 【详解】（1）如图，过点 B作，垂足为G，过点E作，垂足为 F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，连交于点E，将绕点B逆时针旋转得到，连， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴根据垂线段最短的性质，可得出的最小值即可转化成点到直线的垂线段的长， 如图所示， ∴当共线且垂直于时，如图所示，过点C作交于点M,设与交于点N， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴    ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴在中， ∴， ∴， ∵E为上一点， ∴， ∴的最小值为：， ∵修路费用为， ∴修建道路的最少费用是（万元）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行四边形的判定和性质以及三角形面积公式的运用等知识点，熟练掌握判定与性质，合理作出辅助线是解决此问题的关键． 8．（2024·陕西汉中·二模）【问题探究】 （1）如图，已知点与点关于对称，则________；（填“”“”或“”） （2）如图，在菱形中，点是上的点，连接，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长； 【问题解决】 （3）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，．园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据轴对称的性质得出答案即可； （2）延长，相交于点，根据折叠的性质，利用证明，得到，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出，求出，根据，得出答案即可； （3）连接，与相交于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，根据轴对称的性质，得出，，，，，，结合“两直线平行，内错角相等”，推出，得出，得到四边形是菱形，利用证明，得出，由，得到为等腰直角三角形，设，则，根据勾股定理得出方程求解，求出、、，根据计算，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得到，求出，再求出的周长即可． 【详解】解：（1）∵点与点关于对称， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长，相交于点， ∵将沿翻折得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵菱形的边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，与相交于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴栅栏的长． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线、数形结合、推理证明是解题的关键． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）问题提出 如图（1），在中，，，则的值为__________； 问题探究 如图（2）在中，，点为的中点，且，求的最大值；    问题解决 为了迎接六一儿童节，营造欢乐的气氛，公园工作人员决定在矩形场地内用红色花卉摆出一个形图案，即七边形，其中点在矩形的内部，且，分别在矩形的边和上取一点，使得，，沿着和拉了两条彩带，彩带米，点E、F关于矩形的一条对称轴对称，且．为了夜晚的形图案更美观，工作人员计划沿着七边形的边装上一周灯带，并在尽可能大的区域内插上风车．已知灯带每米40元，请帮助公园工作人员解决问题：求当最大且的面积最大时，购买全部灯带所需的费用． 【答案】（1）；（2）；（3）购买全部灯带所需的费用为元 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、求过圆内一点的最长弦、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）过点作交的延长线于点，解得出，进而根据勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解； （2）延长至点 ，使得 ，连接，可得，进而得出，，得出，根据直径是圆中最长点的弦，即可求解； （3）延长 至点，使得 ，连接并延长至点 ，使，连接，则，得出，同（2）可得，同（1）得出，进而得出的最大值，进而得出以及的最大值，表示出，根据二次函数的性质得出当时，的最大值为，此时 ，进而根据对称轴求得，利用长度乘以费用，即可求解． 【详解】解：（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴，则， 又，则， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）延长至点 ，连接，使得   ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 作 的外接圆 ，连接 并延长交于点， 在中，，， ， 又直径是圆中最长点的弦， 的最大值为； （3）延长 至点，使得 ，连接并延长至点 ，使，连接，则， ， ， 又， ，   ， ， ， 过点 作于点 ， 在中，设，则 ，， ， 在中，， ， ， 同（2）可得 ， 又， ， 设，则， 又， ， ， ，且， 当时，的最大值为， 此时 ， 又， ， 由轴对称性可知， 灯带费用为：元． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）问题提出 （1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为 ； 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值； 问题解决 （3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最大值；（3）存在，的最小值为米 【知识点】圆周角定理、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）经过点时，取最大值，连接，由圆周角定理得到，再得出是等边三角形，即可求解； （2）取的中点，连接，，，再利用勾股定理即可求解； （3）取的中点，连接，，分别证明，，得到，再利用勾股定理求出当点共线时， 的最小值即可求解． 【详解】解：由题意知，圆上两点直径最长，则经过点时，取最大值，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取的中点，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵点是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得： ， ∴当点，点，点共线时，最大值为：， ∴的最大值； （3）存在；取的中点，连接，，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，是的中点，， ∴， 在中， ， 在中， ， 当点共线时， 有最小值， ， ∴的最小值为：米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，正方形与矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 11．（2024·陕西宝鸡·三模）（1）如图①，在中，，，则外接圆的半径为______； （2）如图②，在四边形中，连接，，，，，点是上一动点，连接，求的最小值； （3）弓形是一个人工湖，其示意图如图③所示，弓形是由弦和劣弧组成，、是两座石桥，交于点，点在上，点在上，，，点是的中点，点到的距离为，．现要对这个人工湖进行扩建，在的上方扩建，点是所在圆的圆心，设计师计划沿线段修建木制小桥，点在上，，动点分别在上，设计师测得．为节约成本，要求修建的木制小桥的总长尽可能的短（即最短），问的值是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最小值，最小值为，此时的长为 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长度，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可得出答案． （2）连接，由图可得，的最小值即为的长，过点作于点，过点作交的延长线于点，进而可得四边形是矩形，勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作于点，点在的延长线上，设点的位置如图所示，连接，设所在的圆的半径为，在中，勾股定理得出，证明垂直平分线段，连接，分别交于点连接则，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，即分别在的位置时，的最小值为，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∴外接圆的半径为 （2）连接，由图可得 ∴的最小值即为的长， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即的最小值为； （3）过点作于点，点在的延长线上，设点的位置如图所示，连接 ∵点是的中点， ∴， 设所在的圆的半径为 在中， 即 解得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴垂直平分线段 连接，分别交于点连接则， ∴ 根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，即分别在的位置时，的最小值为， 根据圆周角定理可得 ∵ 在中，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴ ∴ ∴的最小值存在，此时的长为． 【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形外接圆半径，两点之间线段最短，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识，线段的转化，是解题的关键． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）综合实践 (1)如图，点在上，，圆心到直线的距离，求的最大值． (2)市政部门要把一块长方形荒地（如图）改造成一个户外休闲区，其中米，米，在边上分别取点，修建一条笔直的通道，要求，过点修建通道，且于点，计划在内修建草坪，在四边形内修建老年活动区，在四边形内修建儿童游乐园，请问修建的老年活动区与儿童游乐园面积之和（即）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为36； (2)存在最大值，最大值为平方米． 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题干可分析出当当、、三点共线时，最大，此时有最大值，再用面积公式求解即可； （2）要求的最大值，则可以求的最小值，延长交延长线于点，连接，利用相似三角形得到，再利用勾股定理得到，由可得出点的运动轨迹，进而找出的高最小值的情况，再根据条件求出长度即可． 【详解】（1）解：为定值， 当边上的高最大时，则有最大值， ， 当、、三点共线时，最大， 此时， 的最大值为36； （2）解：， 要求的最大值，则可以求的最小值； 如图，延长交延长线于点，连接， ∵， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 取中点，以为圆心，作的外接圆，连接，过作于点，连接， 则， 要想使有最小值，则可使最小即可， ，而为半径是定值， 要使最小，则最小， 当时最小， 是中点， 此时也是中点， ， ，即最小值为， 此时， ， （平方米）， 即存在最大值，最大值为平方米． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积问题、点圆最值问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由． （2）如图2，影厅是一个长为12米，宽为6米的矩形，是观影屏幕，且米，观众座位设置在矩形区域内，其中米，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列上的座位可选，为使观影视角最佳，在上是否存在点P，使得最大，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． （3）在（2）情况下，交于点Q，所在区域观影效果不佳，则此区域的面积_______． 【答案】（1）坐在 C位置更好；（2）为2米；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】（1）如图，记于圆的交点为，证明，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）如图，作过且与，都相切的，与的切点为，连接，，，，，，，过作于，交于，由（1）的结论可得：最大，再进一步解答即可； （3）如图，延长交于，结合（2）可得：，，由，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）如图，记于圆的交点为， ∴， ∵， ∴， ∴坐在 C位置更好； （2）如图，作过且与，都相切的，与的切点为，连接，，，，，，，过作于，交于， 由（1）的结论可得：最大， 由题意可得：矩形，矩形， ∴，，，，， ∵，，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米， ∴，，，， ∵为的切线， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交于， 结合（2）可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 14．（2024·陕西榆林·三模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，，点D是的中点，点E在上，且，点F是边上的一个动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口G、H分别在、边上，，，，，，，现计划在边上修建一个半径为的圆形休闲娱乐广场（即的圆心在上，且的半径为），再沿直径设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且），在F处设置自助饮水设备，需要沿和铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度要最小，请你求出的最小值． 【答案】（1）的最小值为10；（2）的最小值为160m 【知识点】求角的正切值、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短．熟练掌握轴对称性质，勾股定理解直角三角形，含的直角三角形性质，正切值定义，是解决问题的关键． （1）作点E关于的对称点G，连接，，则，， 最小值为，．过点D作于点H．则，根据点D是的中点，推出点H是的中点，得到，．根据，得到，在中，运用勾股定理即得； （2）连接，过点F作直线，作点H关于直线l的对称点P，连接、、，交于点I，交直线l于点K，得，， 最小值为，．根据，，，得到，得到，得到．根据，推出 ，得到，证明四边形是矩形，得到，得到，得到，根据勾股定理得到． 【详解】（1）作点E关于的对称点G，连接，， 则，， 当点D、F、G三点共线时， 取得最小值，为． ∵在中，， ∴， ∴， ∴点E，C，G在同一条直线上， 过点D作于点H． 则， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为10； （2）连接，过点F作直线，作点H关于直线l的对称点P，连接、、，交于点I，交直线l于点K， 当点O在边上运动时，点F在直线l上移动， 由轴对称可得，，， ∴， ∴当点P、F、G三点共线时， 取得最小值，为， ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为160m． 15．（2024·陕西商洛·二模）【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】 （3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    【答案】（1）；（2）；（3）种植花卉的最少费用为元；草坪的最少费用为元 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的判定与性质综合、等腰梯形的性质定理 【分析】（1）过点作于点，进而可得，，解，即可求解； （2）作的外接圆交于点，连接，得出，证明，根据即可求解． （3）将绕点顺时针旋转得到，根据是等腰梯形，，，得出，作的外接圆，连接，则当最小时，种植花卉的面积最小，即当重合时，即为的直径时，最小，进而求得种植花卉的最少费用，当面积最大时，则四边形面积最小，当重合时，最大，则最大，进而求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点，    ∵是的外心， ∴， ∵， ∴ 即外接圆的半径为 （2）如图所示，作的外接圆交于点，连接，    ∵四边形是矩形， ∴ ∴是直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ 设，则， ∵，，， ∴ ∵ ∴ 解得：或（负值舍去） ∴ （3）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，    ∴ ∴ ∵梯形，，，， ∴是等腰梯形，， ∴ ∴在直线上， ∴ ∵， ∴ 作的外接圆，连接， ∴ ∴， 而 ∴当最小时，种植花卉的面积最小， ∴当重合时，即为的直径时，最小， 此时 ∴平方米． ∵种植花卉每平方米元， ∴种植花卉的最少费用为元； ∵在四边形内部种植草坪， 即当面积最大时，则四边形面积最小， ∵在上， ∴当重合时，最大，则最大 此时，如图所示，    ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴到的距离相等， 设 ∵ ∴ ∵，， 在中， ∴ ∵是等腰梯形， ∴ ∴ ∴平方米． ∵种植草坪每平方米元， ∴种植草坪的最少费用为元； 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在正方形内有一点，，点是的中点，且．连接，求的最小值； （2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形，米，米，在小区内部建立一个老年活动中心，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到老年活动中心的距离相等（即，过点作于点，老年活动中心，，围成直角三角形．在的内心建立一个餐厅，现修建一条小路，使得栋楼的居民到餐厅的距离最小，请问是否存在最小距离？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）存在，的最小值为米 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）过作于，连接，由，可得，即知，从而，，可得点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，故当M、P、D共线时，最小，的最小值为，在中，根据勾股定理得到，即可得答案． （2）如图②，连接，，，根据角平分线的定义和，求得，根据全等三角形的性质得到，如图③，作的外接圆，连接，，当B，H，K三点共线时，最小，如图④，连接，，，延长，过点作交的延长线于点，根据勾股定理得到米，求得米，求得（米），根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）过作于，连接，如图①：   ，， ， ， ，， ， ， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的半圆， 当、、共线时，最小，的最小值为， 在中，， 最小为； （2）存在，如图②，连接，，，   是的内心， 平分，平分， ， ， ， 在与中， ， ∴ ， 如图③，作的外接圆，连接，，   ， 当，，三点共线时，最小， 如图④，连接，，，延长，过点作交的延长线于点，    在中，， ， 米， 米， 米， （米， 在中，由勾股定理得，米， 米， 的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握其性质，正确地作出辅助线是解决此题的关键． 17．（2024·陕西渭南·二模）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，连接，点分别是的中点，连接，若，，则矩形的周长为______； （2）如图2，正方形边长为10，、分别是边上的动点，连接，且，若，，求与之间的函数关系式； 【问题解决】 （3）如图3所示，矩形是某地的一个湖，其中，点分别是湖岸、的中点．当地政府计划将其改造成一个旅游景点，决定在湖岸上选一点，过点作与平行的直线交于点，沿分别建观光长廊，交于点，点是的中点，并以为一边向左侧建一个正方形垂钓中心．设，正方形垂钓中心的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②按照设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时，正方形垂钓中心的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）利用三角形的中位线定理求出，，然后利用矩形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）①证明，求出，证明，求出，，然后分，两种情况讨论即可； ②把代入①中所求函数关系式求解即可． 【详解】解：（1）∵点分别是的中点， ，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的周长为， 故答案为：； （2）∵正方形边长为10， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）①∵矩形中，点分别是、的中点． ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当过M作于H，    ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当过M作于H，    ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 综上， ②把代入，得， 即正方形垂钓中心的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，寻找出相似三角形进行求解是解题的关键． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题探究：如图①，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上的任意一点，连接，请求出的最小值． （2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖，已知，米，米，米，F为中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道（宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．    【答案】（1）的最小值为9；（2）最低费用为元． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作点关于的对称点，连接交于点，证明，是等边三角形，当在同一直线上时，，根据垂线段最短，得到的最小值为的长，据此求解即可； （2）延长交于点，连接，过作，使米，连接交于点，在上截取米，连接，得到四边形是平行四边形，过点作于，交于点，证明，求得，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，，    在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， 当在同一直线上时，， 根据垂线段最短，得到的最小值为的长， ∴， ∴的最小值为9； （2）延长交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∵F为中点， ∴， 当在同一直线上时，有最小值，的圆心在上， 过作，使米，连接交于点，在上截取米，连接，    ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于，交于点， ∵米，米， ∴米，米， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴米， ∴最低费用为元． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 19．（2024·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积． 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米． 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）只需要证明，即可得到； （2）过点F作交BC的延长线于点G，如图2．由平行线的性质得到，证明是等腰直角三角形，得到，．则，再证明，即可证明． （3）连接，过点F作于点P，如图3．由矩形的性质得到，米，则为等腰直角三角形，得到，（米）．证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，得到，即可证明A、H、F三点共线．由菱形的性质得到垂直平分，则．进而可得米，则米，求出米，可得米．再求出米，则（平方米）． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （2），理由如下： 过点F作交BC的延长线于点G，如图2． ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，即． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）连接，过点F作于点P，如图3． ∵在矩形中，米，米，H为的中点， ∴，米， ∴为等腰直角三角形， ∴，（米）． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴，即A、H、F三点共线． ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米． 记与的交点为点O，如图3． ∵（米），米， ∴米， ∴（平方米）． 即的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形． 20．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】(1)①平行四边形；②6． (2)米 【知识点】利用平移的性质求解、根据正方形的性质证明、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质： （1）①根据平行的性质得到，据此可证明四边形是平行四边形；②由正方形的性质得到，，由勾股定理得，由平行线的性质得到，则，由勾股定理得到，再由正方形的性质和平行四边形的性质得到，，则； （2）如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接，则四边形和四边形都是平行四边形，可得，则当四点共线时，最小，即此时最小；如图所示， 分别延长交于H，则，进而得到，则米，米，进一步得到米，米，则米， 即可得到的最小值为米． 【详解】（1）解：①由平行的性质可得， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由正方形的对称性可得， 由平行四边形的性质可得， ∴， 故答案为：6； （2）解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H， ∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴， ∴， ∴米， ∴米， ∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 21．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】圆的综合问题、求一点到圆上点距离的最值 【分析】（1）连接，，根据即可求解；（2）由题意可推出，结合，为定值以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；（3）连接，延长，可推出，以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解； 【详解】解：（1）连接，，如图所示： ∵ ∴ 由题意得：， ∴ 故答案为： （2）由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵，为定值 以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ∴ ， ∵ ∴ 即：线段长度的最小值为 （3）连接，延长，如图所示： ∵，点是的内心 ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴垂直平分线段 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为定值， 以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 作，则 ∴， ∴ 【点睛】本题考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$