专题10 四边形的性质与判定（52题）（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题10 四边形的性质与判定（52题） 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 3．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 4．（2022·陕西·中考真题）在下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 5．（2021·陕西·中考真题）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解． 【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 二、填空题 6．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 【答案】5 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 7．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    【答案】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 8．（2023·陕西·中考真题）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ． 【答案】62° 【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么． 【详解】解：如图，连接，   点是菱形的对称中心，， 点是菱形的两对角线的交点， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 9．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 10．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=，AD//BC， ∴ 在Rt中，AB=4，BO=， ∵， ∴ 过点M作MG//BD交AC于点G， ∴, ∴ 又 ∴， ∴四边形MEOG是矩形， ∴ME=OG， 又 ∴ ∴ 在和中， , ∴≌ ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 11．（2021·陕西·中考真题）正九边形一个内角的度数为 ． 【答案】140° 【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解． 【详解】正多边形的每个外角 （为边数）， 所以正九边形的一个外角 正九边形一个内角的度数为 故答案为：140°． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键． 三、解答题 12．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 四、单选题 13．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，点D为的中点，点H为上一点，连接，点E、F分别为的中点，连接，若，则的长为（    ） A．5 B．8 C．16 D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键：由点E、F分别为的中点，可得到为的中位线，由此可得到，结合点D为的中点，可得到，即可． 【详解】解：∵点E、F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵点D为的中点， ∴； 故选B． 14．（2025·陕西西安·三模）如图，点为正方形内一点，连接、、、，，则图中的等腰三角形（含等边三角形）共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和等边三角形的判定和性质，求得，，再证明，求得，据此求得等腰三角形共有4个． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，都是等腰三角形，共有4个， 故选：D． 15．（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形的面积为，得到，进而求解即可． 【详解】∵矩形，， ∴矩形的面积为， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：A． 16．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】四边形为矩形，是对角线的中点 ， ∵， ∴ 在中， ∴ 故选：B． 17．（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，于点，于点，，，，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8.4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，等积法求线段的长，根据等积法求出的长，即为的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点，于点， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 18．（2025·陕西汉中·二模）已知四边形为菱形，对角线与相交于点O，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查菱形对角线性质以及三角形面积公式的应用．解题关键是利用菱形对角线性质求出相关线段长度； 由菱形对角线性质得、且，根据是中点，算出，以为底，为高，用三角形面积公式求出面积． 【详解】解：如图： ∵四边形为菱形，对角线与相交于点O，，， ∴，，且， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：B． 19．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作 ，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．利用等高的两个三角形的面积比等于底的比求得，证明，求得，再利用平行四边形的性质证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 20．（2025·陕西商洛·三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，进而求出，利用勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 21．（2025·陕西西安·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图1，在正方形纸板中，．为对角线．E，F分别为的中点，连接，分别交于O，N两点，P，H分别为的中点，连接，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这副七巧板拼成如图2所示的图形，则点Q到之间的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和平行四边形的性质，根据相关性质求出线段的长，进而即可求出答案． 【详解】解：由，结合正方形的性质可得， 图形⑦中边上的高为， 图形⑥为平行四边形，其中边上的高为， 图形④是正方形，其边长为， 由此累加可求得点Q到之间的距离为． 故选：C． 22．（2025·陕西渭南·二模）如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接交的延长线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故选B． 五、填空题 23．（2025·陕西延安·三模）在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 24．（2025·陕西西安·三模）笑笑同学用4个全等的正n边形硬纸板和一个正方形硬纸板拼成了一个如图所示的平面图形（部分），这5个硬纸板的拼接处无空隙，不重叠，则n的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形的内角的定理，多边形的外角和定理，正多边形的性质，解题关键是掌握多边形的内角和公式． 先求出正n边形的每个内角的度数，再根据多边形内角和公式列出方程求解． 【详解】解：由图可知，正n边形的每个内角的度数为， ∴ ， 解得． 故答案为：8． 25．（2025·陕西宝鸡·二模）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作样板为图中的正八边形，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角问题. 根据正多边形内角公式计算即可． 【详解】解：八边形是正八边形， ． 故答案为：． 26．（2025·陕西榆林·二模）如图是由两个正六边形、两个正方形和两个等腰三角形（阴影部分）无缝隙、不重叠地拼成的美丽图案，已知正六边形和正方形的边长均相等，则等腰三角形的底角度数为 ． 【答案】75 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，求出正六边形和正方形的一个内角度数，根据周角的定义，求出等腰三角形的顶角的度数，再根据等边对等角，求出等腰三角形的底角度数即可． 【详解】解：由题意，一个正六边形的内角度数为，一个正方形的内角的度数为：， ∴等腰三角形的顶角度数为：， ∴等腰三角形的底角度数为； 故答案为：75． 27．（2025·陕西咸阳·三模）用一些全等的正五边形按如图所示的方式拼接，围成一圈后中间也形成一个正多边形，则中间形成的这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的边数，先求出正五边形的内角度数，进而求出中间形成的正多边形的内角度数，再根据多边形内角和公式列出方程解答即可求解，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正五边形的内角度数为， ∴中间形成的正多边形的内角度数为， 设中间形成的正多边形的边数为， 则， 解得， ∴中间形成的这个正多边形的边数为， 故答案为：． 28．（2025·陕西延安·二模）如图，在矩形中，，点是的中点，点是上的任意一点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，过作于，过作于，先证明四边形为矩形，得到，再根据中点和折叠得到，最后根据根据垂线段最短可得，解得，然后根据计算即可． 【详解】解：过作于，过作于， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将矩形沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵，， ∴根据垂线段最短可得， ∴，解得， ∵， ∴当时，最小， 故答案为：． 29．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，点到圆的最值距离，勾股定理，得到点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 为的中点，，即， ， ， ，即 点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值． ，四边形是矩形， ，， ， 的最小值是． 30．（2025·陕西汉中·二模）如图，在正方形中，，点、分别为边、上的动点（均不与端点重合），以为边向右作等边，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由等边三角形的性质得，即，由正方形性质得，故有四点共圆，为该外接圆的直径，所以，故有点在射线上运动，当，取得最小值，然后由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵点为等边的边的中点， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆，为该外接圆的直径， ∴， ∴点在射线上运动， ∴如图，，取得最小值， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 31．（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出， ，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， ， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 32．（2025·陕西商洛·三模）如图，正方形的边长为2，为正方形内与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线，证明三角形全等； 连接、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 正方形和正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 33．（2025·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．连接并延长至点，使，记与的交点为，连接，过点、点作直线，由三角形中位线定理求得点在过点且垂直于的直线上，当点在时，此时周长的最小值为，证明是等边三角形，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接并延长至点，使，记与的交点为，连接，连接，连接，过点作直线垂直，则： 直线是线段的垂直平分线， ∵菱形中， ∴，，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴， ∵是定长， ∴周长的最小值为， ∴当点在上时，的周长最小，为， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 34．（2025·陕西榆林·三模）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，的平分线交于点E，交的延长线于点F，点P是的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点G，连接、，由平分结合矩形的性质可得，根据三角形的中位线定理可得，，同理可得：，，易得，，，于是可证得，则，进而即可求解． 【详解】解：连接，取的中点G，连接、， ∵在矩形中， ，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O是对角线的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，而， ∴，， ∴，而为中点，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 35．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图,连接,过点作,使得,连接.证明,推出,推出,求出即可解决问题． 【详解】解：如图,连接,过点作,使得,连接.    ∵四边形是菱形, ∴, ， ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ， ， ∴的最小值为． 故答案为：. 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 36．（2025·陕西·一模）如图，正五边形的两条对角线与相交于点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和问题等知识点，证明出四边形是菱形是解题的关键． 先根据正五边形求出每个内角度数，以及得到，再导角证明四边形是平行四边形，继而可证明其为菱形，则周长即可求解． 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形周长为， 故答案为：． 37．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，是矩形的对角线，点为边上的点，连接、，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式. 由矩形的性质得，，，则，，所以，即可求得. 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 38．（2025·陕西榆林·二模）如图，为矩形的对角线，，，点为上一动点，以为斜边向上方作，使得，连接，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，利用正切函数求得，判断出点在射线上运动，过点作交的延长线于点，则的长即为的最小值，在射线上截取，连接、，交于点，中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用等积法求解即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点在射线上运动，过点作交的延长线于点，则的长即为的最小值， 在射线上截取，连接、，交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， 在中， ∵， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，则， ∵， ∴，即的最小值为8， 故答案为：8． 39．（2025·陕西咸阳·三模）如图，点、分别在的边、上，，连接交直线于点于点，连接，当最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，点的运动估计及解三角形，切线的性质，理解题意，确定点的运动轨迹是解题关键． 根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出点为的中心，连接，取的中点，以为直径作交于另一点，确定点在优弧上运动，由图可知，当与相切时，最小，此时点位于点的位置，连接，利用正弦函数求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点为的中心， 连接，取的中点，以为直径作交于另一点， ∵， ∴点在优弧上运动， 由图可知，当与相切时，最小，此时点位于点的位置， 连接， ∴， ∵， 则此时， 故答案为：． 40．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 六、解答题 41．（2025·陕西榆林·二模）如图，点、在的边上，在边上取点，连接，使得，过点作交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，证明四边形为菱形，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，即． ， ∴四边形为平行四边形． ， ∴四边形为菱形， ． 42．（2025·陕西延安·三模）如图，点、分别为的边、上的点，，连接、．请从①；②中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 【答案】选择①或②，证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，选择①，根据平行四边形的性质先证明，再利用证明，得到，即可证明平行四边形是菱形；选择②，先证明，再利用证明，得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】解：选择①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 选择②，证明如下： 同理可证明， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 43．（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，平分交于点．请用尺规作图法在边、上分别确定点、，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理，作的垂直平分线交于，交于，交于，则四边形即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于，交于，交于，则四边形即为所作． ， 由作图可得，垂直平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 44．（2025·陕西·一模）如图，在中，是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质以及已知条件证明，进而根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ． 是的中点， ． 又， ， ， ． 45．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟记相关结论即可． 证明，可得，从而得到，继而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 46．（2025·陕西延安·二模）如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质证明即可求证，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 47．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】 （1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________； 【问题解决】 （2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，米 【分析】（1）取的中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，在中，由勾股定理得，则的最小值为； （2）证明四边形是矩形，得到．再证明四边形是菱形；连接交于点，则，互相垂直平分，则当三点共线时，的值最小，即为的长．证明为等边三角形，而米，则米．米，则（米）．的最小值为米． 【详解】解：（1）如图所示，取的中点E，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点，E为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为； （2）存在， 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形， ． 四边形是平行四边形， ． 分别为边的中点， ， 四边形是平行四边形． 为边的中点， ， 四边形是菱形； 如图，连接交于点，则，互相垂直平分， ， 当三点共线时，的值最小，即为的长． ， ， 为等边三角形，而米， 米． 为的中点， 米， （米）． 的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． 48．（2025·陕西汉中·二模）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是__________；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）添加合适的条件即可； （2）证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 补充条件①：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 补充条件③：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 注：答案不唯一，上面任意一种方案正确均给分（选项②不能作为补充条件）． 49．（2025·陕西榆林·二模）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】(1)①或3 (2)见解析 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【详解】（1）解：①或③ （2）方案一：选① 证明：四边形是平行四边形， .   在和中，，，， ，    ， ∴四边形为菱形.     方案二：选③， 证明：四边形是平行四边形， .   在和中，，，， ，    ， ∴四边形为菱形. 50．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 根据题意判定即可求解． 【详解】证明：在菱形中，， ， ， ， ． 51．（2025·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，由平行线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ，即， ∵，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形． 52．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，点是边上的点，，交于点求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定． 由矩形的性质得，由得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 点是边上的点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 试卷第44页，共44页 试卷第43页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 四边形的性质与判定（52题） 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 2．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 4．（2022·陕西·中考真题）在下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·陕西·中考真题）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 7．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    8．（2023·陕西·中考真题）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ． 9．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 10．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ． 11．（2021·陕西·中考真题）正九边形一个内角的度数为 ． 三、解答题 12．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 四、单选题 13．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，点D为的中点，点H为上一点，连接，点E、F分别为的中点，连接，若，则的长为（    ） A．5 B．8 C．16 D．2 14．（2025·陕西西安·三模）如图，点为正方形内一点，连接、、、，，则图中的等腰三角形（含等边三角形）共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 16．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 17．（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，于点，于点，，，，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8.4 D．8 18．（2025·陕西汉中·二模）已知四边形为菱形，对角线与相交于点O，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 19．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作 ，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 20．（2025·陕西商洛·三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（    ）    A．2 B．3 C． D． 21．（2025·陕西西安·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图1，在正方形纸板中，．为对角线．E，F分别为的中点，连接，分别交于O，N两点，P，H分别为的中点，连接，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这副七巧板拼成如图2所示的图形，则点Q到之间的距离为（    ） A． B．4 C． D． 22．（2025·陕西渭南·二模）如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接交的延长线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 五、填空题 23．（2025·陕西延安·三模）在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 24．（2025·陕西西安·三模）笑笑同学用4个全等的正n边形硬纸板和一个正方形硬纸板拼成了一个如图所示的平面图形（部分），这5个硬纸板的拼接处无空隙，不重叠，则n的值为 ． 25．（2025·陕西宝鸡·二模）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作样板为图中的正八边形，则的度数为 ．    26．（2025·陕西榆林·二模）如图是由两个正六边形、两个正方形和两个等腰三角形（阴影部分）无缝隙、不重叠地拼成的美丽图案，已知正六边形和正方形的边长均相等，则等腰三角形的底角度数为 ． 27．（2025·陕西咸阳·三模）用一些全等的正五边形按如图所示的方式拼接，围成一圈后中间也形成一个正多边形，则中间形成的这个正多边形的边数为 ． 28．（2025·陕西延安·二模）如图，在矩形中，，点是的中点，点是上的任意一点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ． 29．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 30．（2025·陕西汉中·二模）如图，在正方形中，，点、分别为边、上的动点（均不与端点重合），以为边向右作等边，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 31．（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为 ． 32．（2025·陕西商洛·三模）如图，正方形的边长为2，为正方形内与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为 ． 33．（2025·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为 ． 34．（2025·陕西榆林·三模）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，的平分线交于点E，交的延长线于点F，点P是的中点，连接，若，，则的长为 ． 35．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 36．（2025·陕西·一模）如图，正五边形的两条对角线与相交于点，若，则四边形的周长为 ． 37．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，是矩形的对角线，点为边上的点，连接、，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．    38．（2025·陕西榆林·二模）如图，为矩形的对角线，，，点为上一动点，以为斜边向上方作，使得，连接，则的最小值为 ． 39．（2025·陕西咸阳·三模）如图，点、分别在的边、上，，连接交直线于点于点，连接，当最小时，的值为 ． 40．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 六、解答题 41．（2025·陕西榆林·二模）如图，点、在的边上，在边上取点，连接，使得，过点作交于点，求证：． 42．（2025·陕西延安·三模）如图，点、分别为的边、上的点，，连接、．请从①；②中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 43．（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，平分交于点．请用尺规作图法在边、上分别确定点、，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 44．（2025·陕西·一模）如图，在中，是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：． 45．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 46．（2025·陕西延安·二模）如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点．求证：． 47．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】 （1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________； 【问题解决】 （2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 48．（2025·陕西汉中·二模）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是__________；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 49．（2025·陕西榆林·二模）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 50．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 51．（2025·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 52．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，点是边上的点，，交于点求证：四边形是正方形． 试卷第44页，共44页 试卷第43页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$