专题08 二次函数的图象与性质（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（陕西专用）

专题8 二次函数及其图象、性质 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点 1 二次函数的解析式 与图象性质 （5 年 2 考） 2024 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式，二次函数的性质 2021 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式，二次函数的性质、二次函数的最值 近五年中考二次函数及其图 象与性质命题侧重考查求二 次函数解析式、二次函数的增 减性、二次函数图象的对称 轴、二次函数的最值，多以选 择为主。在备考中，同学们需 重视求二次函数的对称轴和 最值都需要用配方法将二次 函数解析式化为顶点式。此外 也需要掌握二次函数与一元 二次方程的关系，会根据二次 函数的图象求相应的一元二 次方程的解。 考点 2 二次函数图象上点 的坐标特征 （5 年 1 考） 2022 ·陕西：二次函数图象上点的坐标特 征、二次函数的图象 考点 3 二次函数的最值 （5 年 1 考） 2023 · 陕西：二次函数的顶点式解析式、 二次函数的最值 考点 4 二次函数的平移与 顶点坐标 （5 年 1 考） 2020 ·陕西：二次函数的图象与性质、平 移的性质、抛物线的顶点坐标 考点1 二次函数的解析式与图象性质 1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 2．（2021·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得：，解得：， ∴二次函数的解析式为=， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意； ∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)， ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键． 考点2 二次函数图象上点的坐标特征 3．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 考点3 二次函数的最值 4．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 考点4 二次函数的平移与顶点坐标 5．（2020·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：， 该抛物线顶点坐标是，， 将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，， ， ， ， ， 点，在第四象限； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键． 6．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求解． 【详解】解：把，分别代入，得 ， 解得：， ∴ ∵ ∴当时，y有最小值，最小值为， 故选：B． 7．（2024·陕西·二模）如下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 7 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） A．图象开口向下 B．对称轴为直线 C．图象与x轴的一个交点坐标为 D．有最小值为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可判断A、B、D，求出函数值为0时自变量的值即可判断C． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，解得或， ∴图象与x轴的一个交点坐标为， ∴四个选项中只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 8．（2024·陕西榆林·三模）将抛物线向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点，，，都在新抛物线上，则，，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意得出平移后所得抛物线的解析式，再结合抛物线的开口方向及四个点离对称轴的远近即可解决问题． 【详解】解：， 原抛物线的对称轴为直线， 则平移后所得新抛物线的对称轴为直线． ， 平移后所得新抛物线的开口向下， 则新抛物线上的点，离对称轴越远，点的纵坐标越小． ，，，，且， ． 故选：B． 9．（2024·陕西榆林·三模）已知二次函数在自变量时，其对应的函数值的最大值为1，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】此类题目涉及到最值，解题的关键确定对称轴与给定区间的位置关系，讨论求解．根据对称轴和位置关系，分三种情况讨论即可求解． 【详解】解：函数的对称轴为：， ①当时， 时，取得最大值，即，     解得：（舍去， ②当时， 时，取得最大值，即， 解得：或（舍去， 故； ③当时， 时，取得最大值，即， 解得：或（全部舍去， 综上，， 故选：C 10．（2024·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数，且）有最大值，且该二次函数的图象经过两点，若实数，实数，则实数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键． 由题意知，，对称轴为直线，当时，；当时，；即，是二次函数上的两点，进而可得． 【详解】解：由题意知，，对称轴为直线， ∵当时，；当时，； ∴，是二次函数上的两点， 由题意知是顶点， ∴， 故选：A． 11．（2024·陕西渭南·三模）已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线与y轴交点的坐标为，进而得到，再求出抛物线的对称轴为直线，再由开口向上，离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为， ∵抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴ 根据现有条件无法判断， 故选：B． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数的自变量与函数的对应值如表． … 5 … … … 则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．时或 D．方程的两个根分别是， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．观察表格，可以得出抛物线的对称轴位置，开口方向，增减性、对称性以及与轴的交点，再利用二次函数的性质分别判断即可求得答案． 【详解】解：抛物线过点，， 抛物线的对称轴为直线， 顶点为， 抛物线开口向下，则，故A错误； ， ，故B错误； 抛物线开口向下，且过点，， 时，，故C错误； 抛物线的对称轴是直线， 点与关于直线对称， 抛物线过点，， 方程的两个根分别是，，故D正确， 故选：D． 13．（2024·陕西西安·三模）已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 4 1 1 4 10 下列说法正确的是（         ） A．该二次函数的开口向下 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y随x的增大而增大 D．若，都在该函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，先求解抛物线的解析式，以及抛物线的对称轴为直线，再逐一分析即可． 【详解】解：设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线开口向上，故A不符合题意； 而， ∴图象与x轴没有交点，故B不符合题意； ∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故C不符合题意； ∵点，在抛物线上，而， ∴，故D符合题意； 故选：D． 14．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可；准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时， 时，函数有最大值； 时，函数有最小值； ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， 解得（舍去）； 当时， 时，函数有最大值； 时，函数有最小值； ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， 解得（舍去）； 当时，时，函数有最小值； 函数有最大值； 解得； 当时，时，函数有最小值； 函数有最大值； 解得； 故选：． 15．（2024·陕西汉中·二模）已知二次函数，将该二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当时，平移后所得的新二次函数的最大值（    ） A．3 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与图象变化，熟练掌握最值求法是解答本题的关键．先推出平移后的抛物线解析式为，再根据增减性，求出，时的函数进行比较即可． 【详解】解：二次函数， 将二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数解析式为：， 则当时，随增大而增大，当时随增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，平移后所得的新二次函数的最大值在时取得， 即：当时，平移后所得的新二次函数的最大值为5， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 二次函数及其图象、性质 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点 1 二次函数的解析式 与图象性质 （5 年 2 考） 2024 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式，二次函数的性质 2021 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式，二次函数的性质、二次函数的最值 近五年中考二次函数及其图 象与性质命题侧重考查求二 次函数解析式、二次函数的增 减性、二次函数图象的对称 轴、二次函数的最值，多以选 择为主。在备考中，同学们需 重视求二次函数的对称轴和 最值都需要用配方法将二次 函数解析式化为顶点式。此外 也需要掌握二次函数与一元 二次方程的关系，会根据二次 函数的图象求相应的一元二 次方程的解。 考点 2 二次函数图象上点 的坐标特征 （5 年 1 考） 2022 ·陕西：二次函数图象上点的坐标特 征、二次函数的图象 考点 3 二次函数的最值 （5 年 1 考） 2023 · 陕西：二次函数的顶点式解析式、 二次函数的最值 考点 4 二次函数的平移与 顶点坐标 （5 年 1 考） 2020 ·陕西：二次函数的图象与性质、平 移的性质、抛物线的顶点坐标 考点1 二次函数的解析式与图象性质 1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 2．（2021·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 考点2 二次函数图象上点的坐标特征 3．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点3 二次函数的最值 4．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 考点4 二次函数的平移与顶点坐标 5．（2020·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7．（2024·陕西·二模）如下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 7 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） A．图象开口向下 B．对称轴为直线 C．图象与x轴的一个交点坐标为 D．有最小值为 8．（2024·陕西榆林·三模）将抛物线向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点，，，都在新抛物线上，则，，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·陕西榆林·三模）已知二次函数在自变量时，其对应的函数值的最大值为1，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D．1 10．（2024·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数，且）有最大值，且该二次函数的图象经过两点，若实数，实数，则实数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 11．（2024·陕西渭南·三模）已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数的自变量与函数的对应值如表． … 5 … … … 则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．时或 D．方程的两个根分别是， 13．（2024·陕西西安·三模）已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 4 1 1 4 10 下列说法正确的是（         ） A．该二次函数的开口向下 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y随x的增大而增大 D．若，都在该函数的图象上，则 14．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 15．（2024·陕西汉中·二模）已知二次函数，将该二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当时，平移后所得的新二次函数的最大值（    ） A．3 B．5 C．7 D．10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$