专题09 圆的综合（40题）-（陕西专用）【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 圆的综合（40题） 一、单选题 1．（2023·陕西·中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 2．（2022·陕西·中考真题）如图，内接于⊙，连接，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为 ． 4．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    5．（2023·陕西·中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．      在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 6．（2021·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． [Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/21/2747984680165376/2748434044534784/STEM/c896248c-0382-410d-a7ce-22d331c9cc3c.png] 三、解答题 7．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 9．（2023·陕西·中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长．   则， ， ， ． ； 10．（2022·陕西·中考真题）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 11．（2021·陕西·中考真题）如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 四、单选题 12．（2025·陕西渭南·三模）如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西咸阳·三模）如图，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（   ） A． B．2 C． D． 15．（2025·陕西商洛·三模）如图，已知点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西延安·三模）如图，四边形内接于，过点作，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·陕西汉中·二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为的，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为，则淤泥的最大深度为（  ） A． B． C． D． 19．（2025·陕西西安·二模）如图，A、B、C、D为上四点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 20．（2025·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，，则劣的长为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·陕西榆林·二模）如图，五边形内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·陕西榆林·三模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 五、填空题 23．（2025·陕西·一模）如图，为的直径，点，在上，且，，的延长线交于点，则的度数是 ． 24．（2025·陕西西安·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °． 25．（2025·陕西榆林·三模）如图，是的内接三角形．若，则 °． 26．（2025·陕西榆林·二模）已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 27．（2025·陕西延安·二模）如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正五边形于点，则图中的长为 ．（结果保留） 六、解答题 28．（2025·陕西渭南·三模）如图， 内接于，是的直径，平分交于点D，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．（2025·陕西西安·三模）如图，内接于⊙，为的直径，点D为劣弧的中点，连接交于点E，过点C作的切线交的延长线于点F，交于点H． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．（2025·陕西商洛·三模）如图，是的直径，点为上一点，延长至点，连接，且为的切线．过点作，交延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，求的值． 31．（2025·陕西榆林·二模）如图，内接于，，为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 32．（2025·陕西榆林·三模）如图，内接于，是的直径，连接，过点B作的切线，交的延长线于点E，过点B作于点F，交于点C，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 33．（2025·陕西榆林·三模）如图，是的直径，点在上，于点，的平分线交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求和的长． 34．（2025·陕西延安·三模）如图，已知内接于，是的直径，是上的点，连接、，过点作的切线，交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 35．（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 36．（2025·陕西西安·三模）如图，内接于，，为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 37．（2025·陕西延安·二模）如图，等腰三角形内接于是的直径，是线段上异于的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 38．（2025·陕西榆林·三模）如图，以的斜边为直径作，平分交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，如果，，求的长． 39．（2025·陕西榆林·二模）如图，内接于，为的直径，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，与互余． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为13，，求的长． 40．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，以为直径的，交于点，是的切线，且于点． (1)求证：． (2)若，，求半径的长． 试卷第46页，共46页 试卷第45页，共46页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆的综合（40题） 一、单选题 1．（2023·陕西·中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【答案】A 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解： 是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 2．（2022·陕西·中考真题）如图，内接于⊙，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB． 【详解】连接OB，如图， ∵∠C=46°， ∴∠AOB=2∠C=92°， ∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键． 二、填空题 3．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 4．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2023·陕西·中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，   在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 6．（2021·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． [Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/21/2747984680165376/2748434044534784/STEM/c896248c-0382-410d-a7ce-22d331c9cc3c.png] 【答案】 【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示： [Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/21/2747984680165376/2748434044534784/EXPLANATION/2b2759cc-3231-4ec7-8bb4-85b2eaf65ce0.png] 连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴△OFC是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到上的点的距离的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 8．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 9．（2023·陕西·中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，   则， ， ， ． ； （2）如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（2022·陕西·中考真题）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 11．（2021·陕西·中考真题）如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）取的中点M，连接、，由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，由（1）知，则有，然后由相似三角形的性质可得，则，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点M，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质是解题的关键． 四、单选题 12．（2025·陕西渭南·三模）如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先求得，然后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 13．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．首先连接，由圆周角定理即可得的度数、的度数，然后由圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14．（2025·陕西咸阳·三模）如图，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， 则， ∴劣弧的长． 故选：D． 15．（2025·陕西商洛·三模）如图，已知点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理.先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 16．（2025·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而可得，又由圆周角定理得，再根据角的和差即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 17．（2025·陕西延安·三模）如图，四边形内接于，过点作，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质和平行线的性质．解题关键在于熟练运用平行线同旁内角互补求出，再利用圆内接四边形对角互补这一重要性质求出的度数．本题主要利用圆内接四边形的性质以及平行线的性质来求解的度数．先通过平行线性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形内接于， ∴． ∴． 故选∶C． 18．（2025·陕西汉中·二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为的，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为，则淤泥的最大深度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，掌握垂径定理，勾股定理是解答本题的关键；连接，可得，，，在中，通过勾股定理求得，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： 由题可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 19．（2025·陕西西安·二模）如图，A、B、C、D为上四点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由圆周角定理得到的度数，则由平行线的性质可得的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 20．（2025·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，，则劣的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧长公式，掌握圆的相关性质是解题关键．连接、，由圆周角定理可得，，则，由勾股定理可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ， ，， ， 在中，，， ， ， 劣的长为， 故选：A． 21．（2025·陕西榆林·二模）如图，五边形内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质及平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 由题意知，四边形内接于，得出，确定，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 22．（2025·陕西榆林·三模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，再证明是等腰直角三角形，设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 五、填空题 23．（2025·陕西·一模）如图，为的直径，点，在上，且，，的延长线交于点，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得，则可推出，用平角的定义求出的结果，则可求出的结果，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（2025·陕西西安·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °． 【答案】40 【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 由，可得到，再结合，可得到劣弧所对的圆心角与的度数相等，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴劣弧所对的圆心角与的度数相等， 则． 故答案为：40． 25．（2025·陕西榆林·三模）如图，是的内接三角形．若，则 °． 【答案】120 【分析】连接．利用等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴ ， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 26．（2025·陕西榆林·二模）已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理的运用，掌握正多边形与圆的综合是关键． 根据题意得到，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，正六边形，中心为点，连接，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 27．（2025·陕西延安·二模）如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正五边形于点，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正五边形的性质求出五边形的内角的度数，即扇形圆心角度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， 而正五边形的边长为2， ∴． 故答案为：． 六、解答题 28．（2025·陕西渭南·三模）如图， 内接于，是的直径，平分交于点D，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据“直径所对的圆周角等于”可得，根据切线的性质可得，进而可得，又由可得． （2）由平分和圆周角定理可得，，进一步可得，再证，则可得，求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， 即， ∵是的切线， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：连接, ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题关键． 29．（2025·陕西西安·三模）如图，内接于⊙，为的直径，点D为劣弧的中点，连接交于点E，过点C作的切线交的延长线于点F，交于点H． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先利用垂径定理的逆定理得出，再根据切线的性质得出，结合对顶角相等可说明，再利用圆周角定理和直角三角形两个锐角互余证得结论成立； （2）设的半径为R，可用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得，再证明，列出比例式求得，再求得． 【详解】（1）证明：点D为劣弧的中点， ∴， 即． ∵为的切线， ∴， 即． ∵， ∴． ∵为的直径， ∴． 即， ∴． （2）设的半径为R，则． 在中，， 即． 解得． ∴，． ∵，， ∴， ∴， 即． 解得， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的逆定理，切线的性质，圆周角的推论，相似三角形的判定与性质，解题关键是找准相似三角形求出待求线段． 30．（2025·陕西商洛·三模）如图，是的直径，点为上一点，延长至点，连接，且为的切线．过点作，交延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． （1）连接，由切线的性质得，证明，得，再证明，可得结论； （2）连接．求出，分别证明和，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接 为的切线． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 平分． （2）解：如图，连接． 为的直径，， ． ， ． 由（1）知， ， ． ，即． ． ． ， ． ， 即． ． ． 31．（2025·陕西榆林·二模）如图，内接于，，为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 32．（2025·陕西榆林·三模）如图，内接于，是的直径，连接，过点B作的切线，交的延长线于点E，过点B作于点F，交于点C，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得出，结合，根据余角性质得出，然后结合同弧所对的圆周角相等，即可证明； （2）根据垂径定理得出，，在中，根据，得出，根据，求出，设的半径为x，则．根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：， ∵是的切线， ，即， ， ， ． （2）解：， ，， ， ， ， ∵是的直径， ． 在中，， ， ， ， 设的半径为x，则． 在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，三角函数定义． 33．（2025·陕西榆林·三模）如图，是的直径，点在上，于点，的平分线交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)详见解析 (2)和的长分别为和 【分析】（1）利用的平分线交于点得到，再利用等角的余角相等结合可以证明，从而利用等角对等边得证； （2）连接，利用，，等量代换得到可知，从而利用勾股定理求出，运用的三角函数值求出和，从而求出，再用勾股定理求出，根据得到，从而求出． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，交于点， ． 是的直径， ． ， ． 于点 ． ， ． ， ． （2）解：如图，连接． ，且， ． ． 且， ． ， ． ， ． ， ， ． 综上，和的长分别为和． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定与性质等知识，本题也可以用相似三角形和射影定理来解，灵活运用所学知识是解题的关键． 34．（2025·陕西延安·三模）如图，已知内接于，是的直径，是上的点，连接、，过点作的切线，交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解三角形，熟练掌握切线性质，圆周角定理是解题的关键． （1）根据切线的性质得出，再由圆周角定理确定，得出，利用圆周角定理及等腰三角形的性质确定，即可证明； （2）根据题意得，，过点C作， 根据正弦函数得出，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求解 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，即． ∵是的直径，， ∴，即． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）根据题意得，， 过点C作，如图所示， ∴， ∴， ∴． 35．（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明为的中位线，则，再运用，所以，即可作答． （2）证明为等腰直角三角形．再根据的直径为8，以及勾股定理得 ，证明四边形为矩形，则，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴． ∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：过点O作于点E，如图． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵的直径为8， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 36．（2025·陕西西安·三模）如图，内接于，，为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 37．（2025·陕西延安·二模）如图，等腰三角形内接于是的直径，是线段上异于的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）如图，连接．根据等腰三角形内接于是的直径，得出，即可得，则．根据是的切线，得出，即．证出，即可证明； （2）设，则．由（1）知，，则．．在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 等腰三角形内接于是的直径， ， ， ． 是的切线， ， 即． ． ， ， ； （2）解：， 设，则． 由（1）知，， ． ， ． 是直角三角形， ． ， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】该题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 38．（2025·陕西榆林·三模）如图，以的斜边为直径作，平分交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，合理作出辅助线，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，由为的直径，平分可得，根据圆周角定理得出，进而得出结论； （2）作，垂足为，易证得四边形为正方形，可得，根据勾股可得，再证得，根据相似比求得，进而得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵切于， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：作，垂足为，易证得四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2025·陕西榆林·二模）如图，内接于，为的直径，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，与互余． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为13，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，推出，得到，即可得到为的切线； （2）过点作于点，推出为的中位线，利用垂径定理和勾股定理求得，证明四边形为矩形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ，即与互余， 与互余， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点作于点，如图． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， 的半径为13，即， ， ，，， 四边形为矩形， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 40．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，以为直径的，交于点，是的切线，且于点． (1)求证：． (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由得到，利用切线的性质定理得到，结合，得到，利用平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，由是的直径，得到，得出，通过证明，得到，设，列出方程解出的值，再结合（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的切线， ， 又， ， ， ． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 设，则， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 由（1）得，， ， ． 试卷第46页，共46页 试卷第45页，共46页 学科网（北京）股份有限公司 $$