专题09 二次函数的综合与应用（2考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（陕西专用）

专题09 二次函数的综合与应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点 1 二次函数 的应用 （5 年 3 考） 2024 ·陕西：抛物线型悬索桥模型、待定 系数法求二次函数解析式、求关于 y 轴对 称的抛物线的解析式 2023 ·陕西：抛物线型拱门模型、待定系 数法求二次函数解析式、由函数值求自变 量的值 2022 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式、 由函数值求自变量的值 近五年中考二次函数的综合与应用一般 位于中考的第 25 题的位置，难度中等。 命题侧重考查待定系数法求二次函数解 析式、 由函数值求自变量的值，也会和 全等三角形、相似三角形等几何知识联 系在一起。备考中， 同学们在二次函数 的应用中需注意：要根据条件选合适的 解析式（顶点式、一般式、交点式），再 用待定系数法求出解析式；此外也需要 掌握全等、相似、矩形、正方形的顶点 坐标表示。灵活运用数形结合、分类讨 论与方程思想是解答关键。 考点 2 二次函数与几何运用 （5 年 2 考） 2021 ·陕西：二次函数与一元二次方程的 关系、对称轴的意义、三角形相似的判定 和性质 2020 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式、三角形全等 考点1 二次函数的应用——倒拱形结构 1．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 考点1 二次函数的应用——拱形结构 2．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可； （2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∴方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， ∴， ∴； ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式． 3．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 考点3二次函数与几何运用 4．（2020·陕西·中考真题）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解； （2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可． 【详解】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得 ，解得， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3， 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3）， 故OA＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等， 设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2， 故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5）， 故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上， 综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏． 5．（2021·陕西·中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或． 【分析】(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标； （2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可. 【详解】解：（1）令，则， ∴， ∴． 令，则． ∴． （2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∵点P在y轴上， ∴ ∴当时，． 设， i）当时，则， ∴． ∴ ii）当时，则， ∴ ∴． iii）当时，则，与矛盾． ∴点P不存在 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键． 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）周末，小明跟父母去某自然景区露营，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为2.6米的树与树之间（米），两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为0.81米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离左边树的距离． 【答案】(1) (2)0.1米或2.5米 【分析】由题意得 ，可设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求出a的值，即可得抛物线的表达式； （2）根据题意求出时x的值，即可得吊床上该处离左边树的距离. 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及已知函数值求自变量的值解决实际问题．熟练掌握待定系数法求二次函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）将代入，得 ， 解得，， 吊床上该处离左边树的距离为0.1米或2.5米． 2．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）设点，则点，，从而有求出的值，然后代入求解即可； 本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）∵米， ∴设抛物线的函数表达式为 将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）由题意，设点，则点，， 由题意，得 解得，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时， ∴点的坐标为． 3．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 【答案】(1) (2)1米 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，矩形和正方形的性质等知识，掌握待定系数法和表示出点G的解析式是解题的关键． （1）先求出点C、M的坐标，再用顶点式设出抛物线表达式，将点C代入求出a即可得解； （2）设这个正方形窗户 的边长为米，表示出点G的坐标，再代入抛物线解析式求出m即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，米，米， ∴米，米， ∴，，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米， ∴， 设抛物线的解析式是：， 将点C代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设这个正方形窗户 的边长为米， 即， ∴点G的纵坐标是：(米)， 由抛物线和正方形的对称性可知：， ∴(米)， ∴点G的横坐标是：(米)， ∴， 将点G代入抛物线解析式得：， 解得：(舍去) ∴这个正方形窗户的边长为1米． 4．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 5．（2024·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 【答案】(1) (2)补光灯悬挂部分的长度应是 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据图象，利用待定系数法即可求解； （2）当时，得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为，点B的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）， 当时，， ， 补光灯悬挂部分的长度应是． 6．（2024·陕西宝鸡·一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)主索抛物线的函数表达式为 (2)四根吊索的总长度为 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可； （2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）由图可知，点C的坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 又点P坐标为， ，     ， ∴主索抛物线的函数表达式为； （2）由题意，当时，， 此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． 当时，，此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． ， ∴四根吊索的总长度为 7．（2024·陕西西安·三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的A处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高为2.44米，足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以O为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？ 【答案】(1)抛物线的函数解析式为；此次射门在不受干扰的情况下能进球 (2)辉辉需要站在离球门距离为0.8米以内的地方才可能防守住这次射门 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式，当时，求出y的值再与比较，即可知球能不能射进球门； （2）根据抛物线的解析式，令，求出x的值，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，抛物线经过点， 设抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 当时，， ， 此次射门在不受干扰的情况下能进球； （2）解：令，则， 解得：，， 防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ， 答：辉辉需要站在离球门距离为0.8米以内的地方才可能防守住这次射门． 8．（2024·陕西西安·三模）如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P 点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似的看成抛物线的一部分；队友小乐则在点 P 选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似的f满足一次函数关系 ．    (1)根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，已知球网 与y轴的水平距离( 且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？ 【答案】(1) (2)选择吊球击球 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设该二次函数的表达式为 求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分别求出两种击球方式落地点与C点的距离，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点为， ∴设该二次函数的表达式为 ∵经过点 P， ∴令，得，即， 将代入 中，得 ∴二次函数的表达式为： （2）令 ，则：，解得， 令 ，则：，解得：得 (舍去)． ∵， ∴两种击球方式离点的距离为：，， ∵ ∴吊球的落地点离C点的距离更近，应选择吊球击球． 9．（2024·陕西汉中·一模）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【答案】(1) (2)此时石头到轴的距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）将代入，进而得出，根据对称轴为，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，将代入得，， ， 抛物线的顶点横坐标为20， ， ， 抛物线的函数表达式为． （2）由题意可得：， 解得，（舍去）， 此时石头到y轴的距离为5米． 10．（2024·陕西渭南·三模）某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为． (1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式； (2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值． 【答案】(1) (2)的值为米；的值为1米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，将点P的坐标代入即可求解； （2）求出抛物线与x轴的交点B的坐标，可求；根据可得点C的纵坐标为，代入二次函数解析式求出点C的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解： 点P的坐标为， 设抛物线满足的函数关系式为． ， ， ， 解得， 抛物线满足的函数关系式为． （2）解：在中，令，得， 解得（舍去），， ， ． ， ， ， 即墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米； 轴，，， ， ∴点C的纵坐标为． 在中，令，得， 解得（舍去），， ， ， 即墙的上沿到抛物线的水平距离CN的值为米． 11．（2024·陕西安康·二模）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，，水流最高时距离地面0.1m． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)当调节水管的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析， (2)圆形浇灌区域的最大面积为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）以为坐标原点，方向为轴正方向，垂直于为轴建立平面直角坐标系，进而得到点，，顶点坐标为，设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，圆形浇灌区域的面积最大，将（1）的抛物线向上平移1.5个单位长度，得到的新抛物线，求出时的值，利用圆形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，垂直于为轴建立平面直角坐标系，此时点，，顶点坐标为． 设抛物线的表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的表达式为． （2）， 当时，圆形浇灌区域的面积最大． 当时，即将抛物线向上平移1.5个单位长度，得到的新抛物线的表达式为． 令，则，解得，（舍去）， 以点为圆心，为半径的圆形浇灌区域的面积为， 圆形浇灌区域的最大面积为． 12．（2024·陕西商洛·二模）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h，如图②，以所在直线为y轴， 所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，，． (1)求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1) ； (2)该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为，先求出过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线，再由平移的性质可得，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式，再化成顶点式求出对称轴即可得到答案； （2）令，解出，进而即可求解． 【详解】（1）解：设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为， ∵， ∴过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线， ∵过点P的抛物线形水线所在抛物线是有过点O的抛物线形水线所在抛物线平移得到的， ∴，即 ∵，， ∴， ∴ 解得：， ∴过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离为； （2）解：该点与点的水平距离要大于0小于4，理由如下： 令， ． 或， ∴为了不被水喷到，该点与点O的水平距离要大于0小于4． 13．（2024·陕西·二模）某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，如图所示，为湖面，为水管（露出湖面的部分），以点O为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．当水柱离水管的水平距离为2米时，此时水柱达到最高点，离湖面的距离为1.5米．已知米． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)公园管理员准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请通过计算说明水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？ 【答案】(1) (2)公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的顶点为，经过点， 设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时时，纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节1.05米， （米， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求． 14．（2024·陕西宝鸡·一模）某小组准备合作制作出一个水流装置．下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 【答案】任务一：；任务二：能，见解析 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用，根据题意得到称轴为，过点代入求解即可得到任务一，先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案； 【详解】解：任务一：由题可得抛物线的对称轴为， ，即， 把点代入抛物线，得， 把代入得，解得， 水流抛物线的函数表达式为； 任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，， ， 水流能流到圆柱形水杯内． 15．（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 16．（2024·陕西·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采取待定系数法，将点和代入求解即可； （2）根据解析式求得对称轴直线，顶点，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，则，即，代入求得点P，同时可求得顶点P平移后的坐标，作点关于轴的对称点，连接，有，求得与轴的交点即为所求的点，解得直线的解析式为，即可求得点． 【详解】（1）解：将点和代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为， 设点的坐标为，则， 由旋转的性质得：， ，即， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 当时，， 所以点的坐标为． 抛物线的顶点的坐标为， 则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点， 这时点落在点的位置，且， ，即，恰好在对称轴直线上， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、函数平移、求解一次函数解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉二次函数性质和平移的关系． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象，掌握待定系数法和平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先计算出，然后根据面积，得到，然后计算出和时的自变量x的值，然后计算平移距离即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和， ，解得： ， ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，，解得：或， ∴平移距离为； 当时，，或， 平移距离为；， 故平移距离为或． 18．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点分别在抛物线上，且点在轴的同侧，若以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式，根据平移的性质得出抛物线的函数表达式； （2）令，得出，，由平移可得，，设点的纵坐标为，当点都在轴的上方时，点只能在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点，当点都在轴的下方时，点在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点，点在点的左侧，不存在面积为4的平行四边形，据此，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得． 抛物线的函数表达式为， 将抛物线向右平移2个单位得到抛物线， 抛物线的函数表达式为．    （2）令，则，解得，， ，，由平移可得，， ， 点在轴的同侧， 为平行四边形的边， ，． 设点的纵坐标为， 以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形， ，， 当点都在轴的上方时，点只能在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点， ，则， 解得，， ，． 当点都在轴的下方时，点在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点， ，则， 解得，， ，． 点在点的左侧，不存在面积为4的平行四边形， 综上，点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查特殊四边形的存在性问题，平移的性质，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识，注意分类讨论． 19．（2024·陕西榆林·三模）如图，已知抛物线（a、c为常数，且）与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，，点D与点C关于x轴对称，作射线，点E是线段AB上的一个动点，过点E作x轴的垂线交射线于点F，交抛物线于点G．    (1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标； (2)在点E运动的过程中，是否存在点G，使得以点A、F、G为顶点的三角形与相似，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点A的坐标为 (2)存在，点G的坐标为或 【分析】此是二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、解直角三角形的相关计算等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）求出点C的坐标，利用待定系数法求出解析式，再令，求出点A的坐标即可； （2）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1），点C在y轴负半轴上， 点C的坐标为． 将点、代入， 得 解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得，， 点A的坐标为． （2）点A的坐标为，点D与点C关于x轴对称， ，点D的坐标为，则， ，． 由题可得，即点F与点D是对应点． 设点E的坐标为，则，点G的坐标为， ． 如图，当时，，则，   ，即， ， 解得，（舍）， 点G的坐标为． 当时，，此时点、与点B重合， 点的坐标为． 综上可得点C的坐标为或． 20．（2024·陕西商洛·三模）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的对称轴直线上，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到； ②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点， ∴，， ∵在的对称轴直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点； 综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 21．（2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的表达式； （2）由得对称轴为直线，，，即知是等腰直角三角形，根据以、、为顶点的三角形与全等，得，即可求得或． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图： 由得对称轴为直线，，， ， 是等腰直角三角形， 在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ， 或， 或； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数的综合与应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点 1 二次函数 的应用 （5 年 3 考） 2024 ·陕西：抛物线型悬索桥模型、待定 系数法求二次函数解析式、求关于 y 轴对 称的抛物线的解析式 2023 ·陕西：抛物线型拱门模型、待定系 数法求二次函数解析式、由函数值求自变 量的值 2022 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式、 由函数值求自变量的值 近五年中考二次函数的综合与应用一般 位于中考的第 25 题的位置，难度中等。 命题侧重考查待定系数法求二次函数解 析式、 由函数值求自变量的值，也会和 全等三角形、相似三角形等几何知识联 系在一起。备考中， 同学们在二次函数 的应用中需注意：要根据条件选合适的 解析式（顶点式、一般式、交点式），再 用待定系数法求出解析式；此外也需要 掌握全等、相似、矩形、正方形的顶点 坐标表示。灵活运用数形结合、分类讨 论与方程思想是解答关键。 考点 2 二次函数与几何运用 （5 年 2 考） 2021 ·陕西：二次函数与一元二次方程的 关系、对称轴的意义、三角形相似的判定 和性质 2020 ·陕西：待定系数法求二次函数解析 式、三角形全等 考点1 二次函数的应用——倒拱形结构 1．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 考点1 二次函数的应用——拱形结构 2．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 3．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 考点3二次函数与几何运用 4．（2020·陕西·中考真题）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 5．（2021·陕西·中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）周末，小明跟父母去某自然景区露营，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为2.6米的树与树之间（米），两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为0.81米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离左边树的距离． 2．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标． 3．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 4．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 5．（2024·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 6．（2024·陕西宝鸡·一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 7．（2024·陕西西安·三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的A处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高为2.44米，足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以O为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？ 8．（2024·陕西西安·三模）如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P 点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似的看成抛物线的一部分；队友小乐则在点 P 选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似的f满足一次函数关系 ．    (1)根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，已知球网 与y轴的水平距离( 且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？ 9．（2024·陕西汉中·一模）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 10．（2024·陕西渭南·三模）某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为． (1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式； (2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值． 11．（2024·陕西安康·二模）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，，水流最高时距离地面0.1m． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)当调节水管的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π） 12．（2024·陕西商洛·二模）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h，如图②，以所在直线为y轴， 所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，，． (1)求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 13．（2024·陕西·二模）某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，如图所示，为湖面，为水管（露出湖面的部分），以点O为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．当水柱离水管的水平距离为2米时，此时水柱达到最高点，离湖面的距离为1.5米．已知米． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)公园管理员准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请通过计算说明水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？ 14．（2024·陕西宝鸡·一模）某小组准备合作制作出一个水流装置．下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 15．（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2024·陕西·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值． 18．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点分别在抛物线上，且点在轴的同侧，若以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 19．（2024·陕西榆林·三模）如图，已知抛物线（a、c为常数，且）与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，，点D与点C关于x轴对称，作射线，点E是线段AB上的一个动点，过点E作x轴的垂线交射线于点F，交抛物线于点G．    (1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标； (2)在点E运动的过程中，是否存在点G，使得以点A、F、G为顶点的三角形与相似，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2024·陕西商洛·三模）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 21．（2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$