专题09 综合与实践（创新压轴题，41题）（江西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 综合与实践（创新压轴题，41题） 1．（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 2．（2024·江西·中考真题）综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 3．（2023·江西·中考真题）综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系    (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． (3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 4．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 5．（2025·江西九江·一模）【回归教材】 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点． 求证：． 【定理证明】 （1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长； （3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长． 6．（2025·江西吉安·一模）综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 7．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 9．（2025·江西南昌·一模）课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 10．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 11．（2025·江西·模拟预测）已知四边形是对角线，． 【模型建立】 （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，连接DE． ①求证：是等边三角形． ②用等式写出线段之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，当时，求四边形的面积． 【模型迁移】 （3）如图2，若，求证：． 12．（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图1，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，且交于点，则与之间的数量关系是___________； 【数学模型】 （2）如图2，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，求的值． 13．（2025·江西新余·二模）如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 14．（2025·江西新余·二模）如图，在等边中，点D是射线上的动点，连接，点E是的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接． 【夯实基础】 （1）连接，如图1，求证：； 【特例探究】 （2）如图2，若点E恰好在的延长线上，的延长线交于点G，求证：； 【拓展延伸】 （3）请利用备用图探究：在点D运动的过程中，当是直角三角形时，求与之间的数量关系，并说明理由． 15．（2025·江西萍乡·二模）在矩形中，，点是边上不与端点、重合的动点，于， 【课本再现】（1）如图（1），当时，延长交于点，求证：； 【类比迁移】（2）如图（2），在（1）的条件下，延长交对角线于点，若点是的中点，，请分别求出，与的长（结果均用含有的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）如图（3），若，直接写出的值_____（结果用含有的式子表示）． 16．（2025·江西赣州·二模）【课本再现】（）如图，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了（    ） A．二等分                B．三等分                C．四等分 【类比探究】（）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，（    ） ，______， ，即． （）如图，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（）如图，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请求出的长． 17．（2025·江西宜春·二模）如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 初步感知 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， __________； ②S关于t的函数解析式为__________． 深入探究 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为 ，其图象如图（2）所示． ①的值为__________； ②求S关于t的函数解析式． 延伸探究 （3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，． ①求与的数量关系； ②当时，的值为__________． 18．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】 在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点． （1）如图，若点，分别是，的中点，则______； 如图，若点是的中点，，则______． 【类比探究】 在菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点． （2）如图，若，分别是，的中点，求的值； 如图，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值． 19．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到… 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得… （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． 【类比探究】 （2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 （3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长． （4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 20．（2025·江西新余·三模）综合与实践 如图1，四边形是一个正方形，是延长线上一点，将沿折叠，得到，与交于点，延长交于点连接，， 特例感知 （1）当时，的度数为______． 类比迁移 （2） 当时，求的度数． 拓展提升 （3） 如图2，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，的面积为． ① 求与的函数表达式； ② 若，直接写出的值． 21．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接． ①证明：； ②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 22．（2025·江西九江·三模）在学习“从特殊到一般”的数学思想方法时，数学兴趣小组了解到“当某些平面图形在从特殊到一般过渡时，特殊图形中的某些结论会在一般图形中继续存在或发生规律性的变化”，请根据活动提供的条件解决其中的问题；    (1)如图1，中若点是的中点，且平分则与的数量关系是___________ (2)如图2，中， ，点是的中点，平分，过点作，交于点，交（的延长线于点求证：； (3)如图3四边形中线段的垂直平分线交于点，交于点连接，，若则与的数量关系是___________ (4)如图4．四边形中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，且作于点（异于点），连接，若，，求的长 23．（2025·江西景德镇·一模）马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开综合探究！ (1)如图①，中，，；分别为边、上的点， ①若，且点是的中点，则______； ②若点与点重合，且，则______； (2)如图②，点分别为等腰直角三角形的两直角边上的动点，直角边且始终满足，以点为圆心，的长为半径画弧并交线段于点，连接；若四边形是菱形，则的长是多少？ (3)当图②中的点运动到如图③所示位置时，取的中点，连接，若满足，则此时的长是多少？ 24．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________； （4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围． 25．（2025·江西抚州·一模）综合与实践 课本再现 如图1，的对角线相交于点是等边三角形，且． （1）求的面积． 拓展延伸 （2）如图2，M是边上一点，连接，过点O作，与直线交于点N，连接． ①若，求的长； ②求面积的最小值． （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长． 26．（2025·江西抚州·二模）综合与实践 问题背景 如图1，某数学兴趣小组在一次综合与实践活动中，用三张全等的直角三角形纸片探究数学问题，即、、是全等的直角三角形，其中．点与的中点重合，． （1）①的长为_____； ②设与交于点，求的长． 类比延伸 （2）如图2，将绕点顺时针旋转，是的中点，是的中点，连接，求的最大值． 拓展探究 （3）如图3．将绕点顺时针旋转，延长，交于点，若，求的长． 27．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践 【学习心得】 （1）小贤同学在学习完“等腰三角形”这一节内容后，感觉到一些几何问题可以通过构造等边三角形，运用等边三角形的知识来解决，从而使问题变得容易． 例如：如图，已知为等边三角形，延长到点，延长到点，并且使 ，连接．求证：． 小贤同学的证明思路：延长至点，使，连接，先证明构造的为等边三角形，再利用等边三角形的性质推出，证得．请你根据小贤同学的证明思路写出完整的证明过程． 【类比迁移】 （2）如图，在中，，点在内部，，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在内部，，，将线段沿着直线翻折，点恰好落在点处，连接． 试判断四边形的形状，并说明理由； 直接写出边上的高的值． 28．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 如图1，正方形的顶点D在直线l上，点与点C关于直线l对称，直线与直线l交于点E，连接，，探究与的数量关系． 【特例感知】 （1）①如图2，当，时，_____， _____°； ②如图3，当时，_____， _____°． 【猜想论证】 （2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明． 【拓展应用】 （3）若正方形的边长为2，当时，求线段的长． 29．（2025·江西九江·三模）综合与实践 【问题情境】 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． 【特例感知】 （1）如图1，当点在直线上时，___________． （2）如图2，当三点共线时，求的长． 【深入探究】 （3）如图3，设，点到的距离为． ①求与的函数解析式． ②直接写出当的面积为12时，的长． 30．（2025·江西抚州·模拟预测）综合与实践 特例感知 （1）如图1，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，则，的关系是______． 类比迁移 （2）如图2，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边延长线上一动点，过点P分别与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，．求证：是等腰直角三角形． 拓展应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是的中点，P是射线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接，，，点E与点C关于对称，连接，． ①当点P在线段上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由． ②设点F的横坐标为x，四边形的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 31．（2025·江西萍乡·二模）综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，， 观察发现 （1）①的长为___________； ②如图1，设与的交点为，则的长为___________． 类比迁移 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接． ①当旋转角为时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 拓展应用 （3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积． 32．（2025·江西·模拟预测）课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理  三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 33．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则 ，若连接，则 ． (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长． 34．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践 问题提出 如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S． 初步感知 （1）如图1，当时，解答下列问题： （1）若，则S的值为________； （2）S关于t的函数解析式为________． （2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题： ①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围； ②连接，若四边形是平行四边形，求S的值． 延伸探究 （3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 35．（2025·江西新余·一模）【课本再现】 （1）如图1，，都是等边三角形，分别连接，，，与有什么数量关系？请证明； 【特殊感知】 （2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解； 在图1中，，，，则__________； 【类比应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，，，求的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求的长，请你帮小颖求的长； （4）如图3，在四边形中，，，，，，直接写出的长． 36．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践课上，老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作菱形，为，连接，求的最小值． 【特例感知】如图2所示，当时，小明连接，以为边向下构造一个等边，连接．便可得到，进而将的最小值转化为的最小值． （1）按照小明的想法，请求出的最小值； 【拓展应用】 （2）如图3和图4所示，当和时，请任意选一个图形求出的最小值； （3）若，，对于任意，请你用含的式子直接写出的最小值______． 37．（2025·江西南昌·三模）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号） ①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） 38．（2025·江西抚州·一模）综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】 （1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】 （2）运用基本图形法解决下面问题： 如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】 （3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 39．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图2，当时，若，则 ； ②如图3，当时，若，则 ． 【猜想证明】 （2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长． 40．（2025·江西景德镇·一模）综合与实践 在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用全等的两块含的直角三角尺开展数学探究活动，两块三角尺分别记作和，，，． 操作探究 先将和的边，重合（点与点重合），再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． (1)如图1，当时，点到的距离为________； 当时，的度数为________． 拓展延伸 (2)如图2，当时，求两块三角尺重叠部分图形的周长． (3)如图3，取的中点，的中点，当是轴对称图形且有三条对称轴时． 求点运动的路径长； 求两块三角尺重叠部分图形的周长．         41．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 已知正方形，点在边上或上方，连接，，且，交对角线于点，连接并延长，分别交，于点，． 特例感知 （1）如图1，当点在边上时， ①，，全等的结论______（填“成立”或“不成立”）． ②与的位置关系是______． 类比探究 （2）如图2，当点在边的上方时，交于点，交于点．请写出与的数量关系和位置关系，并证明． 拓展应用 （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为，交于点，连接，．若，则四边形是何种特殊四边形？试证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 综合与实践（创新压轴题，41题） 1．（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024·江西·中考真题）综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（2023·江西·中考真题）综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系    (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． (3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1)①3；② (2)， (3)①4；② 【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， 故答案为：4； ②由（3）①可得， ∵， ∴， ∴， ∴．   . 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 4．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 【答案】(1)1，1， (2)①是等边三角形，理由见解析；② (3)， 【分析】（1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积=正方形的面积=1；当与垂直时，，重叠部分的面积=正方形的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）①结论：是等边三角形．证明，可得结论； ②如图3中，连接，过点O作于点J．证明，推出，解直角三角形求出，即可解决问题； （3）当点都在上时，过点作于点，作的外接圆，记为，连接，过点作于点，则，设为，由于，而为定值，故最小，则最小，在中，，则当最小，最小，因为，则，故当点三点共线时，取得最小值，此时在中，，则；当点M在上，点在上时，过点作于点，过点交于点， 同上可得，则，由于，故当最小，则最大，因为，故最小，则最大，同上，垂直平分， 此时，，，则，则． 【详解】（1）解：当与重合时，与重合，如图所示， 重叠部分的面积； 当与垂直时，，如图所示， 重叠部分的面积； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为． 理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，1，． （2）解：①如图2中，结论：是等边三角形． 理由：过点O作， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②如图3中，连接，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点都在上时，过点作于点，作的外接圆，记为，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， 设为， ∵，而为定值， ∴最小，则最小， 在中，， ∴， ∴当最小，最小， ∵， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，如图 此时垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点M在上，点在上时，过点作于点，过点交于点，如图 同上可得， ∴， ∵， ∴当最小，则最大， ∵， ∴最小，则最大， 同上，垂直平分，如图 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 5．（2025·江西九江·一模）【回归教材】 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点． 求证：． 【定理证明】 （1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长； （3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据证明，再利用全等三角形的性质证明即可； （2）证明，则可得出答案； （3）根据线段中点的定义可得，然后利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵, ∴， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵矩形中，是的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线性质、中点定义、矩形的性质、勾股定理、解方程等周四，熟记相关几何性质并利用勾股定理列出方程求解是解题的关键． 6．（2025·江西吉安·一模）综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）．理由见解析；（2）；（3）的长为或 【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据条件易证，再进行线段转化易得答案； （2）由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题． （3）由为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）连接， ∵， ∴， 将绕点A逆时针旋转得到，连接．则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过E作，则为等边三角形． ①当点D在H左侧时，如图1， ∵， ∴， ∴， 此时不可能为直角三角形． ②当点D在H右侧，且在线段上时，如图2， 同理可得∴， ∴， 此时只有有可能为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ③当点D在H右侧，且延长线上时，如图3，此时只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：的长为或． 7．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 【答案】（1）①； ②见详解；（2）； 证明见详解；（3） 【分析】（1）①根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可求出；②根据角平分线的性质定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明； （2）根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的（3）连接，设与交于点，由四边形是菱形，得，由，，可得，，，，进而可推出， ，，，，证明，进而可得 ，，即可求解． 【详解】(1)解：①， 理由：∵，的平分线相交于点， ，， ， ， ， 故答案为：； ②证明：∵，的平分线相交于点， ，， ， ； (2)解：； 证明： 平分，平分， ，， ， ． （3）解：连接，设与交于点， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (舍负)， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 9．（2025·江西南昌·一模）课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据矩形的判定即可得证； ②设，则，，根据矩形的性质和勾股定理可得，过点作于点，设与交于点，则四边形都是矩形，再根据等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，在中，解直角三角形可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． ②由题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 10．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解答；②． 【分析】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答； （2）如图3，由（1）同理得，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，同理得： ，即可解答； （ 3 ）①如图 4 ，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论； ②如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于，由（2）可得：，根据，得，证明，列比例式可得和的长，设，则，由勾股定理列方程可得的长，计算的长，根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图3，∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②解：如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵是的中点， ∴（2）可得：， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：（舍），， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11．（2025·江西·模拟预测）已知四边形是对角线，． 【模型建立】 （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，连接DE． ①求证：是等边三角形． ②用等式写出线段之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，当时，求四边形的面积． 【模型迁移】 （3）如图2，若，求证：． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）①由旋转的性质得，可得是等边三角形； ②证明，然后利用勾股定理求解即可； （2）由（1）得，然后分别求出，，然后根据求解即可； （3）设，将绕点顺时针旋转得到，连接DE．证明，利用相似三角形的性质得，然后利用勾股定理可得． 【详解】（1）①证明：由旋转，得， 是等边三角形． ②解：． 证明：， ， ． 由旋转得到， ． ． ． 在中，由勾股定理，得． 又， ． （2）解：由（1）得． 是等边三角形， ， ． ； （3）证明：如图，设，将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转，得， ， ， ， 即． 由（1）得， ． ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 12．（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图1，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，且交于点，则与之间的数量关系是___________； 【数学模型】 （2）如图2，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，推出，，据此即可得到； （2）作于点，同理，，得到，设，利用勾股定理求得，即，，根据，列式计算即可求解； （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，设，则，由勾股定理证出，则可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：作于点， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，， 同（1）理，， ∴， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得， 解得， ∴，， ∵，即， ∴； （3）解：过C作于N，交的延长线于点M，    ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2025·江西新余·二模）如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2，；②，；（2），见解析；（3）或． 【分析】（1）①连接，，，根据轴对称的性质得出，， ，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出； ②同①解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可； （2）同（1）②求解过程一致； （3）分两种情况，①当点在线段上时和②当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴； ②连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2），证明如下： 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)①当点在线段上时，连接，如下图：． ∵， ∴． 又， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； ②当点在线段的延长线上时，连接 ， 设， ∵， ∴． 又， ∴， ∵， ∴． 又，即， 由， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键． 14．（2025·江西新余·二模）如图，在等边中，点D是射线上的动点，连接，点E是的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接． 【夯实基础】 （1）连接，如图1，求证：； 【特例探究】 （2）如图2，若点E恰好在的延长线上，的延长线交于点G，求证：； 【拓展延伸】 （3）请利用备用图探究：在点D运动的过程中，当是直角三角形时，求与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或或．理由见解析 【分析】（1）连接，可证明是等边三角形．则可得到，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，，据此可证明结论； （2）证明，得到．由，得到，则，即． （3）分，，三种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接． 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形． ∵点E是的中点， ∴， ∴，， ∴，即． （2）由（1）可知， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 由（1）可知为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即． （3）或或．理由如下： ①如图2，当时， ∵， ∴， ∴点F在上． ∵，， ∴， ∴点D是BC的中点，即； ②如图3，当时， 作等边，过点M作于点H， ∵， ∴， ∴点F是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点C是的中点， 连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ③如图4，当时， 作等边，连接， 同理可证明， ∴，， ∴， ∵， ∴D、N、F三点共线， ∴， ∴，即． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（2025·江西萍乡·二模）在矩形中，，点是边上不与端点、重合的动点，于， 【课本再现】（1）如图（1），当时，延长交于点，求证：； 【类比迁移】（2）如图（2），在（1）的条件下，延长交对角线于点，若点是的中点，，请分别求出，与的长（结果均用含有的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）如图（3），若，直接写出的值_____（结果用含有的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），，；（3） 【分析】（1）当时，，则矩形是正方形，再证明即可得解； （2）延长，交于点，由（1）可知：，由全等三角形的性质可得，，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质求解即可； （3）证明得出，设，则，，，，证明得出，设，求出，，，再证明即可得解． 【详解】解：（1）证明：当时，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 （2）延长，交于点， 由（1）可知： ，． 点是中点， ， ， ， ， 因为，则，． ， ， ， ， ， （3） 由（1）得， 又在矩形中， ， 设， ， ， 由（1）得 ， ， 设， ，， ， ， 在矩形中，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．（2025·江西赣州·二模）【课本再现】（）如图，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了（    ） A．二等分                B．三等分                C．四等分 【类比探究】（）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，（    ） ，______， ，即． （）如图，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（）如图，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请求出的长． 【答案】（）；（），，，；（）点是边的“三等分点”，证明见解析； （）或 【分析】（）利用折叠的性质和锐角三角函数可得，即得，进而可得，即可求解； （）根据题意补全证明过程即可； （）由可得，进而由得，即得，即可求证； （）分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（）解：由折叠可得，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分 ， 故选：； （）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：，，，； （）解：点是否为边的“三等分点”． 证明：在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是否为边的“三等分点”； （）如图，当时， 由题意知，，，，， 设，，则，， 在，， ∴， 在和中，， ∴， 由①②联立得，， 解得， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，， 解得， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 17．（2025·江西宜春·二模）如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 初步感知 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， __________； ②S关于t的函数解析式为__________． 深入探究 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为 ，其图象如图（2）所示． ①的值为__________； ②求S关于t的函数解析式． 延伸探究 （3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，． ①求与的数量关系； ②当时，的值为__________． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②；（3）①；②10 【分析】本题考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据时，，列出比例式进行求解即可；②联立①的等式和，求出，进而求出，即可． 【详解】解：（1）①当时，， 作于点， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为； ②由题意，得：， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点恰好运动到点，由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，代入， 得 解得， ∴S关于t的函数解析式为 （3）①由题图（2）可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴， 由题意可知，， ∴ 当时，则：， ∴， ∴， ∴ ②联立，解得 ∴，， ∴． 18．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】 在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点． （1）如图，若点，分别是，的中点，则______； 如图，若点是的中点，，则______． 【类比探究】 在菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点． （2）如图，若，分别是，的中点，求的值； 如图，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值． 【答案】（） ； ；（） ；见解析；（）． 【分析】（）设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，又点，分别是，的中点，则，，，设，则，则，然后通过即可求解； 由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，所以，最后代入求值即可； （）由四边形是菱形，得，，，又，分别是，的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设 ，则，所以，，，由勾股定理得：，则，求出，再代入即可； 在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，所以，从而求证； （）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，所以，设，，则，，又点为的中点，所以，则，整理得：，即，解出的值即可． 【详解】解：（）如图，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点，分别是，的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 在的延长线上找一点，连接，使得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即； （）如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 19．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到… 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得… （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． 【类比探究】 （2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 （3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长． （4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3）；（4）存在最小值，最小值为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形和三角形三边关系求出的取值范围即可； （2）延长至点G，使，连接，利用全等三角形和边角关系推出即可； （3）利用垂径定理和勾股定理以及三角形全等的判定与性质求出即可； （4）取的中点F，连接，延长至点H，使，连接，利用直角三角形斜边上中线性质得到，再计算出的长度，继而得到的最小值． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接，如图1， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点G，使，连接，如图所示， 由作图可知， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点O作于点E，于点F， 由条件可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （4）存在最小值，最小值为，理由如下： 如图4，取的中点F，连接，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点E、D、G、B四点共圆， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 若的度数发生改变，当点G、D、F三点在同一直线时，的值最小为． 20．（2025·江西新余·三模）综合与实践 如图1，四边形是一个正方形，是延长线上一点，将沿折叠，得到，与交于点，延长交于点连接，， 特例感知 （1）当时，的度数为______． 类比迁移 （2） 当时，求的度数． 拓展提升 （3） 如图2，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，的面积为． ① 求与的函数表达式； ② 若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，则可证明得到，由正方形的性质和平行线的性质可得，则可证明，进而可得，据此可得答案； （2）同（1）求解即可； （3）连接，可证明 ，则可证明，推出，进一步证明，得到，则是等腰直角三角形，可得，据此根据三角形面积计算公式求解即可； ②导角证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接． ①证明：； ②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①由位似与旋转的性质可得，，可得； ②证明，可得，可得，结合，可得，，，进一步可得结论； （2）如图，过作的垂线交的延长线于，连接，可得，，而，结合，可得，证明，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：①∵将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到， ∴， ∴，，，， ∵，即，而， ， ∴； ②∵， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过作的垂线交的延长线于，连接， ∵， ∴， ∴，而， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，而， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是旋转的性质，位似的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 22．（2025·江西九江·三模）在学习“从特殊到一般”的数学思想方法时，数学兴趣小组了解到“当某些平面图形在从特殊到一般过渡时，特殊图形中的某些结论会在一般图形中继续存在或发生规律性的变化”，请根据活动提供的条件解决其中的问题；    (1)如图1，中若点是的中点，且平分则与的数量关系是___________ (2)如图2，中， ，点是的中点，平分，过点作，交于点，交（的延长线于点求证：； (3)如图3四边形中线段的垂直平分线交于点，交于点连接，，若则与的数量关系是___________ (4)如图4．四边形中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，且作于点（异于点），连接，若，，求的长 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质可得，进而证明得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至点，使得，连接，证明，根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，进而得出，即可得证； （3）证明 ，根据全等三角形的性质，即可得证； （4）取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，，根据对角互补的四边形得出，等量代换得出，进而证明，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴ ∵平分 ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）如图，延长至点，使得，连接，    ∵点是的中点， ∴， 在中， ∴ ∴，， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3） ∵， ∴ 又∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （4）解：如图，取的中点，连接    ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（2025·江西景德镇·一模）马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开综合探究！ (1)如图①，中，，；分别为边、上的点， ①若，且点是的中点，则______； ②若点与点重合，且，则______； (2)如图②，点分别为等腰直角三角形的两直角边上的动点，直角边且始终满足，以点为圆心，的长为半径画弧并交线段于点，连接；若四边形是菱形，则的长是多少？ (3)当图②中的点运动到如图③所示位置时，取的中点，连接，若满足，则此时的长是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①证明，推出，即可求解；②同理①即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质结合菱形的性质可得，推出是等腰直角三角形，设，则，在根据，建立方程求解即可； （3）根据题意得，，设，则， ，，证明，推出，进而得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵，且点是的中点， ∴， ∴， ∴； ②同理①得， ∴， ∵，点与点重合， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：根据题意得， ∵点是的中点， ∴， 设，则， ，， ∴， ∵，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________； （4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围． 【答案】（1）①3；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）分当和当时，即可求解； （4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：3；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）当时，， 则时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 则时，， 解得或； 当时，，此时， 当时，，此时， ∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或； 故答案为：0或1；或； （4）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【点睛】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 25．（2025·江西抚州·一模）综合与实践 课本再现 如图1，的对角线相交于点是等边三角形，且． （1）求的面积． 拓展延伸 （2）如图2，M是边上一点，连接，过点O作，与直线交于点N，连接． ①若，求的长； ②求面积的最小值． （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）若的长为或 【分析】（1）由题意得，则有，然后可得四边形是矩形，进而可得，最后问题可求解； （2）①过点O分别作与的垂线，垂足分别为，由题意得四边形是矩形，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； ②由①可知，，则有，然后可得当的值最小时，即时，的面积最小，进而问题可求解； （3）由（2）可知，则有，然后可分当点N在线段上时，当点N在的延长线上时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，是等边三角形， ， ， 是矩形． ， ， 在中，， ； （2）①如图1，过点O分别作与的垂线，垂足分别为． 由（1）可知是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ， 又， ， ， 又， ， ，即， ； ②由①可知，， ，即， ， ， 当的值最小时，即时，的面积最小， 如图2，此时， 面积的最小值为； （3）由（2）可知， ，即， ， ． 如图3，当点N在线段上时，， ． ， ． 如图4，当点N在的延长线上时，， ． ， ，即， ， ． 综上所述，若的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26．（2025·江西抚州·二模）综合与实践 问题背景 如图1，某数学兴趣小组在一次综合与实践活动中，用三张全等的直角三角形纸片探究数学问题，即、、是全等的直角三角形，其中．点与的中点重合，． （1）①的长为_____； ②设与交于点，求的长． 类比延伸 （2）如图2，将绕点顺时针旋转，是的中点，是的中点，连接，求的最大值． 拓展探究 （3）如图3．将绕点顺时针旋转，延长，交于点，若，求的长． 【答案】（1）①2；②；（2）；（3） 【分析】（1）①由得到，根据中点的定义求得，根据得到，根据线段的和差即可解答； ②设与交于点．根据全等三角形的性质得到，，从而，，证明，得到，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）连接．得到，，根据即可求解； （3）设与交于点，过点分别作于点，于点．由题意得，，则，设，则． 由得到．根据即可求出，从而．证明，得到，设，则．由得到，从而，因此，解得，再由即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2； ②如图1，设与交于点． ∵、、是全等的直角三角形， ∴，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∴， ∴ ， ， ∵， ， ，即， 解得． （2）如图2，连接． 是的中点，是的中点， ，， ， 的最大值为． （3）如图3，设与交于点，过点分别作于点，于点． 由题意得，， ，设，则． ， ． ， ，解得， ，则， ． ， ∴， ， ， ． ，设，则． ， ， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解直角三角形等，综合运用相关知识是解题的关键． 27．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践 【学习心得】 （1）小贤同学在学习完“等腰三角形”这一节内容后，感觉到一些几何问题可以通过构造等边三角形，运用等边三角形的知识来解决，从而使问题变得容易． 例如：如图，已知为等边三角形，延长到点，延长到点，并且使 ，连接．求证：． 小贤同学的证明思路：延长至点，使，连接，先证明构造的为等边三角形，再利用等边三角形的性质推出，证得．请你根据小贤同学的证明思路写出完整的证明过程． 【类比迁移】 （2）如图，在中，，点在内部，，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在内部，，，将线段沿着直线翻折，点恰好落在点处，连接． 试判断四边形的形状，并说明理由； 直接写出边上的高的值． 【答案】（）证明见解析；（）；（）四边形为平行四边形，理由见解析； ． 【分析】（）延长至点，使，连接，由等边三角形性质可得，则，证明为等边三角形，然后再证明即可， （）以为边在内部构造等边三角形，连接，证明，所以，则有，故有三点在以为圆心，的长为半径的圆上，然后通过圆周角定理即可求解； （）由，得，由（）可知，则，所以，可证，连接，由折叠性质可得，证明为等边三角形，所以，，证明，最后由平行四边形的判定方法即可求解； 设与交于点，可得是边上的高，所以，最后通过线段和差即可求解． 【详解】（）证明：延长至点，使，连接， 为等边三角形， ， ， 又， ，即， ∴为等边三角形， ， 在和中， ， ， ； （）解：如图，以为边在内部构造等边三角形，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 三点在以为圆心，的长为半径的圆上， ， （）解：四边形为平行四边形，理由： ， ， ，， 由（）可知 ， ， ， ， ， 如图，连接， 点沿着直线翻折，恰好落在点处， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 设与交于点， ， 是边上的高， ， ， ∴边上的高为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 28．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 如图1，正方形的顶点D在直线l上，点与点C关于直线l对称，直线与直线l交于点E，连接，，探究与的数量关系． 【特例感知】 （1）①如图2，当，时，_____， _____°； ②如图3，当时，_____， _____°． 【猜想论证】 （2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明． 【拓展应用】 （3）若正方形的边长为2，当时，求线段的长． 【答案】（1）①2 ，90；②，45；（2），见解析；（3）或． 【分析】（1）①连接，，，根据轴对称的性质得出，， ，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出． ②同①解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可． （2）同（1）②求解过程一致． （3）分两种情况，①当点在线段上时和②当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴ ∴ ， ∴． ②连接，，如（1）图 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴ ∴ ， ∴，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 即 （2），证明如下∶ 连接，，如（1）图 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴ ∴ ， ∴，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)①当点在线段上时，连接，如下图：． ∵， ∴． 又， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． ②当点在线段的延长线上时，连接 ， 设， ∵， ∴． 又， ∴， ∵， ∴． 又，即， 由， ∴ 综上所述， 或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键． 29．（2025·江西九江·三模）综合与实践 【问题情境】 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． 【特例感知】 （1）如图1，当点在直线上时，___________． （2）如图2，当三点共线时，求的长． 【深入探究】 （3）如图3，设，点到的距离为． ①求与的函数解析式． ②直接写出当的面积为12时，的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）①；② 【分析】（1）先由勾股定理求出，根据折叠可得，再由即可求解； （2）根据折叠得到角平分线，结合矩形的平行线得到，在中，由勾股定理求出，再根据即可求解； （3）①过点作于点，可证明，则，表示出，则，最后在中，由勾股定理即可将与聚集起来建立函数解析式； ②分两种情况讨论，当点在矩形内部时，过点作，延长，交于点，先由的面积为12，求出，在中，由勾股定理求出，证明，则，即可求得，由折叠可知，；当点在矩形外部时，同理可求，此时不符合点在边上，故舍． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴当点在直线上时， ∴， 故答案为：4； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （3）过点作于点， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 化简得：， ②如图，当点在矩形内部时，过点作，延长，交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵的面积为12，， ∴ ∴， ∴， ∵， 在中，， 由折叠可知， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知，； 如图，当点在矩形外部时，过点作，交于点， ∵的面积为12，， ∴同理：， ∴， 同理：在中，， 同理：， ∴，即， 解得：， 由折叠可知，，此时不符合点在边上，故舍， 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，函数关系式的建立，解直角三角形的相关计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 30．（2025·江西抚州·模拟预测）综合与实践 特例感知 （1）如图1，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，则，的关系是______． 类比迁移 （2）如图2，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边延长线上一动点，过点P分别与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，．求证：是等腰直角三角形． 拓展应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是的中点，P是射线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接，，，点E与点C关于对称，连接，． ①当点P在线段上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由． ②设点F的横坐标为x，四边形的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】（1），，证明见解析；（2）证明见解析；（3）①在直线上，理由见详解；②，画图见解析 【分析】（1）如图，连接，证明四边形是矩形，，可得，，，再证明，进一步可得结论； （2）如图，连接，证明四边形是矩形，，可得，，可得，证明，可得，，证明；可得是等腰直角三角形； （3）①如图，连接，过分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，为等腰直角三角形，同理可得：，，，结合点E与点C关于对称，可得四边形是正方形，证明，可得，，求解直线为：， 设，，可得，可得在直线上； ②由①得：当在线段上，，则，，如图，当在直线上，同理可得：，而，四边形的面积为，再画图即可. 【详解】解：（1），；理由如下： 如图，连接， ∵在等腰直角中，，，D为斜边的中点， ∴，，， ∵过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵在等腰直角中，，，D为斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵过点P分别作与的垂线， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形； （3）①如图，连接，过分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点A，B的坐标分别为，，C是的中点， ∴，为等腰直角三角形， 同理可得：，，， ∵点E与点C关于对称， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点A，B的坐标分别为，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴,， 同理可得：, ∴，， ∴， ∴在直线上； ②由①得：当在线段上，，，， ∴四边形的面积为， 如图，当在线段延长线或线段的延长线上，同理可得：，而， ∴四边形的面积为， 综上：四边形的面积为， 如图，描点画图如下： . 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定与性质，求解一次函数的解析式，列二次函数关系式，画二次函数的图象，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 31．（2025·江西萍乡·二模）综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，， 观察发现 （1）①的长为___________； ②如图1，设与的交点为，则的长为___________． 类比迁移 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接． ①当旋转角为时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 拓展应用 （3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积． 【答案】（1）①4， ②2， （2）①，②或，（3） 【分析】（1）①根据题意求得和的长，由中点求得，再由等腰直角三角形得和即可； ②由等腰直角三角形的性质判定等腰直角三角形，则即可； （2）①连接，过点M作于点N，则为等边三角形，，且，由（1）知，求得和，即有； ②分两种情况：过点D作交的于点F，连接，根据求得和，结合勾股定理求得即可；过点D作交的于点F，连接，则，，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意求得，可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，当点P、点A和点M三点共线时，最大，此时，，，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）①∵等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵与的中点重合， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 故答案为：4； ②∵等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴； 故答案为：2； （2）①连接，过点M作于点N，如图， 由题意可知，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， 则； ②如图，过点D作交的于点F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 则以为边的正方形的面积； 如图，过点D作交的延长线于点H，连接， 同理可得，，， ∴， 则以为边的正方形的面积； 故以为边的正方形的面积或； （3）∵点为的中点， ∴， 由题意可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，如图， 当点P、点A和点M三点共线时，最大， 如图， 此时，，， ∴， 则以为边的正方形的面积． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理和三点共线，解题的关键是求得点的运动轨迹和掌握等腰直角三角形的性质． 32．（2025·江西·模拟预测）课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理  三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）先利用证明，于是可得，，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，结合，可证得四边形为平行四边形，于是可得，，再结合，即可得出结论； （2）取的中点，连接，延长、交于点，由正方形的性质可得，由邻补角互补可得，进而可得，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长； （3）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，过点作，交的延长线于点，连接，由邻补角互补可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，，在中，根据勾股定理可得，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ，， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 且； （2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 过点作，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质（、），平行四边形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，内错角相等两直线平行，线段中点的有关计算，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 33．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则 ，若连接，则 ． (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长． 【答案】(1)①是；②50，③10， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转相似图形”的定义是解题的关键． （1）①根据“旋转相似图形”的定义判断即可； ②根据“旋转相似图形”可得即，再根据三角形内角和定理求解即可； ③根据“旋转相似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （2）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转相似图形”的定义即可证明结论； （3）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转相似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①∵，都是等边三角形， ∴， ∵有公共顶点A， ∴是的“旋转相似图形”． 故答案为：是． ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； ③如图：连接， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：10，． （2）证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成相似图形， ∴和互为“旋转相似图形”． （3）解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 34．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践 问题提出 如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S． 初步感知 （1）如图1，当时，解答下列问题： （1）若，则S的值为________； （2）S关于t的函数解析式为________． （2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题： ①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围； ②连接，若四边形是平行四边形，求S的值． 延伸探究 （3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）①最高点，；②；（3）存在，或或 【分析】（1）①②当时，记交于点，过点E作于点M，由题意得，，可得，那么，可证明四边形为平行四边形，则，故，再把时代入即可求解； （2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，此时同上：，那么，再化为二次函数求最值；②由平行四边形的性质得到四边形，而四边形为平行四边形，则，故，即可求解面积； （3）分三种情况讨论，结合相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质即可． 【详解】解：（1）①当时，记交于点，过点E作于点M，如图： 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 故答案为：，； 解：②，解析见①， 故答案为：； （2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点， 此时 同上： ∴， ∴， ∵， ∴最高点为：； ②如图： ∵， ∴四边形是平行四边形时，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时，如图： 由题意得：， 解得：； 当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得： 当时，如图，过点作于点K， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数求最值问题，勾股定理等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 35．（2025·江西新余·一模）【课本再现】 （1）如图1，，都是等边三角形，分别连接，，，与有什么数量关系？请证明； 【特殊感知】 （2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解； 在图1中，，，，则__________； 【类比应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，，，求的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求的长，请你帮小颖求的长； （4）如图3，在四边形中，，，，，，直接写出的长． 【答案】（1），见解析（2）（3）（4） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可得证． （2）过点E作，交延长线于点M，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可． （3）不妨将绕点D顺时针旋转到，连接，根据等边三角形的判定和性质，圆周角，四边形内角和定理，勾股定理解答即可． （4）不妨将绕点D逆时针旋转到，使得，连接，，过点E作，交延长线于点N，利用三角形相似的判定和性质，三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：由， 不妨将绕点D顺时针旋转到，连接，过点E作，交延长线于点G， 则，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：不妨将绕点D逆时针旋转到，使得，连接，，过点E作，交延长线于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴, ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 36．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践课上，老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作菱形，为，连接，求的最小值． 【特例感知】如图2所示，当时，小明连接，以为边向下构造一个等边，连接．便可得到，进而将的最小值转化为的最小值． （1）按照小明的想法，请求出的最小值； 【拓展应用】 （2）如图3和图4所示，当和时，请任意选一个图形求出的最小值； （3）若，，对于任意，请你用含的式子直接写出的最小值______． 【答案】（1）；（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；（3） 【分析】（1）由菱形性质，结合等边三角形的判定与性质得到相关边与角关系，再结合两个三角形全等的判定得到，即有，再由点到直线上点的距离垂线段最短即可得到当时，有最小值，最后由等边三角形性质，解直角三角形即可得到答案； （2）当时，以为边向下作正方形，连接交于点，连接，过点作于，交于，如图所示，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，有最小值，解直角三角形求得，进而可求得的最小值；当时，连接交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，如图所示，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，点为定点，点P为边上的一动点，当，即点与点重合时，最小，解直角三角形即可求得答案； （3）在中，由，得到，类比（1）（2）解法，同理可知，从而得到，即，当取得最小值时，最小，在中由得到，点为定点，点P为边上的一动点，当，即点与点重合时，最小，根据，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）如图所示： 是等边三角形， ，， 在菱形中，， 则是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， 点是定点、点P为边上的一动点， 当时，即点与点重合时，有最小值，如图所示： 在矩形中，， ∴， 在等边中，由等腰三角形三线合一性质可知，平分， 则在中，，， ， ∴四边形是矩形， ， ， 则的最小值为； （2）当时，以为边向下作正方形，连接交于点，连接，过点作于，交于，如图所示： ∵四边形是正方形， ，，，是等腰直角三角形， ，即， ∵， ， ， ∴， 当取得最小值时，有最小值， ∵点为定点，点P为边上的一动点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ， ，即， 在中，，，则， ， ∴四边形是矩形， ， ，即的最小值为6， 则， 的最小值为； 当时，连接交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ， 在中，，则， ， ， ， ， ∵， 在中，，，则，， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，有最小值， ∵点为定点，点P为边上的一动点， ∴当，即点与点重合时，最小， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， 的最小值； （3）解：连接，以为底边向下构造等腰，使，过点作，交于点，如图所示： 当时，则， ， 在中，，则， ， ， 由（1）（2）求解过程，同理可知，， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， 在中，，，， ，则， 解得， ∵点为定点，点P为边上的一动点， ∴当，即点与点重合时，最小， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， 的最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属于中考压轴题． 37．（2025·江西南昌·三模）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号） ①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） 【答案】（1）④；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）或或或． 【分析】（1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明，，求解，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，可得，证明，设，，可得，证明，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：①证明，而，当时，可得，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件，③如图，当时，④如图，当时（与③中的位置不同），过作于，而，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵将线段绕点D 顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等直四边形． （3）如图，连接， ∵线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）①如图，，射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上， ，且四边形是等直四边形， ∴，而， 当时， ∴， ∴，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件， 由①同理可得：， 过作于， ∴，设， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时， ∴， ③如图，当时， ∴，， 由②同理可得：， ∴， ④如图，当时， 同理可得：，， 过作于，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为：或或或． 【点睛】本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 38．（2025·江西抚州·一模）综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】 （1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】 （2）运用基本图形法解决下面问题： 如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】 （3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2），，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形内心和外心的性质，三角形中位线的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和构造辅助线． （1）①利用角平分线的性质得出，进而利用直角三角形得出，利用三角形内角和定理可得结果； ②利用角平分线的性质得出，利用即可判定三角形全等； （2）利用上题结论可得出，，，继而可得； （3）连接，延长至点，使，连接，得出， 在利用三角形的外心等条件依据三角形的中位线得出，继而可得． 【详解】解：（1）①∵点是的内心， 平分，平分， , ， ， ， 故答案为：； ②平分， ． 在和中， ； （2），，理由如下： 如图，连接， 是的内心， 平分． 又∵， 根据基本图形（图2），可推出． ，． 是的内心，， 根据基本图形（图1），可推出． ． ． ； （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 由（2）知，，，，， ， 由基本图形（图1）可知，， ， 在和中， ， ， 是的外心，， ， 又， ， ． 39．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图2，当时，若，则 ； ②如图3，当时，若，则 ． 【猜想证明】 （2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长． 【答案】[特例感知]（1）①；②； [猜想证明]（2）四条线段的比例关系为：，理由见详解 [拓展应用]（3） 【分析】（1）①当时，平行四边形是正方形，可证，得到，由此即可求解；②当时，四边形是矩形，则，，，可证，得到，由此即可求解 ； （2）选择图1中的①：根据平行四边形的性质得到，且，可证，得到，，再证明，得到，即，由此即可求解；选择图1中的②：证明方法同上； （3）如图所示，过作交于，则，，设，则，，设，，先证明，得到，解得，，再证明，得到，求出，，最后根据和列方程求解即可． 【详解】解：[特例感知] （1）四边形是平行四边形， ①当时，平行四边形是正方形，如图所示， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时，如图所示， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； [猜想证明]（2），理由如下， 选择图1中的①，四边形是平行四边形，点在线段上，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 图1中的②：四边形是平行四边形，点在直线上，， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，四条线段的比例关系为：； [拓展应用]（3）如图所示，过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴ ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 去分母得， 整理得， ∵中，， ∴，整理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明相似． 40．（2025·江西景德镇·一模）综合与实践 在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用全等的两块含的直角三角尺开展数学探究活动，两块三角尺分别记作和，，，． 操作探究 先将和的边，重合（点与点重合），再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． (1)如图1，当时，点到的距离为________； 当时，的度数为________． 拓展延伸 (2)如图2，当时，求两块三角尺重叠部分图形的周长． (3)如图3，取的中点，的中点，当是轴对称图形且有三条对称轴时． 求点运动的路径长； 求两块三角尺重叠部分图形的周长．         【答案】(1)①；②或 (2) (3)①或；② 【分析】（1）①延长交于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求得，接着证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，从而求得答案；②先证明，得到，那么当点C在点D下方时，此时，三点共线，则；当点C在点D上方时，此时，两点重合，则； （2）不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，先求得，接着利用等腰直角三角形的性质，可证明，，利用三角形内角和，可知和为等腰直角三角形，和为含的直角三角形，不妨设，那么，，通过，可算得，得出，利用求得，接着不妨设，那么， ，，从而求得，推出，最后表示出重叠部分的周长； （3）①是轴对称图形且有三条对称轴，可知为等边三角形，，当点在点右侧，可求得，从而得到，推导出，当点在点左侧，同理可求得，然后利用弧长的计算公式求得答案；②当点在点右侧，不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，由（3）①可知，，，不妨设，那么，，，由求得，得到，接着求得，可证为等腰直角三角形，为含的直角三角形,不妨设，那么，，，由，算得，同理可算得和，最后计算出重叠部分的周长即可；当点在点左侧，同理可算得重叠部分的周长． 【详解】（1）解：①如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即点到的距离为， 故答案为：； ② ，， ， ，， ， ， 如图，当点C在点D下方时，此时，三点共线， 则； 如图，当点C在点D上方时，此时，两点重合， 则， 综上，的度数为或； 故答案为：或； （2）解：不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，如图所示： 当时，可知， ， ， ， ，， ， 同理可证， ，， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 不妨设，那么， ，， 不妨设，那么， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 两块三角尺重叠部分图形的周长为； （3）解：① 是轴对称图形且有三条对称轴， 为等边三角形， ， 当点在点右侧，如图所示： ，是的中点，，，是的中点，， ，，， ， ， ， 点运动的路径长为 当点在点左侧，同理可求得，如图所示： 点运动的路径长为， 综上，点运动的路径长为或； ②当点在点右侧，不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作， 由（3）①可知，，，， 不妨设，那么，，， ， ， ， ， 同理可得， ， ，， ， ， ，， ， ，， 不妨设，那么，， ， ， ， ， 同理可算得， 重叠部分的周长为：， ， ， 当点在点左侧，同理可算得重叠部分的周长为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形内角和定理，勾股定理，弧长的计算，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 41．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 已知正方形，点在边上或上方，连接，，且，交对角线于点，连接并延长，分别交，于点，． 特例感知 （1）如图1，当点在边上时， ①，，全等的结论______（填“成立”或“不成立”）． ②与的位置关系是______． 类比探究 （2）如图2，当点在边的上方时，交于点，交于点．请写出与的数量关系和位置关系，并证明． 拓展应用 （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为，交于点，连接，．若，则四边形是何种特殊四边形？试证明． 【答案】（1）①成立；②垂直 （2）与的位置关系是，数量关系是，证明见解析 （3）四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①根据条件可证明≌，再证明≌得到，即可再证明≌； ②由①知：，即可求解； （2）证明≌，得到，再证明≌，即可得到； （3）连接，证明直线是的垂直平分线，得到是等边三角形，平分，根据，得到，，，可证与互相垂直平分，即可求解． 【详解】（1）①在和中， ， ∴≌； 在和中， ， ∴≌， ∴， 在和中， ， ∴≌， 又∵≌， ∴，，全等； 故答案为：成立； ②由①知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：垂直； （2）与的位置关系是，数量关系是； 理由如下： 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴≌， ∴； 综上，与的位置关系是，数量关系是； （3）四边形是菱形； 证明：如图，连接， ∵，，， ∴直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在正方形中，， ∴， 由（2）知， ∴平分， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与互相垂直平分， ∴四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$