专题09 平行线与三角形（60题）（贵州专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 平行线与三角形（60题） 一、考点01：相交线与平行线 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·贵州·中考真题）如图，与相交于点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，，，则的度数是（    ） A．137° B．53° C．47° D．43° 6．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．80° D．100° 7．（2022·贵州黔东南·中考真题）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（    ） A．28° B．56° C．36° D．62° 8．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，，其中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 10．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 11．（2021·贵州毕节·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 12．（2021·贵州铜仁·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 考点02：三角形 一、单选题 13．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）      A． B． C． D． 14．（2022·贵州毕节·中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 15．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 17．（2022·贵州黔西·中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ） A．5 B． C． D． 19．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 20．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 21．（2022·贵州毕节·中考真题）如果一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（    ）． A．3 B．4 C．7 D．10 22．（2021·贵州黔东南·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（      ） A．6 B． C． D． 二、填空题 24．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 25．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在和中，，，，AC与DE相交于点F．若，则的度数为 ． 26．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 27．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含的式子表示） 28．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 三、解答题 29．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 30．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 31．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：． 32．（2021·贵州黔西·中考真题）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 33．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分） （1）你选的条件为____________、____________，结论为____________； （2）证明你的结论． 一、单选题 34．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 36．（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 40．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 41．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，分别交于点D，E，连接，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 42．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（2025·贵州铜仁·三模）如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 44．（2025·贵州毕节·一模）如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 46．（2025·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，则四边形的面积为（    ） A．12 B． C． D． 47．（2025·贵州毕节·三模）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 48．（2025·贵州·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题 49．（2025·贵州贵阳·三模）如图，在中，，．点是边上的一点，连接，以为斜边作一个，且，．当点在上运动时，则面积的最小值为 ． 50．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °． 51．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，点为边上的中点，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 52．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为 度． 53．（2025·贵州·二模）如图，已知在等腰直角三角形中，，，延长到点，使得，连接，若是的中点，则的长为 ． 54．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，点E在边上，，，交的延长线于点D，若，则的长为 ． 　 55．（2025·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为 ． 56．（2025·贵州六盘水·二模）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是 ． 57．（2025·贵州·一模）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 58．（2025·贵州遵义·三模）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 59．（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 60．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，延长至点F，使，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知，求的度数． 试卷第48页，共49页 试卷第49页，共49页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平行线与三角形（60题） 一、考点01：相交线与平行线 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 2．（2023·贵州·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分． 3．（2023·贵州·中考真题）如图，与相交于点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可直接得出答案． 【详解】解： ，， ， 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握“两直线平行，内错角相等” ． 4．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线，根据平行线的性质，可得，根据三角板可知，进而等量代换结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线 ∵a∥b， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，，，则的度数是（    ） A．137° B．53° C．47° D．43° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 6．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得出答案． 【详解】解：∵纸片是菱形 ∴对边平行且相等 ∴（两直线平行，内错角相等） 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等． 7．（2022·贵州黔东南·中考真题）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（    ） A．28° B．56° C．36° D．62° 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵四边形EGHF为矩形， ∴EF∥GH， 过点C作CA∥EF， ∴CA∥EF∥GH， ∴∠2=∠MCA，∠1=∠NCA， ∵∠1=28°，∠MCN=90°， ∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°， 故选：D． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 8．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，，其中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行同旁内角互补，可求出的对顶角即可． 【详解】解：如图： ， ， ， 互为对顶角； ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角、解题的关键是：利用平行线的性质得出同旁内角互补，再利用对顶角相等即可求解． 9．（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案． 【详解】如图： ∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2＝105°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 10．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】由平行线的性质可求解∠3=∠1=60°，利用对顶角的性质可求解． 【详解】解：如图： ∵直线a∥b，∠1=60°， ∴∠3=∠1=60°， ∵∠2=∠3， ∴∠2=60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求解∠3的度数是解题的关键． 11．（2021·贵州毕节·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】利用三角形外角性质或者三角形内角和以及平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图 ， ， 直尺上下两边互相平行， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一副三角板多对应的角度以及平行线的性质，本题难度小，解法比较灵活． 12．（2021·贵州铜仁·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断． 【详解】解：∵，∴，故A选项正确； ∵， ∴, ∵, ∴,故B选项正确； ，故C选项正确； ∵， ∴EF=BE，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质，熟记各定理是解题的关键． 考点02：三角形 一、单选题 13．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D，    中,，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 14．（2022·贵州毕节·中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】由作图可知，垂直平分线段， ∴，，， 故选项B，C，D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 15．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 又 ， 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ， 即， 是的中位线， ． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键． 16．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于，则可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得MN垂直平分BC， ∴OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意； ∴OD平分∠BOC， ∴∠BOD=∠COD，所以B选项不符合题意； ∵AE=CE，DB=DC， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEAB，所以C选项不符合题意； ∵， ∴与不全等；所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形中位线性质． 17．（2022·贵州黔西·中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出． 【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形， ∴CD=BD=AD， ∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到， ∴△CDE≌△CDB， 则CD=BD=AD=ED， ∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=， ∴∠EDC=180°-2， ∵， ∴∠AED=∠EDC=180°-2， ∵ED=AD， ∴∠EAD=∠AED=180°-2， ∵∠B=，△ABC为直角三角形， ∴∠CAD=90°-， ∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键． 18．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长． 【详解】连接OE，如图所示： ∵，点为线段的中点， ∴， ∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点， ∴， ∴, ∴为等边三角形， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形． 19．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解． 【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是． 故选B． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键． 20．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， 设到的距离为， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2022·贵州毕节·中考真题）如果一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（    ）． A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形三边之间的关系即可判定． 【详解】解：设第三边长为x，则4<x<10，所以选项中符合条件的整数只有7． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边． 22．（2021·贵州黔东南·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数． 【详解】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°， ∴∠AGE=∠BGF=45°， ∵∠1=∠E+∠AGE， ∴∠1=30°+45°=75°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键． 23．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（      ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点F作FG⊥AB于点G，根据作图信息及角平分线的性质可推出FC＝FG，再利用等面积法求出，最后由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G， 由尺规作图可知，AF平分∠BAC， ∵， ∴FC⊥AC， ∴FC＝FG， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 在中，由勾股定理得； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作法与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作法与性质及利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 二、填空题 24．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据含角的直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 由旋转的性质得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 25．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在和中，，，，AC与DE相交于点F．若，则的度数为 ． 【答案】105°#105度 【分析】在中，利用已知求得，再利用平行线的性质求得，然后在中利用三角形的内角和定理求得 ，最后在中，利用三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解：在中，，， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴在中，． 故答案为： 【点睛】本题看考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键． 26．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，， ， ， 即取得最小值时，CM的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键． 27．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用扇形面积公式即可求出 【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点 ∴； 设， 在中： 在中： 由①②得： 扇形面积：（cm2） 故答案为： 【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出的度数 28．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 【答案】12 【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 【详解】∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 三、解答题 29．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析；135 (2)；理由见解析 (3)或；理由见解析 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． （2）解：；理由如下： 连接，如图所示：    根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：    根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：    根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 30．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明； （2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中 ； ， （2）在中，，， , , , , , ∴∠ADC=∠ACD， , ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 31．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接根据一线三垂直模型利用ASA证明即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B=∠D=∠ACE=90°， ∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键． 32．（2021·贵州黔西·中考真题）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（3）正确，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE； （2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60° 【详解】解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， （2）由（1）可知△ABD≌△ACE 则∠ABD＝∠ACE， 又∵∠AGB＝∠CGF， ∴∠BFC＝∠BAC＝60°， ∴∠BFE＝120°， 过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N， 又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE， ∴由面积相等可得AM＝AN， 在Rt△AFM和Rt△AFN中， ， ∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL）， ∴∠AFM＝∠AFN， ∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键． 33．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分） （1）你选的条件为____________、____________，结论为____________； （2）证明你的结论． 【答案】(1)，，；(2)见解析 【分析】(1)选择，作为条件，可得到结论； (2)利用对顶角相等，得到，再由角角边证明△AOC≌△BOD即可． 【详解】解：(1)选择的条件为，，需要证明的结论为：； (2)由对顶角相等可知：， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD(AAS)， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形的判定方法是解决本题的关键． 一、单选题 34．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 35．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质、垂直的定义、平行线的性质、含的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质求出，，结合垂直的定义、平行线的性质求出，，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 36．（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，结合即可证明，即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 37．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 38．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键． 直接根据等腰三角形三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴． 故选D． 39．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 40．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：    那么，即． 由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径． 故选：A． 41．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，分别交于点D，E，连接，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由勾股定理求出，由线段的垂直平分线的性质得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A． 42．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本作图，得到，继而得到，根据三角形外角性质得解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，三角形外角性质，熟练掌握作图的性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得到， 故， 根据三角形外角性质得， 故选：C． 43．（2025·贵州铜仁·三模）如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据旋转角的定义，得，解答即可． 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 根据旋转角的定义，得， 故选：C． 44．（2025·贵州毕节·一模）如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质三角形外角的性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．由，根据两直线平行，同位角相等，可得，由三角形外角的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵，， ， ． 故选：A． 45．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键；由题意可知，是的垂直平分线，可得，再结合线段间的代换计算三角形的周长即可. 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ， ， 的周长， 故选A. 46．（2025·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，则四边形的面积为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是由旋转得到相等的边． 根据旋转的性质得到≌，，证明为等边三角形，分别求出和，即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴≌，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作交于点， 则， ∴， ∵≌， ∴， ∴． 故选：C ． 47．（2025·贵州毕节·三模）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 48．（2025·贵州·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先由勾股定理求得，进而得，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形，，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 49．（2025·贵州贵阳·三模）如图，在中，，．点是边上的一点，连接，以为斜边作一个，且，．当点在上运动时，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理、斜边中线定理、二次根式的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用勾股定理求出，根据含30度角的直角三角形的性质得到，得出，表示出，结合点在上运动，分析可知当时，有最小值，此时有最小值，再利用等腰直角三角形的性质求出的最小值，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， 点在上运动， 当时，有最小值，此时有最小值， 又， 此时点是的中点，， 的最小值为． 故答案为：． 50．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 51．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，点为边上的中点，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，过A作交的延长线于G，证明，得出，，根据线段垂直平分线的性质得出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过A作交的延长线于G， ∴，， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 52．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 53．（2025·贵州·二模）如图，已知在等腰直角三角形中，，，延长到点，使得，连接，若是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，以边所在直线为x轴，以过点C垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，得出是等腰直角三角形，勾股定理求出，然后得出，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，以边所在直线为x轴，以过点C垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 54．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，点E在边上，，，交的延长线于点D，若，则的长为 ． 　 【答案】 【分析】过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，可得出，得到；根据等边对等角，得到，从而得到，得到，从而得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，继而得到，根据勾股定理，得，再次运用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，连接， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据等腰三角形的三线合一性质，得到， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角和定理，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 55．（2025·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为 ． 【答案】25 【分析】如图所示，过点D作交延长线于点E，过点F作交于点F，证明出，设，证明出，得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E，过点F作交于点F ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得，（舍去） ∴． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 56．（2025·贵州六盘水·二模）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据是边上的高，可知是以为斜边的直角的其中一条直角边，从而得到，然后根据当且仅当时，此时、两点重合，此时取得最大值，最后利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 是边上的高， 是以为斜边的直角的其中一条直角边， 即，此时， 当且仅当时，如图所示， 此时、两点重合， 即，此时取得最大值， ，， ， ． 故答案为：． 57．（2025·贵州·一模）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，由题意可得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，过点的线段，且，由直角三角形的性质和勾股定理得，，作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值，由角平分线的性质得，，设，则，可得，得到，进而由得，利用三角形面积得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点是在线段上移动的， ∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动， 如图，过点的线段，且， 在中，，，， ∴，， ∴， 作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值， ∵平分交于点，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 58．（2025·贵州遵义·三模）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接．由题意可知，证明．则可证明为等边三角形，即可得到． （2）证明，得到，由等边三角形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图，连接． 由题意可知， 为等边三角形， ， ∴ ． 为等边三角形， ． （2）解：∵， ∴ ∴， 为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ． 59．（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． （1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可； （2）首先证明出，得到，即可得到平分． 【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）证明：在和中， ∵，，        ∴                ∴，                  ∴平分． 60．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，延长至点F，使，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中位线，等腰三角形的判定及性质，外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形的判定定理求解； （1）利用中位线的性质及条件证明出即可判断； （2）证明出等腰三角形，再利用三角形内角和定理及外角的性质进行求解． 【详解】（1）证明：点D，E分别是，的中点， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，； ， ， ， ， ． 试卷第48页，共49页 试卷第49页，共49页 学科网（北京）股份有限公司 $$