专题22 相似三角形的性质与判定（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（贵州专用）

专题22 相似三角形的性质与判定（解析版） 考点1 利用相似三角形的性质进行计算其它量 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在△ABC中，是边上的点，，，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2， 故选：B． 2．（2020·贵州铜仁·中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15， ∴△FHB和△EAD的周长比为2：1， ∵△FHB∽△EAD， ∴， 即＝2， 解得，EA＝3， 故选：A． 3．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】C 【详解】解：如图，在正方形ABCD中,AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4,∠B＝∠BAD＝90°, ∴∠HAD＝90°, ∵HF∥AD, ∴∠H＝90°, ∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°, ∴∠AFH＝∠HAF. ∵AF＝, ∴AH＝HF＝1＝BE. ∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC, ∴△EHF≌△CBE（SAS）, ∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE, ∵∠BCE+∠BEC＝90°, ∴HEF+∠BEC＝90°, ∴∠FEC＝90°, ∴△CEF是等腰直角三角形, 在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4, ∴EC2＝BE2+BC2＝17, ∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝,故①正确: 过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P, ∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD, ∴四边形APFH是矩形, ∵AH＝HF, ∴矩形AHFP是正方形, ∴AP＝PH＝AH＝1, 同理：四边形ABQP是矩形, ∴PQ＝AB＝4,BQ＝AP1,FQ＝FP+PQ＝5,CQ＝BC﹣BQ＝3, ∵AD∥BC, ∴△FPG∽△FQC, ∴, ∴, ∴PG＝, ∴AG＝AP+PG＝, 在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝, ∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝=8，故②正确； ∵AD＝4， ∴DG＝AD﹣AG＝, ∴DG2+BE2＝+1＝, ∵EG2＝（）2＝≠, ∴EG2≠DG2+BE2,故③错误, ∴正确的有①②, 故选:C. 考点2 位似图形的性质与计算 4．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ． 【答案】2 【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点 ∴OA=4，OC=2 ∴与的位似比为：4：2=2：1 ∴与周长的比值为：2：1 故答案为：2． 5．（2021·贵州黔东南·中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】（4，2）或（－4，－2） 【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）． 故答案为：（4，2）或（-4，-2）． 6．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ． 【答案】 【详解】解：， ， 与是位似图形， 与的相似比为， ， 即与的面积比为， 故答案为：． 考点3 相似三角形的实际应用 7．（2021·贵州毕节·中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m． 【答案】8.5 【详解】解，根据题意得， ∴ ∴ ∴ 故答案为：8.5 考点4 相似三角形的判定与性质综合 8．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【详解】解： 四边形MNQP的面积为3， 故选D． 9．（2022·贵州安顺·中考真题）已知正方形的边长为4，为上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接AM， 四边形是正方形， 点与点关于对称， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形边长为4， ， ， ， ，， 在中，， ， 是的中点， ， 在中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 10．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是 ， 度． 【答案】 / 【详解】过点E作EF⊥AB，垂足为F， ， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得或， 对角线，相交于点， ， ， ， ， 过点E作EF⊥AB，垂足为F， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 11．（2020·贵州黔东南·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° ， ∵E为CD的中点， ∴DE＝CD＝AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴＝＝， ∵CD＝2， ∴PQ＝， 故答案为：． 二、解答题 12．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，，求DB的长． 【答案】（1）证明过程见详解; （2）DB=6. 【详解】解：（1）证明：∵E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD， 根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB； （2）由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD, ∴∠DBF=∠DAB. ∵∠D=∠D， ∴△DBF∽△DAB. ∴, ∵DE=DB， ∴, ∵，， ∴, ∴. 13．（2021·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值； （3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）． 【答案】（1）见详解；（2）EF=或；（3）c+b=n，理由见详解 【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． ∴c2＝ab×4＋（b−a）2， 化简得：a2＋b2＝c2； （2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形， 设EF=a，FD=b， ∴a+b=12， ∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成， ∴，，， 当EF>DF时， ∵， ∴a-b=5， ∴，解得：a=， ∴EF=； 同理，当EF<DF时，EF= 故EF=或 （3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f， ∵， ∴图中①与②与③，三个直角三角形相似， ∴，即：， ∵图形③是直角三角形， ∴， ∴，即：c+b=n， 14．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在中，，cm，cm．点是边上的一动点，点从点出发以每秒2cm的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为． （1）当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）； （2）当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值： （3）当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1）过点Q作QD⊥AC于点D，如图： ∵ΔCPQ是等边三角形， ∴CP=CQ=2x，∠QCP=60°，则CD=DP=x， ∴QD=2x=， ∴； （2）过点Q作QD⊥AC于点D，如图： 由（1）知，QD=，CD=DP=x，则AD=12-x， ∵QD⊥AC，∠ACB=90°， ∴QD∥BC，则△AQD△ABC， ∴，即， 解得：， ∴； （3）当时，设QC、PQ分别交AB于M、N， 过点Q作QD⊥AC于点D，过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图： 同（2）得CM=4， 设NP=a，则FN=a， 同理：FN∥BC，则△AFN△ABC， ∴，即， ∴，则FN=， ∴ ． 15．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，已知内接干，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【详解】（1）解：连接OE， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵的平分线交于点，交于点， ∴∠CAE=∠OAE， ∴∠CAE=∠OEA， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠OEA+∠BEO=∠BEF+∠BEO=90°，即：∠OEF=∠AEB=90°， ∴OE⊥EF， ∴是的切线； （2）由（1）可知：∠BEF=∠EAF， 又∵∠F=∠F， ∴， ∴，即：， ∴AF=40，EA=2BE， ∴AB=AF-BF=40-10=30， ∴的半径为15， 设BE=x，则AE=2x， ∴，解得：（舍去负值）， ∴BE=，AE=， ∵∠CBE=∠CAE=∠EAB， ∴tan∠CBE=tan∠EAB， ∴， ∴DE=×=， ∴AD=AE-DE=-=． 16．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝8，＝，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）4 【详解】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠A＝∠ECB， ∵∠BCE＝∠BCD， ∴∠A＝∠BCD， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD， ∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝∠BCE， ∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝， 设BC＝k，AC＝2k， ∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴＝＝， ∵AD＝8， ∴CD＝4． 17．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45° (3)①见解析；②不发生变化，值为8 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵， ， 点与点关于对称， ， ， 四点共圆； ②，理由如下， 如图，四点共圆， ， 关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 一、单选题 18．（2024·贵州贵阳·一模）如图，与相交于点C，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 19．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点在边上，点在边上，将△ABC沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】A 由折叠可知：，，，，，设，则，证四边形是菱形，证，即可解答． 【详解】解：由折叠可知：，，，，，设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 20．（2024·贵州毕节·三模）同学们在物理实验室做凸透镜成像的实验，画出的示意图如图所示．是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为4.5 cm，蜡烛离凸透镜MN的水平距离为5 cm，该凸透镜的焦距为8 cm，，则蜡烛的像的高为（   ）    A．12 cm B．cm C．7.5 cm D．7.2 cm 【答案】A 【详解】根据题意可知． ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故选：A． 21．（2024·贵州遵义·三模）如图，的正方形网格中，和的顶点都在正方形网格的格点处，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 22．（2024·贵州贵阳·一模）一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 23．（2024·贵州毕节·一模）如图，与位似，位似中心为点的面积为27，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D． 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∵与位似， ∴，且与的相似比为， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题 24．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 25．（2024·贵州·模拟预测）两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似比为 ． 【答案】 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴它们的相似比为， 故答案为：． 三、解答题 26．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知，都是等腰直角三角形，，，． 【问题发现】 （1）如图1，当点，，在同一条直线上时，与的数量关系是______，位置关系是______； 【问题探究】 （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，，交于点，若，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，，是线段的中点，连接，求的值． 【答案】（1）（或相等）（或垂直）（2）（3） 【详解】解：（1）延长交于点P， ∵，，． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为∶ （或相等）（或垂直）； （2）是等腰直角三角形，且， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ， 即， ∵，，． ， ，． ， ，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， ， ． （3）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， ． 四边形是平行四边形， ，． ， ， ． ， ， 又， ， ． ， ， ， ． 27．（2024·贵州铜仁·一模）如图1，已知中，，，，、分别是、上的点，，绕点顺时针旋转． (1)【问题解决】如图①，用等式表示线段与的数量关系是_________； (2)【问题探究】当旋转到如图②所示，判断线段与的数量关是否发生变化？并说明理由； (3)【拓展延伸】当，旋转过程中，当、、共线时，若，求的长．（作图解决问题） 【答案】(1) (2)不变，理由见解析 (3)． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：与的关系不发生变化，理由如下： ， ， ， 由（1）知，， ， ， 由（1）得，； （3）解：如图1， 当点在上时， ，，， ，， ， ， ， ， ， 由（2）知，， 如图2， 当点在的延长线上时， 由上知，，， ， ， 综上所述：． 28．（2024·贵州安顺·一模）如图，在矩形中，于点，交于点，过点作的角平分线交于点，． (1)求证：； (2)求； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【详解】（1）证明： 四边形是矩形 即 又 ； （2） 平分 ； （3）， 设，则 解得或（舍去） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 相似三角形的性质与判定（原卷版） 考点1 利用相似三角形的性质进行计算其它量 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在△ABC中，是边上的点，，，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 2．（2020·贵州铜仁·中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 3．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　） A． ①②③ B．①③ C．①② D．②③ 考点2 位似图形的性质与计算 4．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ． 5． （2021·贵州黔东南·中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ． 6．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则 与△ABC的面积比为 ． 考点3 相似三角形的实际应用 7．（2021·贵州毕节·中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m． 考点4 相似三角形的判定与性质综合 8．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 9．（2022·贵州安顺·中考真题）已知正方形的边长为4，为上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分 别连接，．若，则的最小值为 ． 10．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是 ， 度． 11．（2020·贵州黔东南·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ． 二、解答题 12．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，，求DB的长． 13．（2021·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值； （3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）． 14．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在中，，cm，cm．点是边上的一动点，点从点出发以每秒2cm的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为． （1）当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）； （2）当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值： （3）当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）． 15．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，已知内接干，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 16．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝8，＝，求CD的长． 17．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 一、单选题 18．（2024·贵州贵阳·一模）如图，与相交于点C，若，则等于（   ） A． B． C． D． 19．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点在边上，点在边上，将△ABC沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 20．（2024·贵州毕节·三模）同学们在物理实验室做凸透镜成像的实验，画出的示意图如图所示．是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为4.5 cm，蜡烛离凸透镜MN的水平距离为5 cm，该凸透镜的焦距为8 cm，，则蜡烛的像的高为（   ）    A．12 cm B．cm C．7.5 cm D．7.2 cm 21．（2024·贵州遵义·三模）如图，的正方形网格中，和的顶点都在正方形网格的格点处，则是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·贵州贵阳·一模）一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·贵州毕节·一模）如图，与位似，位似中心为点的面积为27，则△ABC的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D． 二、填空题 24．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 25． （2024·贵州·模拟预测）两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似比为 ． 三、解答题 26．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知，都是等腰直角三角形，，，． 【问题发现】 （1）如图1，当点，，在同一条直线上时，与的数量关系是______，位置关系是______； 【问题探究】 （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，，交于点，若，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，，是线段的中点，连接，求的值． 27．（2024·贵州铜仁·一模）如图1，已知中，，，，、分别是、上的点，，△ADE绕点顺时针旋转． (1)【问题解决】如图①，用等式表示线段与的数量关系是_________； (2)【问题探究】当△ADE旋转到如图②所示，判断线段与的数量关是否发生变化？并说明理由； (3)【拓展延伸】当△ADE，旋转过程中，当、、共线时，若，求的长．（作图解决问题） 28．（2024·贵州安顺·一模）如图，在矩形中，于点，交于点，过点作的角平分线交于点，． (1)求证：； (2)求； (3)若，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$