专题14 图形的变化（70题）（贵州专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题14 图形的变化（70题） 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州·中考真题）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 5．（2022·贵州安顺·中考真题）某几何体如图所示，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·贵州六盘水·中考真题）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（    ） A．坡 B．上 C．草 D．原 7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·贵州遵义·中考真题）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·贵州毕节·中考真题）计算的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2021·贵州遵义·中考真题）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 12．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中，，，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（    ） A． B． C． D． 13．（2021·贵州毕节·中考真题）下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 14．（2021·贵州黔东南·中考真题）由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．6 15．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 17．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 18．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是 nmile．（参考数据：，） 19．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ． 20．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是 ， 度． 21．（2022·贵州遵义·中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，） 根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 千米． 22．（2021·贵州黔西·中考真题）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为 米．    23．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ． 24．（2021·贵州毕节·中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m． 25．（2021·贵州黔东南·中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ． 三、解答题 26．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 27．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 28．（2023·贵州·中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，） (1)求坡面的坡度； (2)求基站塔的高． 30．（2022·贵州贵阳·中考真题）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）． (1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）； (2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，） 31．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：） 32．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： (1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； (2)求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）． 33．（2022·贵州遵义·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值，其中． 34．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 35．（2021·贵州贵阳·中考真题）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 36．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 四、单选题 37．（2025·贵州铜仁·三模）中国刺绣是文化与经济相互交融、相互促进、相得益彰的生动体现，是中国古代礼制的象征和文化的体现．下列刺绣图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·贵州贵阳·模拟预测）“鼓舞”是国家级非物质文化遗产之一，左图是“鼓舞”人偶模型，其中“鼓”的俯视图为（   ） A． B． C． D． 39．（2025·贵州黔东南·二模）甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 41．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 42．（2025·贵州黔西·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 43．（2025·贵州铜仁·二模）五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　） A． B． C． D． 44．（2025·贵州贵阳·三模）下列四个图形中，是圆柱体的主视图的是（　　） A． B． C． D． 45．（2025·贵州安顺·三模）榫卯被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如图，这是其中一种卯，其主视图是（   ） A． B． C． D． 46．（2025·贵州铜仁·三模）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 47．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 五、填空题 48．（2025·贵州铜仁·三模）在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为 ． 49．（2025·贵州遵义·二模）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 50．（2025·贵州黔东南·三模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 51．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 六、解答题 52．（2025·贵州遵义·模拟预测）近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑．小刚想测量纪念碑的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是米．若小刚站在水平地面处用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为，径直向后退6米到处，又用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为． (1)请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）； (2)根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 53．（2025·贵州铜仁·三模）如图是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心的座和座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图，小星在小区门口点处测得其中一个塔的顶部的仰角为，然后在自家阳台上的点处测得顶部的仰角为，若小星家的阳台到地面的距离为，点到点的水平距离为，且、、三点共线，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 54．（2025·贵州铜仁·三模）测量主教学楼高度的方案． 任务驱动 测量主教学楼的高度 测量工具 测角仪，皮尺 模型抽象 测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． 数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内 参考数据 ，，， 模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度． 结果要求 精确到0.1米 55．（2025·贵州铜仁·三模）2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在地，奶奶家在地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示． 若已知，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算： （参考数据：，结果精确到个位） (1)大桥建成以后两地直接通行的距离； (2)求大桥建成发后与之前的路线相比，从地到地的路程将缩短约多少公里． 56．（2025·贵州贵阳·模拟预测）项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 【实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 57．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 58．（2025·贵州贵阳·二模）如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． (1)求的长；（结果保留根号） (2)若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 59．（2025·贵州铜仁·三模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，． (1)求的度数； (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3.2米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 60．（2025·贵州黔东南·三模）在一次户外研学活动中，同学们来到梵净山金顶下方的一个休息区，为测量金顶到休息区的垂直高度，小李拿出了随身带的测角仪与同学们一起测量， 测角仪高度为米，当他们把测角仪放在处时，他观测到金顶处的仰角为，然后沿着与休息区成水平直线的方向走了米到达处，再次观测金顶处，仰角为，如图所示．请根据以上数据，计算金顶到休息区的垂直高度（即：的长度）（结果精确到）． 61．（2025·贵州毕节·三模）为积极响应健康中国行动，落实“体重管理年”三年行动，小王买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知点C到地面的距离为0.8 m，踏板与地面的坡比，支架的长为0.8m，跑步机手柄为，且，点A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求踏板的长； (2)小王身高为1．8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 62．（2025·贵州黔南·模拟预测）如图，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图是其侧面示意图，，可绕点旋转，是的中点，测得． (1)正常放置时，，求此时点到的距离； (2)如图，绕点逆时针旋转到的位置，此时，求点在竖直方向上升的高度（结果精确）．（参考数据：，，） 63．（2025·贵州·模拟预测）在自驾出游，需要露营时，可借助汽车或树木搭建如图的天幕，为了加大活动区域，改变搭建方式，改变后的截面示意图如图，将天幕撑开，用绳子拉直天幕一侧后系在车顶处，另一侧拉直后用地钉系在地面上的点处，是垂直于地面的天幕支撑杆，可通过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角度，已知，米，车顶到地面的距离为米，与垂直．将天幕撑开到最大时，天幕的展开角度，拉直所需的绳子的长为米．（结果精确到米，参考数据：，，） (1)求的长； (2)用（1）中所求的长，求拉直所需的绳子的长． 64．（2025·贵州贵阳·模拟预测）贵州是一个多桥梁的省份，如图 1 是全球最高的桥——北盘江大桥．现某数学兴趣小组打算利用所学的数学知识测量它的桥长和桥高．数学小组的同学们绘制出了如图 2 的几何图形：为桥面，，为两个桥墩在桥上方的部分，满足且 ． C为桥下方的最低点．同学们在 B点处用测角仪测出了F的仰角为， G的仰角为 ， C的俯角为，从 A点又测得 C的俯角为． (1)桥面 的长为 ；（结果保留整数，参考数据：，， ) (2)请计算 C点到桥面的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，， ) 65．（2025·贵州贵阳·三模）梯青塔位于清镇市湿地公园内，是贵阳市级文物保护单位．由云南巡抚张日晸于清道光二十九年（1849年）捐建，七级石塔，为避水毁易阁为塔（如图①）．小星和小红准备用所学的知识求梯青塔的高度．如图②，他俩在与塔处在同一水平线上的建筑物内，小红在二楼点处，测得塔顶的仰角为，小星在建筑物四楼的点处，测得塔底处的俯角为，已知点到地面的距离，点到地面的距离． (1)求建筑物与梯青塔的水平距离的长； (2)求梯青塔的高度． （参考数据：） 66．（2025·贵州安顺·三模）花江峡谷大桥合龙贯通﹐成为世界第一高桥．某数学兴趣小组利用无人机测量花江峡谷大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方691米的点N处时，测得桥面正中心A的俯角，将无人机水平向左移动154米到达点M处，测得桥面正中心A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息，求花江峡谷大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，） 67．（2025·贵州铜仁·三模）这个周末，小敏来到了贵阳市观山湖区的裂变广场，这里有全球最高的人工瀑布，已成为贵阳市的标志性建筑（如图1）．站在高楼下，能够感受到“飞流直下三千尺”的壮阔，阳光照射时，还可以看见美丽的彩虹，极具观赏性．如图2，小敏来到瀑布的顶端A处，测得对面高楼楼顶仰角，楼底俯角，已知对面高楼楼高米（参考数据：，，，，，） (1)站在对面高楼楼底，此时看瀑布顶端的仰角度数为______； (2)求瀑布的高度．（精确到米） 68．（2025·贵州铜仁·三模）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过点P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上．（参考数据：） (1)写出图1中与相等的线段：______； (2)如图1，当时，求所在圆的半径； (3)若将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2，求点M经过的路径的长． 69．（2025·贵州遵义·二模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 70．（2025·贵州·二模）随着社会的发展，越来越多的公司意识到团队合作的重要性．某公司计划组织一次拉练活动，如图，点为出发点，行进的路线为，其中点，是途中设置的两个休息站，点在点的南偏西方向，，点在点的北偏西方向，． (1)求的度数； (2)求休息站和之间的距离（结果保留根号）． 试卷第66页，共67页 试卷第67页，共67页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 图形的变化（70题） 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B． 是轴对称图形，符合题意； C． 不是轴对称图形，不符合题意； D． 不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．（2023·贵州·中考真题）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图象是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，得到的平面图形是一个等腰梯形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握主视图的定义． 4．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得，解即可求解，求得是解题的关键． 【详解】解：∵坡面的坡度为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 5．（2022·贵州安顺·中考真题）某几何体如图所示，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案． 【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从上面看得到的图形是俯视图． 6．（2022·贵州六盘水·中考真题）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（    ） A．坡 B．上 C．草 D．原 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键． 7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从上面看，能看到的图形即可，即俯视图． 【详解】该立体图形的俯视图为： 故：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，正确确定三视图是本题的关键． 8．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键． 9．（2022·贵州遵义·中考真题）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 10．（2022·贵州毕节·中考真题）计算的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．（2021·贵州遵义·中考真题）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义即可判断出答案． 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选： 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键． 12．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中，，，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，从而DF可知，进而可求出CD的长． 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F， ∴ ∵AD//BC ∴ ∴ ∴则四边形AEFD是矩形， ∴ 在中，AB=8， ∴ ∴ 在中，， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）． 13．（2021·贵州毕节·中考真题）下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心． 14．（2021·贵州黔东南·中考真题）由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．6 【答案】A 【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍． 【详解】解：正视图中正方形有3个； 左视图中正方形有3个； 俯视图中正方形有3个． 则这个几何体表面正方形的个数是：2×（3+3+3）=18． 则几何体的表面积为18． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和． 15．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形画出主视图，即可得出结论． 【详解】解：此正三棱柱的主视图是 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线表示，看不见的用虚线表示． 二、填空题 16．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 17．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据含角的直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 由旋转的性质得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 18．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是 nmile．（参考数据：，） 【答案】34 【分析】作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，设，表示出，，利用，解得：． 【详解】解：作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离， 由图可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵，解得：． ∴C岛到航线AB的最短距离是34 nmile． 故答案为：34 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解CF为C岛到航线AB的最短距离，求出，利用求解． 19．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是 ． 【答案】2 【分析】根据位似的定义，即可得出位似比=OA：OC，而与周长的比值等于位似比，即可得出答案． 【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点 ∴OA=4，OC=2 ∴与的位似比为：4：2=2：1 ∴与周长的比值为：2：1 故答案为：2． 【点睛】本题考查了求位似图形的周长之比，求出位似比是本题的关键． 20．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是 ， 度． 【答案】 / 【分析】通过证明，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE的面积，过点E作EF⊥AB，垂足为F，证明是等腰直角三角形，再求出，继而证明，可知，利用外角的性质即可求解． 【详解】 ， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得或， 对角线，相交于点， ， ， ， ， 过点E作EF⊥AB，垂足为F， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 21．（2022·贵州遵义·中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，） 根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 千米． 【答案】33792 【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D， 根据题意， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴由垂径定理可知：， ∴以为直径的圆的周长为， 故答案为：33792． 【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法． 22．（2021·贵州黔西·中考真题）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为 米．    【答案】 【分析】首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【详解】详解：过点A作于点D，如图所示：    则，，米， 在中， （米）， 在中， （米）， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，注意准确构造直角三角形是解答此题的关键． 23．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：， ， 与是位似图形， 与的相似比为， ， 即与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 24．（2021·贵州毕节·中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m． 【答案】8.5 【分析】根据题意得，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解，根据题意得， ∴ ∴ ∴ 故答案为：8.5 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出BE的长是解题关键． 25．（2021·贵州黔东南·中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】（4，2）或（－4，－2） 【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）． 故答案为：（4，2）或（-4，-2）． 【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是正确作出点A的对应点E，G，点B的对应点F，H． 三、解答题 26．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 27．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， （2）解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 28．（2023·贵州·中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案； 【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为， ∴； （2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为， ∴，， ∴；    【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． 29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，） (1)求坡面的坡度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1) (2)基站塔的高为米 【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可； （2）设米，则米，米，根据，求出米，米．在中，求出；再根据（米． 【详解】（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为． 根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米， （米），（米）， 根据勾股定理得：（米） 坡面的坡度为；, 即坡面的坡度比为； （2）解：设米，则米，米， ， ， 米， 米． 在， 米，米，， ， 解得； （米）， （米， （米）． 答：基站塔的高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法． 30．（2022·贵州贵阳·中考真题）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）． (1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）； (2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)760米 (2)未超速，理由见解析 【分析】（1）分别解，求得，根据即可求解； （2）根据路程除以速度，进而比较即可求解． 【详解】（1） 四边形是平行四边形 四边形是矩形， 在中， 在中， 答：，两点之间的距离为760米； （2）， 小汽车从点行驶到点未超速． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 31．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】103米 【分析】延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根据CD=DE-CE列方程求得x即可； 【详解】解：延长DC交AB于点E，设CE=x米， ∵AB、CD在同一平面内，AB⊥水平地面，点C、D在同一水平地面， ∴AB⊥DE， Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，则AE=EC•tan∠ACE=米， Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，则BE=EC•tan∠BEC=0.84x米， Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，则DE=AE÷tan∠D=3x米， ∵CD=DE-CE=3x-x=80米， ∴x=40米， ∴AB=AE+BE=米， ∴桥墩的高度为103米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握正切三角函数的相关概念是解题关键． 32．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： (1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； (2)求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解即可求解； （2）延长交于点，证明是等边三角形，解，根据即可求解． 【详解】（1）在中， （2）如图，延长交于点， 中， 是等边三角形 答：灯管支架的长度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 33．（2022·贵州遵义·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】（1）解：原式＝ ； （2）解：原式＝ ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 34．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可； （2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可． 【详解】（1） ； （2） ∵， ∴原式=． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 35．（2021·贵州贵阳·中考真题）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）B，C两点之间的距离约为51m． 【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正弦的定义求解； （2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可． 【详解】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F， ∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°， ∴四边形BDFE为矩形， ∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， ∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m）， 在Rt△AEF中，sin∠AEF=，即sin=． 答：仰角的正弦值为； （2）在Rt△AEF中，EF＝m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m， ∵tan∠ACD=， ∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m， ∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m． 答：B，C两点之间的距离约为51m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 36．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 【答案】至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙 【分析】设FD=x，则ME=80-x，在△EAM中求出AM=ME=80-x，在△AMF中求出，再由建立方程求出x的值进而求出FD，最后再根据每层楼高度为3米即可求出层数． 【详解】解：设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x， ∵∠EAM=45°，MA⊥CM， ∴△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为， ∴AM=ME=80-x， ∵∠FAM=60°，MA⊥MF， ∴△AMF为30°，60°，90°直角三角形， ∴， ∴， 又， ∴， 解得米， ∵每层楼的高度为3米， ∴， 答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握俯角的定义，三角函数的定义等是解决本题的关键． 四、单选题 37．（2025·贵州铜仁·三模）中国刺绣是文化与经济相互交融、相互促进、相得益彰的生动体现，是中国古代礼制的象征和文化的体现．下列刺绣图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解决本题的关键 ． 根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；再根据中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据概念分析选项即可 ． 【详解】解：A：既是轴对称图形也是中心对称图形，不合题意； B：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，合题意； C：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意； D：既是轴对称图形也是中心对称图形，不合题意 ． 故选：B ． 38．（2025·贵州贵阳·模拟预测）“鼓舞”是国家级非物质文化遗产之一，左图是“鼓舞”人偶模型，其中“鼓”的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三视图，根据从上面看到的图形是俯视图进行解答即可． 【详解】 解：根据题意，可知俯视图为 故选：D． 39．（2025·贵州黔东南·二模）甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的应用， 根据平移的性质，轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：图A可以通过平移变换得出，所以符合题意； 图B，C，D是通过轴对称变化得到的，所以不符合题意． 故选：A． 40．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算． 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 41．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质是解题的关键； 设的长为，则．利用三角形外角的定义和性质以及等腰三角形的判定以及性质得出，证明，利用相似三角形的性质得出，解出x即可得出答案． 【详解】解：设的长为，则． ，． ． 由作图可知，， ． 是的外角， ， ， ， ， ，， ， ， 即， （负值已舍去）． 故选：C． 42．（2025·贵州黔西·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形定义，掌握轴对称图形的概念，要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 43．（2025·贵州铜仁·二模）五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，即如果把一个图形绕着某一点旋转，若能够与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键． 根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 44．（2025·贵州贵阳·三模）下列四个图形中，是圆柱体的主视图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握圆柱体的三视图． 根据主视图是从正面看到的视图进而得出答案即可． 【详解】解：主视图是正面看， 所以，该几何体圆柱的主视图为矩形， 故选：A． 45．（2025·贵州安顺·三模）榫卯被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如图，这是其中一种卯，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，卯的主视图是： 故选：D． 46．（2025·贵州铜仁·三模）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【答案】B 【分析】根据常见几何体的三视图判断解答即可． 本题考查了三视图与几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得这是圆柱的三视图， 故选：B． 47．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ， ， 在矩形中，， 又， ， 故选：C． 五、填空题 48．（2025·贵州铜仁·三模）在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积求解，分析为钝角和锐角两种情况求解平行四边形的面积是解决本题的关键． 分类讨论为钝角还是锐角两种情况，根据的余弦值可求解与的值，进而可求解的长度，再由平行四边形的面积公式，即底乘高代入数值求解即可． 【详解】解：第一种情况：过点作于点，如答图1所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 第二种情况：过点作于点，如答图2所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ， ∴． 故答案为：或． 49．（2025·贵州遵义·二模）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 50．（2025·贵州黔东南·三模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ，，． ，，，轴， ，， ，， ， ， ； 故答案为：12． 51．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 六、解答题 52．（2025·贵州遵义·模拟预测）近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑．小刚想测量纪念碑的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是米．若小刚站在水平地面处用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为，径直向后退6米到处，又用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为． (1)请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）； (2)根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)纪念碑的高度大约是30米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）设米，分别解和，求出的值，利用线段的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，补全图形如图所示： （2）据题意，米，米． 设米， 在中，， ． 在中，， 解得，，符合题意． （米） 答：纪念碑的高度大约是30米． 53．（2025·贵州铜仁·三模）如图是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心的座和座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图，小星在小区门口点处测得其中一个塔的顶部的仰角为，然后在自家阳台上的点处测得顶部的仰角为，若小星家的阳台到地面的距离为，点到点的水平距离为，且、、三点共线，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】的高度约为 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 的高度约为． 54．（2025·贵州铜仁·三模）测量主教学楼高度的方案． 任务驱动 测量主教学楼的高度 测量工具 测角仪，皮尺 模型抽象 测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． 数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内 参考数据 ，，， 模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度． 结果要求 精确到0.1米 【答案】（1）6.9米（2）23.7米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解已经和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，然后灵活运用三角函数的定义计算相应的边长．也考查了坡度． （1）延长交于点，如图，先根据坡度的定义和正切的定义得到，则，则可计算出米，米； （2）在中利用正切的定义得到，然后解方程求出即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， 的坡度， ， ， （米）， 米； （2）在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为23.7米． 55．（2025·贵州铜仁·三模）2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在地，奶奶家在地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示． 若已知，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算： （参考数据：，结果精确到个位） (1)大桥建成以后两地直接通行的距离； (2)求大桥建成发后与之前的路线相比，从地到地的路程将缩短约多少公里． 【答案】(1)205公里 (2)51公里 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用； （1）过点作于点，如图所示，则，求解，，，从而可得答案； （2）在中，求解，再利用线段的和差可得答案. 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示，则， ∵， ∴在中， ， ， ∵， ∴在中，， ∴； 答：两地直接通行的距离约为205公里． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 答：大桥建成以后，从地到地的路程将缩短约51公里． 56．（2025·贵州贵阳·模拟预测）项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 【实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 【答案】（1）；（2）电池板离地面的高度的长约为米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用解三角形的方法是解题关键． （1）延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设米，则米， （2）在中，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：（1）延长交于点， 由题意得：米， 设米， ，， 为等腰直角三角形， 米， 米， （2）在中，， 解得， （米）. 电池板离地面的高度的长约为米． 57．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【答案】 【分析】根据直线，直线，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， 解得， 河的宽度． 58．（2025·贵州贵阳·二模）如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． (1)求的长；（结果保留根号） (2)若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 【答案】(1) (2)11.7米 【分析】本题主要考查了解直角三角形和一元一次方程解法等知识点，解决此题的关键是正确的计算． （1）先根据平行算出特殊角度，分别在直角和直角中根据三角函数关系算出边长即可得到答案； （2）设水深为x米，分别在直角和直角中根据三角函数关系用x表示出边长，再根据线段相等列出方程，算出答案即可； 【详解】（1）解：由题意得， ∴，． ∵，， ∴，． ∵米， ∴（米） （米） ∴（米）． （2）解：设水池的水深为x米，则米， 由题意可知，，米， ∴（米），（米）． ∵， ∴， 解得， 即水池的水深约为11.7米． 59．（2025·贵州铜仁·三模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，． (1)求的度数； (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3.2米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)的度数为； (2)该运动员能挂上篮网，理由见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长，交于点，根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，比较即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的度数为； （2）解：该运动员能挂上篮网， 理由如下：延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在中，米， （米）， （米）， 米米， 该运动员能挂上篮网． 60．（2025·贵州黔东南·三模）在一次户外研学活动中，同学们来到梵净山金顶下方的一个休息区，为测量金顶到休息区的垂直高度，小李拿出了随身带的测角仪与同学们一起测量， 测角仪高度为米，当他们把测角仪放在处时，他观测到金顶处的仰角为，然后沿着与休息区成水平直线的方向走了米到达处，再次观测金顶处，仰角为，如图所示．请根据以上数据，计算金顶到休息区的垂直高度（即：的长度）（结果精确到）． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意得，米，米，设米，则米，解得到米，解得到米．则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，米， 设米，则米 在中，，， ∴米， 在中，，，， ∴米． ∵， ∴， 解得：， 答：金顶到休息区的垂直高度约为米． 61．（2025·贵州毕节·三模）为积极响应健康中国行动，落实“体重管理年”三年行动，小王买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知点C到地面的距离为0.8 m，踏板与地面的坡比，支架的长为0.8m，跑步机手柄为，且，点A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求踏板的长； (2)小王身高为1．8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】(1)踏板的长为； (2)． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用． （1）过C作于G，由坡比求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点，则，由题意得到，则，根据三角函数求出，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于点． 踏板与地面的坡比， ， ， ， 即踏板的长为． （2）如图，延长交于点，则． 小王身高为1.8m，通过尝试发现，当是身高的倍时运动起来更加舒服， ． ， ． 即此时点到手柄的距离为． 在中，， ． 由（1）得， ． 62．（2025·贵州黔南·模拟预测）如图，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图是其侧面示意图，，可绕点旋转，是的中点，测得． (1)正常放置时，，求此时点到的距离； (2)如图，绕点逆时针旋转到的位置，此时，求点在竖直方向上升的高度（结果精确）．（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)点在竖直方向上升的高度约为厘米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （）作于点，由题意可得，则有； （）作于点，在中，，，，在中，然后用线段和差即可求解． 【详解】（1）解：作于点， ∴， 由题意可得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴点A到的距离是； （2）解：作于点， ∴， 在中，，， ∵， 又∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 答：点在竖直方向上升的高度约为厘米． 63．（2025·贵州·模拟预测）在自驾出游，需要露营时，可借助汽车或树木搭建如图的天幕，为了加大活动区域，改变搭建方式，改变后的截面示意图如图，将天幕撑开，用绳子拉直天幕一侧后系在车顶处，另一侧拉直后用地钉系在地面上的点处，是垂直于地面的天幕支撑杆，可通过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角度，已知，米，车顶到地面的距离为米，与垂直．将天幕撑开到最大时，天幕的展开角度，拉直所需的绳子的长为米．（结果精确到米，参考数据：，，） (1)求的长； (2)用（1）中所求的长，求拉直所需的绳子的长． 【答案】(1)的长约为米； (2)拉直所需的绳子的长约为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角之间的关系解答． 过点作于点，可知四边形为矩形，利用矩形的性质可知，米，米，根据角平分线的性质可知，在中，根据的正切可以求出，再根据求出结果 即可； 在中，利用的余弦可以求出，在中，利用的正弦可以求出，根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， ，， 四边形为矩形， ，米，米， ，， 平分， ， ， 在中，， （米）， 答：的长约为米； （2）解：由（1）可知，米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， （米）． 答：拉直所需的绳子的长约为米． 64．（2025·贵州贵阳·模拟预测）贵州是一个多桥梁的省份，如图 1 是全球最高的桥——北盘江大桥．现某数学兴趣小组打算利用所学的数学知识测量它的桥长和桥高．数学小组的同学们绘制出了如图 2 的几何图形：为桥面，，为两个桥墩在桥上方的部分，满足且 ． C为桥下方的最低点．同学们在 B点处用测角仪测出了F的仰角为， G的仰角为 ， C的俯角为，从 A点又测得 C的俯角为． (1)桥面 的长为 ；（结果保留整数，参考数据：，， ) (2)请计算 C点到桥面的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，， ) 【答案】(1)米 (2)C到桥面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），解题关键是找准直角三角形，利用三角函数求解． （1）先利用等腰直角三角形的性质求出，再利用正切求出，即可求得； （2）先分别在、求得，，得到关于的方程求解，求出即可． 【详解】（1）解：∵G的仰角为，，，， ∴ ∵在 B点处用测角仪测出了F的仰角为 9．46°，，， ∴（米）， ∴（米）； （2）过点C作于点H，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴C到桥面的距离为米． 65．（2025·贵州贵阳·三模）梯青塔位于清镇市湿地公园内，是贵阳市级文物保护单位．由云南巡抚张日晸于清道光二十九年（1849年）捐建，七级石塔，为避水毁易阁为塔（如图①）．小星和小红准备用所学的知识求梯青塔的高度．如图②，他俩在与塔处在同一水平线上的建筑物内，小红在二楼点处，测得塔顶的仰角为，小星在建筑物四楼的点处，测得塔底处的俯角为，已知点到地面的距离，点到地面的距离． (1)求建筑物与梯青塔的水平距离的长； (2)求梯青塔的高度． （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意是解题的关键． （1）由题意得，在中利用正切的定义即可求解； （2）作于点，通过证明四边形是矩形，得到，，在中利用正切的定义求出的长，再利用线段的和差即可求出的高度． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ． 答：建筑物与梯青塔的水平距离的长为． （2）解：如图，作于点，则， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得，， 在中，， ， ． 答：梯青塔的高度为． 66．（2025·贵州安顺·三模）花江峡谷大桥合龙贯通﹐成为世界第一高桥．某数学兴趣小组利用无人机测量花江峡谷大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方691米的点N处时，测得桥面正中心A的俯角，将无人机水平向左移动154米到达点M处，测得桥面正中心A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息，求花江峡谷大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，） 【答案】花江峡谷大桥桥面距水面的高度AB约为625米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点C，则，设米，则米，分别解和，用含x的式子表示出，进而建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点C，则． 设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米， 米． 答：花江峡谷大桥桥面距水面的高度约为625米． 67．（2025·贵州铜仁·三模）这个周末，小敏来到了贵阳市观山湖区的裂变广场，这里有全球最高的人工瀑布，已成为贵阳市的标志性建筑（如图1）．站在高楼下，能够感受到“飞流直下三千尺”的壮阔，阳光照射时，还可以看见美丽的彩虹，极具观赏性．如图2，小敏来到瀑布的顶端A处，测得对面高楼楼顶仰角，楼底俯角，已知对面高楼楼高米（参考数据：，，，，，） (1)站在对面高楼楼底，此时看瀑布顶端的仰角度数为______； (2)求瀑布的高度．（精确到米） 【答案】(1) (2)109米． 【分析】本题主要考查了仰角俯角的概念、直角三角形中三角函数（正切函数）的应用．解题的关键在于理解仰角俯角的关系，准确利用三角函数定义建立边与角的关系，通过已知条件列出方程求解未知边的长度． （1）已知在瀑布顶端处测楼底的俯角 ．根据俯角和仰角的关系，在对面高楼楼底看瀑布顶端的仰角与在瀑布顶端看楼底的俯角是内错角，两直线平行，内错角相等，所以该仰角度数为． （2）由题意可知和是直角三角形．已知， ，高楼楼米．利用三角函数正切的定义，在中可得，在中可得 ．又因为，由此可列出关于的方程，求出的值，再根据求出瀑布的高度． 【详解】（1）解：∵在瀑布顶端看楼底的俯角与在楼底看瀑布顶端的仰角是内错角，根据两直线平行，内错角相等的性质，已知俯角， ∴站在对面高楼楼底，看瀑布顶端的仰角度数为． （2）解：由题意可知：和都是直角三角形， 在中，，， ． 同理可得：． 由题意，得．即，解得． ． 答：瀑布的高度约为109米． 68．（2025·贵州铜仁·三模）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过点P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上．（参考数据：） (1)写出图1中与相等的线段：______； (2)如图1，当时，求所在圆的半径； (3)若将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2，求点M经过的路径的长． 【答案】(1) (2)． (3)． 【分析】（1）根据线段中点的定义解答即可； （2）设所在圆的圆心为点O，连接、根据垂径定理，勾股定理解答即可； （3）根据切线的性质，三角函数的应用，弧长公式解答即可． 【详解】（1）解：∵点P是的中点， ∴， 故答案为：． （2）解：设所在圆的圆心为点O，连接、，如答图1所示． ∵点P是的中点， ，． ， ∴O、P、Q三点共线． 设所在圆的半径为r． ． 在中， ， ． 解得． ∴所在圆的半径为13cm． （3）解：点即为此时所在圆的圆心的位置，如答图2所示． 根据所在的圆与相切， 故， ， ． 又， ∴点M经过的路径的长为． 答：点M经过的路径的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，弧长公式，正弦函数的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 69．（2025·贵州遵义·二模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）延长交于，证，由含角的直角三角形的性质得，，即可得出答案； （2）过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长交于， 垂直于地面，上臂与水平面平行， ， ，， ， ，， ， 即点到地面的距离为； （2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 点到所在直线的距离为． 70．（2025·贵州·二模）随着社会的发展，越来越多的公司意识到团队合作的重要性．某公司计划组织一次拉练活动，如图，点为出发点，行进的路线为，其中点，是途中设置的两个休息站，点在点的南偏西方向，，点在点的北偏西方向，． (1)求的度数； (2)求休息站和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角函数的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）如图，过点作于点，求出，然后在中，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， 又， ； （2）解：如图，过点作于点． ，， ． 在中，， ． 答：休息站和之间的距离是． 试卷第66页，共67页 试卷第67页，共67页 学科网（北京）股份有限公司 $$