专题13 综合与实践（几何压轴题综合，35题）（贵州专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题13 综合与实践（几何压轴题综合，35题） 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 2．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． (1)【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； (3)【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 3．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 4．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决： 如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______； (2)问题探究： 如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸： 当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值． 5．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为． （1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 6．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 7．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． (1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． (2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 8．（2021·贵州遵义·中考真题）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 9．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 10．（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． (1)【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； (2)【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 11．（2025·贵州黔东南·二模）【实践操作】 （1）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题：将一张矩形纸片沿对角线翻折，如图①，在同一平面内得到，交于点F，通过测量得到，，求的长； 【理解运用】 （2）小明在老师给予的题目启发下，进行了如下操作：如图②，在矩形的边上取一点M，使，在边上取一点N，将四边形沿翻折，在同一平面内得到四边形．测量得到，，请你帮他解决问题：当点G在射线上时，求的长度； 【拓展迁移】 （3）小红将图①中的矩形变为，的平行四边形，然后沿对角线翻折，如图③，在同一平面内得到，交于点Q，当为直角三角形时，求的长． 12．（2025·贵州黔东南·二模）【问题情境】 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 【操作判断】 （1）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．则线段与的数量关系是：__________． 【深入思考】 将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，． （2）如图，当时，垂足为，与交于点，与交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点，当点在线段上时，试求线段的长． 13．（2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 14．（2025·贵州贵阳·三模）小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究． (1)【提出问题】 已知，如图①，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，点的对应点是点，连接，．求的长； (2)【类比探究】 如图②，在中，，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应的是点，连接，．求的长； (3)【变式延伸】 在中，，，，点是边上任意一点，连接，以为直角边，在的右侧作，使得，，连接．当时，求的长．（请在备用图中画出图形并完善解答过程） 15．（2025·贵州遵义·二模）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 (1)如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 (2)如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 (3)如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 16．（2025·贵州贵阳·一模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形中，，E是边上一点，连接，将沿翻折，得到，点C关于的对称点F恰好落在边上，P是边上一动点(点P不与点D重合)，连接，作关于的对称线段，射线交射线于点G，连接． (1)问题解决： 如图①，当点落在边上时，的度数是________； (2)问题探究： 如图②，当点不在边上时，求的值； (3)拓展延伸： 当时，请求出的面积． 17．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在正方形中，为射线上一动点，为射线上一动点，连接，过点作交直线于点． (1)【操作判断】如图①，连接交于点，当点与点重合，点在线段上时，根据题意在图①中画出，并探究，，三条线段之间的数量关系； (2)【问题探究】如图②，当点在的延长线上，且，点，分别在的延长线和的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当点在线段上时，为的中点，若正方形的边长为6，连接，，，，求的长． 18．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)【操作判断】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系． 小军的思路：过点作交的延长线于点，易证，从而，，可得，即可求解． 根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题探究】如图②，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，，，点，分别在射线，上，连接，，已知，，求线段的长． 19．（2025·贵州黔南·二模）在矩形中，是射线上的一点，过点作分别交直线，于点，，且． 备用图 (1)【问题解决】 如图①，若点在线段上，求证：四边形是正方形； 图① (2)【深入探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； (3)【拓展迁移】 过点作交直线于点，直线，相交于点，根据题意画出图形，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 20．（2025·贵州·一模）劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼． (1)【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________； A．三角形的稳定性    B．等腰三角形是轴对称图形    C．三角形内角和等于 (2)【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否在四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得，，，是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 21．（2025·贵州六盘水·一模）【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． (1)【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； (2)【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 22．（2025·贵州安顺·一模）综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 23．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 24．（2025·贵州遵义·一模）【探索研究】在中，D为延长线上一点，，P为上一点，连接交于点E． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若P为中点，为等边三角形，求与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，若，求与间的数量关系，并说明理由． 25．（2025·贵州·模拟预测）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，为边上一点，将绕点顺时针旋转后得，若恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，为的中点，将绕点顺时针旋转后得，连接，．若，求点到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，为对角线上任意一点，点在边上，，与交于点．若，，当为等腰三角形时，直接写出的长． 26．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 27．（2025·贵州安顺·三模）综合与实践 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的点D处，折线交于点E，则． （理由：______）， ． 这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法． 【类比探究】 类似地，应用上述方法探究： （1）如图2，在中，，判断：______（填“>”“=”或“<”），请证明你的判断． 【拓展运用】 （2）如图3，在中，D为上的一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 28．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 29．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 30．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． (1)【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； (2)【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； (3)【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 31．（2025·贵州·模拟预测）综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 32．（2025·贵州铜仁·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 33．（2025·贵州贵阳·二模）在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，． (1)【操作发现】 如图（1），当时，过点A作，交于点M． ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形； ②的数量关系为________； (2)【类比探究】 如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当时，过点A作于点N，若，，求的长． 34．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在四边形中，，且，以B为端点，作射线，在射线上截切，并分别连接，其中分别交于点F和点G． (1)【动手操作】根据题意请在图（1）中补全图形； (2)【问题探究】求证：； (3)【拓展延伸】若，求的长，并说明理由． 35．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点，． (1)【问题解决】当平分时，则 ； (2)【问题探究】当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长长． 试卷第108页，共109页 试卷第109页，共109页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 综合与实践（几何压轴题综合，35题） 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． (1)【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； (3)【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)画图见解析，90 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； （2）证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 3．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析；135 (2)；理由见解析 (3)或；理由见解析 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． （2）解：；理由如下： 连接，如图所示：    根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：    根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：    根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 4．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决： 如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______； (2)问题探究： 如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸： 当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为； （3）连接，设,然后结合勾股定理分析求解． 【详解】（1） ， 是等边三角形， 四边形是平行四边形， ， ， 为边上的高， ， （2） ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形，为底边上的高，则 点在边上， 当时，取得最小值，最小值为； （3）如图，连接， ，则， 设， 则，， 折叠， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 延长交于点，如图， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 同理，当点F落在下方时， ． 综上，m的值为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 5．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为． （1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3） 【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵， ∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC， ∴△OEF≌△OCD（AAS）， ∴OD=OF， ∵， ∴△OEF∽△OAM， ∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点， ∴HN是△ABM的中位线， ∴， ∴△OGF∽△OHN， ∴， ∵OG=2GH， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45° (3)①见解析；②不发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵， ， 点与点关于对称， ， ， 四点共圆； ②，理由如下， 如图， 四点共圆， ， 关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 7．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． (1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． (2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】(1)钝角三角形；证明见详解 (2)①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD= 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， 在△EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形． （2）证明：①以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB， ∵EG为正方形的对角线， ∴∠BEA=∠BGE=45°， ∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°， ∴∠EBA=∠GBC， 在△EBA和△GBC中， ， ∴△EBA≌△GBC（SAS）， ∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°， ∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°， ∴△AGC为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②连结BD， ∵△AGC为直角三角形，， 由（2）可知，AE=CG， ∴AC=， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD=， ∴S四边形ABCD=． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键． 8．（2021·贵州遵义·中考真题）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【答案】（1），；（2）；（3）OC的最小值为或，△ABC的周长为 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 【点睛】此题主要考查了旋转、圆、三角形、正方形等有关性质，充分理解题意并熟练掌握有关性质是解题的关键． 9．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）证明即可． （2）证明即可． （3）构造矩形，延长交于点，利用勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴ ∴ ∵于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． （3）解：构造矩形，延长交于点，如图所示， 由（2）中结论可得， ∵， ∴设， ∵点为的中点， ∴ 在中，根据勾股定理，得 ∵ ∴， 则， 解得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 解得 ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 10．（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． (1)【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； (2)【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 【答案】(1)90， (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）证明，，，结合三角形的外角的性质可得，可得，即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，可得，，，证明，可得，，再进一步求解即可； （3）如图，延长至，使，连接，证明，结合在以圆心，为半径的圆上，可得当共线时，最小，最小值为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论成立. （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵在以圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，最小，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴的最小值为， ∴的最小值为. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，中位线，圆外一点与圆上各点距离的最值，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 11．（2025·贵州黔东南·二模）【实践操作】 （1）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题：将一张矩形纸片沿对角线翻折，如图①，在同一平面内得到，交于点F，通过测量得到，，求的长； 【理解运用】 （2）小明在老师给予的题目启发下，进行了如下操作：如图②，在矩形的边上取一点M，使，在边上取一点N，将四边形沿翻折，在同一平面内得到四边形．测量得到，，请你帮他解决问题：当点G在射线上时，求的长度； 【拓展迁移】 （3）小红将图①中的矩形变为，的平行四边形，然后沿对角线翻折，如图③，在同一平面内得到，交于点Q，当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或 【分析】（1）由平行四边形的性质及折叠的性质得 ，由等腰三角形是性质得，由勾股定理得， ，即可求解； （2）延长交于，过作交于，由矩形的性质，结合折叠的性质得，由余弦函数得，可得，由正弦函数得 ，即可求解； （3）当时，（ⅰ）在上方时，延长交于，由平行四边形的性质及折叠的性质得，，由余弦函数得，即可求解；（ⅱ）在下方时，过作交于，由平行四边形的性质及折叠的性质得，由余弦函数得，即可求解；②当时，由平行四边形的性质、折叠的性质及矩形的判定、矩形的判定及性质得，由余弦函数得，即可求解；③当时，同理可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得：，，， ， ， ， 在中， ， 在中， ； （2）延长交于，过作交于， 四边形是矩形，，， ， 由折叠得：，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 解得：； （3）当时， （ⅰ）如图，在上方时， 延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，在下方时， 过作交于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时， 由翻折得：，，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ③当时， 由翻折得：，，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 综上所述：的长为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，特殊角是三角函数等；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，特殊角是三角函数进行求解，同时能根据直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键． 12．（2025·贵州黔东南·二模）【问题情境】 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 【操作判断】 （1）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．则线段与的数量关系是：__________． 【深入思考】 将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，． （2）如图，当时，垂足为，与交于点，与交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点，当点在线段上时，试求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线性质及平移性质，判断线段与数量关系．先由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，再根据平移性质确定，从而得出与关系． （2）先通过勾股定理算，结合直角三角形斜边中线性质得、、长度，利用三角函数定义求、 ．依据旋转和平移性质找角、边关系，结合垂直条件推出角度，再用三角函数求、，最后算． （3）分点与点重合和不重合两种情况．重合时，作辅助线，利用角相等得，结合三角函数列方程求；不重合时，作辅助线，依据旋转、平移性质推角相等，得，用三角函数求，进而算． 【详解】解：（1）在中，，是斜边的中线， ∴． 由平移的性质可知，， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即旋转角为， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，； （3）当点与点重合时，如图：过点作于点，由旋转和平移得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点不与点重合时，如图：过点作于点， ∵由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， 由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质（斜边中线定理、勾股定理）、平移的性质、旋转的性质以及三角函数的应用，熟练掌握这些性质和定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 13．（2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，利用同角的余角相等可得，同理（1）证明，可得，进而得到，易证，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 14．（2025·贵州贵阳·三模）小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究． (1)【提出问题】 已知，如图①，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，点的对应点是点，连接，．求的长； (2)【类比探究】 如图②，在中，，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应的是点，连接，．求的长； (3)【变式延伸】 在中，，，，点是边上任意一点，连接，以为直角边，在的右侧作，使得，，连接．当时，求的长．（请在备用图中画出图形并完善解答过程） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）证明即可求解； （）过点作的延长线于点，证明可得，，进而得到，再利用勾股定理计算即可求解； （）过点作于点，点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的延长线于点，则， ∵， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，则， 当点在点的左侧时，如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 点在点的左侧时，如图， 同理可得，， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 15．（2025·贵州遵义·二模）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 (1)如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 (2)如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 (3)如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或1或4 【分析】（1）利用矩形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，，再在利用勾股定理即可求解； （2）作于点，作于点，由旋转的性质得，，，根据等角对等边得出，则有，，通过证明得到，设，在和中分别利用勾股定理，得到关于的方程，解出的值，求出的长，再在中利用正弦的定义即可求解； （3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，画出对应的示意图，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：矩形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ，， ． 故答案为：． （2）解：如图，作于点，作于点， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ， 在中，， ． （3）解：①若，连接，如图， 由旋转的性质得，， 点，分别为，中点， ，， ，， ， 三点共线， ， 又， ， ， ； ②若且在的下方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； ③若且在的上方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； 综上所述，的长为或1或4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、求角的正弦值、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理，结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 16．（2025·贵州贵阳·一模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形中，，E是边上一点，连接，将沿翻折，得到，点C关于的对称点F恰好落在边上，P是边上一动点(点P不与点D重合)，连接，作关于的对称线段，射线交射线于点G，连接． (1)问题解决： 如图①，当点落在边上时，的度数是________； (2)问题探究： 如图②，当点不在边上时，求的值； (3)拓展延伸： 当时，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由矩形性质和轴对称性质证明四边形是正方形，∴，得．得，，得．根据，得，即得； （2）过点E作于点H．设，则．得．得，得，得，得，得，： （3）当点G在的延长线上时，过点G作于点I，根据，得，．∵，得．得，∴．得，得；当点G在线段上时，过点G作于点H．设与相交于点I．．．证明，得，得，得．根据，得，得，即得． 【详解】（1）解： ∵四边形为矩形， ∴． 由对称的性质可知，， ∴四边形是矩形． ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 由对称的性质可知，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如解图①，过点E作于点H． 由对称的性质可知，， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）知，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论：①如解图②，当点G在的延长线上时，过点G作于点I， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 由（2）知， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②如解图③，当点G在线段上时，过点G作于点H， ， 设与相交于点I． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 由（2）中相似三角形知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了矩形翻折．熟练掌握矩形判定和性质，翻折性质，正方形判定和性质，等边三角形判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 17．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在正方形中，为射线上一动点，为射线上一动点，连接，过点作交直线于点． (1)【操作判断】如图①，连接交于点，当点与点重合，点在线段上时，根据题意在图①中画出，并探究，，三条线段之间的数量关系； (2)【问题探究】如图②，当点在的延长线上，且，点，分别在的延长线和的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当点在线段上时，为的中点，若正方形的边长为6，连接，，，，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)2或6 【分析】本题考查的是四边形中的动点问题，解决此题需要利用全等三角形的判定和性质及勾股定理来求解． （1）根据题意补图，证明，得，由勾股定理可知； （2）用同样的方法来证明，先过点作，交的延长线于点，构造，得，再根据勾股定理得证； （3）根据题意可分两种情况来求解，连接，则过点，①当点在线段上，时，过点作交于点，得是等腰直角三角形，可求，再由；②当点在的延长线上时，同理可得的值． 【详解】（1）解：补图如解图， 在正方形中， 和分别为正方形的两条对角线， ，，， ， ， ， ， ， ， 在等腰中， ，即， 又， ； （2）解：． 理由：如解图，过点作交的延长线于点，则， ， 在正方形中， 为对角线， 则， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ， 在等腰中， ，即， 又， ，， ；    （3）解：分两种情况讨论： ①如解图③，连接，则过点，当点在线段上，时， 过点作交于点， 正方形的边长为6，，， ， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由（2）可得，， ； ②如解图④，连接，则过点，当点在的延长线上，时， 过点作交于点， 正方形的边长为6，，， ， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由（2）可得，， ． 综上所述，的长为2或6． 18．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)【操作判断】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系． 小军的思路：过点作交的延长线于点，易证，从而，，可得，即可求解． 根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题探究】如图②，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，，，点，分别在射线，上，连接，，已知，，求线段的长． 【答案】(1)补全图形见解析，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长为8或32 【分析】（1）按要求补图即可，根据证明，得出，再根据证明，得出，然后根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，然后类似（1）证明即可； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，根据相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图①； ，理由如下： 如图①，，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图②，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分情况讨论：①当点在线段上时，，则点在线段上，如图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 如图③，过点作交的延长线于点， 同理可证， ，， ， ，， ，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即的长为8； ②当点在的延长线上时，，则点在的延长线上，如图④，延长至点，使，过点作的平行线，交于点，延长交的延长线于点，连接，则四边形是正方形， 同①可得， ， 设，则， 过点作交于点，同理可证， ，， 同理可证， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即的长为32． 综上所述，线段的长为8或32． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 19．（2025·贵州黔南·二模）在矩形中，是射线上的一点，过点作分别交直线，于点，，且． 备用图 (1)【问题解决】 如图①，若点在线段上，求证：四边形是正方形； 图① (2)【深入探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； (3)【拓展迁移】 过点作交直线于点，直线，相交于点，根据题意画出图形，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或；见解析 【分析】（1）根据题意证明出，得到，即可证明； （2）证明出，得到，求出，勾股定理求出，同理得到； （3）根据题意分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，然后分别根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图①， 　　　　　图① 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：同（1）可得，， ， ， ， ． 在中，． 同理，． ； （3）解：第一种情况：如图，当点在线段上时， ， ， ． ， ． 由（1）知，此时四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 第二种情况：如图，当点在的延长线上时， ， ， ． ， ． 由（1）同理可得四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20．（2025·贵州·一模）劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼． (1)【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________； A．三角形的稳定性    B．等腰三角形是轴对称图形    C．三角形内角和等于 (2)【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否在四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)依据见解析，推理过程见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的性质解答即可； （2）作线段的垂直平分线交于点M，连接即可； （3）根据题意可知等腰三角形的饼翻身后能与本身重合，如图③，作，平分，平分，由直角三角形的斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形，得，，，是等腰三角形，翻身后与本身重合，如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，由垂直平分线的性质得，得是等腰三角形，翻身后与本身重合；如图④，假设点P存在，利用等腰三角形的性质结合四边形内角和即可证明结论． 【详解】（1）解：如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故答案为：B； （2）解：由操作发现：饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台，则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形． 作出斜边上的垂直平分线交与点，连接， 则， ∴都是等腰三角形，都是轴对称图形， 如图②所示为所求： （3）解：如图③所示，作于D，平分，平分，分别交和于点E，F， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得，，，是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接， 则， 得是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 如图④，假设点P存在， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与题干矛盾， ∴不能在四边形内部取一点，使切法满足． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的作法及性质等，理解题意，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 21．（2025·贵州六盘水·一模）【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． (1)【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； (2)【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，分类讨论等，掌握性质和判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）的数量关系不成立，位置关系成立，证明即可； （3）分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：的数量关系不成立，位置关系成立． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵在中，， ∴， ①当时，如图， ∵, ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 22．（2025·贵州安顺·一模）综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 【答案】（）平行四边形；（），证明见解析；（） 【分析】（）由旋转可得，，进而可得，，即可求解； （）证明四边形是矩形即可求证； （）分点在点右侧和左侧两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（）解：如图， 由旋转得，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在点右侧时，如图， 由（）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上，的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的 性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的 判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要利用旋转和全等三角形的性质来解决线段之间的数量关系，通过旋转将分散的角和线段转换为可以利用全等三角形性质的图形，从而找到线段之间的关系． （1）根据旋转的性质，绕点D逆时针旋转得到，因此．由于，旋转后也等于，根据全等条件，，从而得出． （2）在上取一点G，使得，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，设，根据勾股定理再中解方程得出 （3）在上截图，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，根据线段关系得出的周长为． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）如图 在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上截取， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的周长． 24．（2025·贵州遵义·一模）【探索研究】在中，D为延长线上一点，，P为上一点，连接交于点E． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若P为中点，为等边三角形，求与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，若，求与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． （1）先证明，根据相似三角形的性质即可解答； （2）如图：作于F，由等边三角形的性质可得、；设，则，，，进而得到，由勾股定理可得、即可解答； （3）如图：取的中点H，连接，先说明是的中位线，则，再证明可得、，进而证明，然后代入相关结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：6 （2）解：，理由见解析： 如图：过点P作于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：取的中点H，连接 ∵ ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（2025·贵州·模拟预测）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，为边上一点，将绕点顺时针旋转后得，若恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，为的中点，将绕点顺时针旋转后得，连接，．若，求点到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，为对角线上任意一点，点在边上，，与交于点．若，，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】（1）由旋转可知，，，根据矩形的性质可得，推出，即可证明； （2）过点作，交的延长线于点，于点，证明，得到，根据是的中点，可得，证明四边形为矩形，根据矩形的性质即可求解； （3）根据菱形的性质可得：，，，得到，分三种情况讨论：若，若，若，根据题意，结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：由旋转可知，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交的延长线于点，于点， 由旋转可知，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ； ， 又 是的中点， ， ， 四边形为矩形， ， 即点到的距离为； （3）四边形是菱形， ，，， ， ①若，则点与点重合，点与点重合，此时； ②若，，且， ， ， ，， ， ； ③若，则在的垂直平分线与的交点位置， 易得， ，， ， ， ，即， ； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 26．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 【答案】（1）；（2），，见解析；（3）当时，，当时， 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作点C关于直线的对称点为点E，再连接对应线段即可作图，证明是等边三角形，得到 ； （2）在点B上截取点G，使得，连接，证明，得到， ，再证明，得到，根据对称得到，最后根据，得到； （3）先证明，进而可得，再利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）以为圆心，长为半径画圆，交与点，以为圆心，长为半径画圆，与上一个圆交点即为点，连接，直线与直线交于点F，连接，．如图所示： ∵，，，， ∴， ∵作点C关于直线的对称点为点E，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， 故答案为：； （2），证明如下： 证明：在上截取点G，使得，连接， 由对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）连接交于， 由对称的性质可知，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 当时，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 27．（2025·贵州安顺·三模）综合与实践 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的点D处，折线交于点E，则． （理由：______）， ． 这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法． 【类比探究】 类似地，应用上述方法探究： （1）如图2，在中，，判断：______（填“>”“=”或“<”），请证明你的判断． 【拓展运用】 （2）如图3，在中，D为上的一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】回归教材：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．（1）．证明见解析；（2）．理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 【详解】解：【回归教材】理由：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． （1）． 证明：如图，在内作，交AB于点D， ， ． ， ． （2）． 理由：，， ， ． 设与相似比为k， ，，， ． ， ，， ，， ，，即， ， ， 即． 28．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③，在矩形中，，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】解：（1）如图①，是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 在中，， ， ， 由折叠得，； （2）如图②，由（1）得， 在矩形中，， ， 在中，， 是的垂直平分线，， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ； （3）如图③，在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，，解得， ； 如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，，解得， ； 综上得，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 29．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 【答案】（1）（或）；相等；（2）为正方形，理由见解析；（3）的值为或 【分析】本题考查了矩形与折叠，长方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识，根据各项性质找到线段相等和角度相等关系，并通过相似三角形构建线段等量关系是解题的关键． （1）根据折叠的性质和矩形的性质可得，根据矩形的对边平行可得；证明，可得； （2）先证明四边形是矩形，再证明即可得出结论； （3）设，则，分点在线段上时和点M在线段上两种情况根据折叠的性质和勾股定理分别求出，的长即可． 【详解】解：（1）由折叠得，，， 或者：∵四边形是矩形， ∴，， ∴；， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（或）；相等； （2）为正方形．理由如下： 当点与点M重合时，点P与点N重合． ∵，， ∴， 得：， 又为矩形， 故为正方形． （3）设，则， 情况一：当点在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 情况二：当点M在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 综上：的值为或． 30．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． (1)【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； (2)【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； (3)【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 【答案】(1) (2)作图见解析，； (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； 延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； （2）解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 31．（2025·贵州·模拟预测）综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论：当点E在线段上时，连接，过点A作于点H，由（2）可知是等边三角形，利用勾股定理求得、和，由（2）可知，即可知；当点E在的延长线上时，连接，过点A作于点H，同（3）①可得， 和，，由（2）可知，则． 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论： ①当点E在线段上时，如图，连接，过点A作于点H， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴； ②当点E在的延长线上时，如图，连接，过点A作于点H， 同（3）①可得， ， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质和勾股定理．解题的关键是熟悉菱形的性质和分类讨论思想的应用． 32．（2025·贵州铜仁·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）设交于T，证明，得到，再导角证明即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）过点B作于M，证明，得到，导角证明，则可证明，推出，则可证明，由勾股定理得． 【详解】（1）解：设交于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：，理由如下； 如图所示，过点B作于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形得性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 33．（2025·贵州贵阳·二模）在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，． (1)【操作发现】 如图（1），当时，过点A作，交于点M． ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形； ②的数量关系为________； (2)【类比探究】 如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当时，过点A作于点N，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查几何图形的性质和数量关系，包括三角形全等、等腰三角形的性质以及直角三角形的勾股定理．通过作图、证明和计算，探究线段之间的数量关系． （1）依题意按要求作图，利用三角形全等的性质证明与的数量关系． （2）通过作辅助线和证明三角形全等，探究线段、、之间的数量关系． （3）利用直角三角形的勾股定理和等腰三角形的性质，求的长．在射线上截取，使，连接，分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：作图如图． ，， ． ． ， ． ，， ． ． ． （2）解：． 理由：在上截取，连接，如图， ∵，，， ∴． ∴，． ∴是等腰三角形． ，， ∴． ． 过点A作于点P， 易得， ∴． ∴． （3）解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图， 由（2）得，为等腰三角形，， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴． 当点D在的延长线上时，如图， 同理可得为等腰三角形，， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 34．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在四边形中，，且，以B为端点，作射线，在射线上截切，并分别连接，其中分别交于点F和点G． (1)【动手操作】根据题意请在图（1）中补全图形； (2)【问题探究】求证：； (3)【拓展延伸】若，求的长，并说明理由． 【答案】(1)补全图形见解答过程 (2)证明见解答过程 (3) 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）依题意得，再根据得，在中由三角形内角和定理即可得出结论； （3）过点作于点，交于点，连接，过点作于点于点于点，先求出，证明和全等，设，则，由此得，证明和全等得，进而得是的角平分线，则，再由三角形的面积公式得，继而得，则，据此得，证明是等腰直角三角形得，则，同理得，则，由此得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图（1）所示： （2）证明：在中，， ， 在中，， 在中，， ， ． （3）解：过点作于点，交于点，连接，过点作于点于点于点，如图2所示： 在中，， ， 由勾股定理得：， 在中，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ， 是的角平分线， ， ， 由三角形的面积公式得：， ， 又， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴是线段的垂直平分线， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，是的平分线， 同理由角平分线性质及三角形面积公式得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 35．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点，． (1)【问题解决】当平分时，则 ； (2)【问题探究】当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长长． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的性质可求解； （2）由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图 ①，过点作，交于点， 是直角三角形，，， ， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：情况①：当点在射线上时，如图②． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况 ②：当点在射线上时，如图 ③． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 试卷第108页，共109页 试卷第109页，共109页 学科网（北京）股份有限公司 $$