2.2基本不等式（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

2.2 基本不等式 第二章 一元二次函数、方程和不等式 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 1. 两实数大小关系的基本事实： 作差法 A B b x （B） A （b） x B A b x 2. 重要不等式： 一般地，，有 当且仅当时，等号成立. 章节导读 2.1 等式性质与不等式性质 2.2 基本不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 比较大小与重要不等式 不等式的性质 三个二次的关系 分式不等式 恒成立问题 基本不等式 基本不等式的应用 学 习 目 标 1 2 3 掌握基本不等式及其推导过程，适用条件和步骤. 理解基本不等式的几何意义，记住常用变形公式. 能应用基本不等式解决两类常见最值问题. 读教材 阅读课本P44-P46，5分钟后完成下列问题： 1. 基本不等式的公式和适用条件是什么？ 我们一起来探究“基本不等式 ”吧！ 2. 基本不等式解决了什么样的范围问题？ 新课引入 思考：你能说说下列几何图形是怎么“化矩为方”的呢？ 4 9 3 9 8 几何平均数 学习过程 01 03 02 目录 1 基本不等式 3 题型训练 2 基本不等式的最值问题 新知探究1 探究1：观察下列两种图形变化并比较变化后的大小？ b a 周长不变 面积不变 与 哪个更大？ 新知探究1 探究1：试试证明 ？ 重要不等式 基本不等式 思考：请问重要不等式和基本不等式有什么区别和联系？ 区别：重要不等式对所有实数成立，基本不等式只对正实数成立。 联系：取等条件都是a=b。 一般地，，有: 当且仅当时，等号成立. 用和分别替换式子中的和； 基本不等式： 新知探究1 证明 ？ 方法一 （作差法） 新知1 1. 基本不等式： 基本不等式 推广： 如果a>0，b>0，则 ，当且仅当　 　 时，等号成立. a＝b 说明：其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 文字表述：两个正数的算术平均数大于或等于几何平均数 变形1 变形2 典例分析 ② 典例分析 例2 下列不等式中正确的是( ) 若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； 由基本不等式可知D项正确. D 典例分析 例3 已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为____，此时x＝____. 方法总结 常用不等式辨析： 2.如果a>0，b>0，则 ，当且仅当　 　 时，等号成立. a＝b 一 正 a>0，b>0 二 定 和（a+b）或积（ab）为定值 三相等 当且仅当　 　 时，等号成立. a＝b 1.重要不等式： (a、b∈R) ，当且仅当　 　 时，等号成立. a＝b 学习过程 01 03 02 目录 1 基本不等式 3 题型训练 2 基本不等式的最值问题 新知探究2 探究2：如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a， BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD： A B C D E a b O 1.何用a, b表示圆的半径OD? 2.如何用a, b表示圆的弦CD? 3.OD与CD的大小关系如何? CD=______ OD=______ OD ≥ CD 4.什么情况下OD与CD相等？ 几何意义：半径不小于半弦长 a = b 新知探究2 证明：当x，y是正数，如果两项积xy等于定值P，那么当x＝y时， 两项和x＋y有最小值 ； 总结：积定和最小 新知探究2 证明：当x，y是正数，如果两项和x＋y等于定值S，那么当x＝y时， 两项积xy有最大值 。 总结：和定积最大 新知2 基本不等式的最值问题 2. 基本不等式的最值问题： 1. 当x，y是正数，如果xy等于定值P，那么 当x＝y时，和x＋y有最小值 ； 2.当x，y是正数，如果x＋y等于定值S，那么 当x＝y时，积xy有最大值 。 积定和最小 和定积最大 使用公式：一正(x，y是正数) 二定(两项和或两项积为定值) 三相等(当x＝y时不等式取到等号) 典例分析 例1 设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（ ） A.80 B.77 C.81 D.82 解：因为x>0，y>0， C 当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81. 典例分析 例2 若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是( ) A.4 　　 B. 　　　 　 C.9 　　 D.18 解：因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2　　＝18， 当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18. D 典例分析 解：因为x>1，故有x－1>0， 当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立， 因此所求的最小值为5. 典例分析 解：由题意知1－2x>0， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝ 时，等号成立. 所以y的最大值为 . 方法总结 基本不等式是最值问题： 探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换， 以配凑和为定值，或者积为定值，进而确保可以使用基本不等式。 学习过程 01 03 02 目录 1 基本不等式 3 题型训练 2 基本不等式的最值问题 基本不等式的理解 题型1 题型探究 x>2y 解：不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，即x>2y. 例2 (多选)下列条件可使 ≥2成立的有（ ） A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 ACD 基本不等式的理解 题型1 题型探究 基本不等式的应用 题型2 题型探究 例4 下列各式中最小值为2的是( ) B 基本不等式的应用 题型2 题型探究 解：因为x>3，所以x－3>0， 基本不等式的应用 题型2 题型探究 例6 已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，求xy 的最大值？ 解：因为x>0，y>0,2x＋3y＝6， 课堂小结 基本不等式的公式 变形1 变形2 公式 和为定值，积最大 积为定值，和最小 使用公式:正定等 感谢聆听! a+b≥2eq \r(ab) ab≤(eq \f(a＋b,2))2 例1下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x＞1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2. ②若x＜0，则x＋eq \f(4,x)＝－≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2. 解：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝eq \f(1,x)时，即x＝1， x＋eq \f(1,x)≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋eq \f(1,x)＞2， ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 解：若a<0，则a＋≥4不成立，故A错； 若a＝4，b＝16，则<，故C错； 解：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立， 即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 2 S2 S2 2 所以≤， 即xy≤2＝81， 4 例3 当x>1时，求x＋的最小值？ 所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5， 例4 已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值？ 则y＝x(1－2x)＝⋅2x⋅(1－2x)≤2＝， 公式：a>0，b>0时，有①≤；②ab≤)2；③a＋b≥2. 例1 不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件______. ＋ 解：根据基本不等式的条件，>0，>0,即a，b同号. 例3 已知a，b都是正数，求证：≤≤≤. 证明　∵＋≥2， ∴≤，即≤. 又∵()2＝≤＝， 又由基本不等式得≥， 综上所述，≤≤≤ ∴≤. A.y＝t＋(t>1) B.y＝＋ C.y＝t＋(t>1) D.y＝t＋＋1(t>0) 解：A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立； B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立； C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3； D中，y＝t＋＋1≥3. 例5 已知x>3，求＋x的最小值？ 所以＋x＝＋(x－3)＋3 ≥2＋3＝7 当且仅当＝x－3，即x＝5时，等号成立. 所以＋x的最小值为7. 所以xy＝(2x·3y)≤×()2 ＝×()2＝. 当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取得最大值为. a+b≥2eq \r(ab) ab≤(eq \f(a＋b,2))2 $$