专题13 综合与实践（几何综合压轴题）（24题）（广西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题13 综合与实践（几何综合压轴题）（24题） 一、真题 1．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 2．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于 ，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 3．（2023·广西·中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．    请完成： (1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．    请完成： (3)证明是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知； （2）证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 4．（2021·广西·中考真题）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，． ， ． ， 四边形是平行四边形， ． 又，， ． 【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积． 【答案】①；②． 【分析】①过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出； ②连接CE，证明，即可得，由此即可求解． 【详解】：①过点作于点，连接， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在正方形中，， ∴； ②， 过程如下：如解图3，连接CE， ∵在正方形、正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形． 5．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践． 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形的进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接．试判断四边形是否是双等腰四边形，并说理由； (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数； (3)【拓展应用】 如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且延长交于点，连接．若，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴， ∴都是等腰三角形， 又∵是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴; （3）解：由矩形的性质可得， 在中，， 如图，当时，过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴ ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点， 由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 6．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 【答案】（1）小军选的高跟鞋送给妈妈是合适的；（2）；（3）小军的结论正确，见解析；（4）见解析 【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，可得答案； （2）由，可得，进一步可得答案； （3）证明，可得，，证明即可； （4）求解正方形的面积为，求解，可得矩形为，可得结论． 【详解】解：（1）如图， ∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋， ∴，， ∴，， ∵误差在范围内符合题意， ∴选择范围为：， ∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果； （2）∵在黄金矩形中，长， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）∵由对折可得：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （4）∵正方形，， ∴正方形的面积为， ∵矩形，， ∴， ∴矩形为， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的性质，黄金矩形的含义，二次根式的混合运算，理解题意是关键． 7．（2025·广西南宁·一模）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． (1)【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）以为顶点，以为一边，用三角板作是直角，的另一边与圆交于，连接，，，的交点即是圆心； （2）方法同（1）； （3）连接，，作，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心即可得到结论． 本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用． 【详解】（1）解：如图圆心即为所求： （2）解：如图： 即为所求作的圆心； （3）解：拓展探究： 如图： 即为所求作的圆心， 理由：连接，，， ，的垂直平分线交于， ，， ， 点是点，，三点所在的圆心． 8．（2025·广西南宁·三模）综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）根据题意可得出，解不等式即可求解． （3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴支架能承受的最大力F为， 则， 解得：， 则小桌板能放置物体的最大质量为． （3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 9．（2025·广西·二模）综合与实践 【问题情境】 如图，在中，，，，是斜边的中线． 【初步探究】 （）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入思考】 将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，．在旋转过程中，与交于点． （）如图，当时，垂足为，与交于点，求线段的长． （）在旋转的过程中，线段与交于点，当点与点重合时，求线段的长． 【答案】（）矩形，证明见解析；（）；（）或 【分析】（）利用直角三角形和平移的性质可得，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，即得，，由直角三角形的性质可得，得到，由题意得，可得，，，进而得到，解在中得，即得，再解即可求解； （）分点与点重合和点不与点重合两种情况，分别画出图形，利用平移和旋转的性质、锐角三角函数解答即可求解． 【详解】（）解：四边形是矩形，理由如下： 在中，是斜边的中线， ∴， 由平移可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （）解：∵，，， ∴， ∴，， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴，，， ∴，即， ∴，即旋转角为， ∴， 由平移可得，， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，； （）当点与点重合时，如图，过点作于点， 由旋转和平移得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点不与点重合时，如图，过点作于点， 由旋转和平移得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，解直角三角形，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 10．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（2025·广西·二模）综合与实践 【问题背景】小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． 【初步探究】 （1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且，．求该介质的折射率； 【解决问题】 （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2所示，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了新定义——光介质的折射率，熟练掌握新定义，正弦定义，正切定义，勾股定理，是解题的关键． （1）根据，，折射率定义可解答． （2）由题意可得，折射率为，得，可得，得，，即得截面的面积为：． 【详解】解：（1）， ， 折射率为：． （2）由题意可得，折射率为， ， ， 四边形是矩形，点是中点， ， 又， ， 在中， 设， 则， 由勾股定理得，， ， ， ， 截面的面积为：． 12．（2025·广西·一模）综合与实践 【问题情境】 如图所示，在正方形中，点在线段上，点F在线段上，且始终满足，连接，，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为_______，位置关系为_______； 【深入分析】 （2）如图2，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，求的长． 【答案】（1）；（2）四边形为菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得,根据即可求解． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（2025·广西来宾·模拟预测）数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． (1)请你按照方案一计算线段的长； (2)请你按照方案二计算线段的长； (3)在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据可证明，得出，求出，在中，由勾股定理，得，即可求解； （2）由旋转的性质，得A，E，H三点共线，．由折叠的性质，得，则可求，中，由勾股定理，得，即可求解； （3）由（2）可知，，则可证，得出，证明四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理，求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． 是的中点， ． 由折叠的性质，得， 在和中， ， ， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得； （2）解：由旋转的性质，得A，E，H三点共线，． 由折叠的性质，得， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得； （3）接：如图． 由（2）可知，， ． 又， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理，得， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，旋转，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 14．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 15．（2025·广西桂林·三模）【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点，记的面积为，的面积为． (1)【问题解决】如图①，若，求证：． 小红同学展示出如下正确的证明过程，请在横线上将内容补充完整． 证明：过点作于点，过点作于点，如图①所示，则， ___________（填写位置关系）， ___________， ___________． ． ． (2)【探索推广】如图②，若与不平行．（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在上取一点，使，过点作交于点，为的中点，交于点，且．若，求的值． 【答案】(1)；； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质及判定定理正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理得出，可得，即可得出，利用三角形面积公式即可得结论； （2）过点作交于点，过点作交于点，可得得出，可得，即可得出，利用三角形面积公式即可得结论； （3）如图所示，过点作交于，取中点，连接，先利用证明，得到，证明，得到，设，则，证明，推出，得出，由（2）结论求解即可得答案． 【详解】（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，如图①所示：则 ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ， 故答案为：；； （2）（1）中的结论成立． 证明：如答图①，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ． （3）解：如答图②，过点A作交于点，取的中点，连接． ， ． ， ． ， ， ． 设（为正整数） 则． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ． ． ， ， ， ． ， 由（2）得． 16．（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）24；（3） 【分析】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识是解题的关键． （1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得， 求出，从而求出． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，连接，，，过点作， 为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（2025·广西柳州·三模）实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积． ③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）旋转；（2）①四边形是矩形；证明见详解；②的面积为；③线段的长度为或或 【分析】（1）由旋转的性质可得答案； （2）①由旋转可得：，进而证明 ，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形；②作于，证明，进而可求得，，由，可得，进而可求，即可求的面积；③分三种情况：当时，当时，当时，结合题意画出图形，证明三角形相似或运用勾股定理定理逐一求解即可． 【详解】解：（1）将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形， 故答案为：旋转； （2）①四边形是矩形， 证明：由旋转可得：， ， ， 当D，B，点共线时，， ， ， ， 中，，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②作于， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， 旋转角度是，即， ， ， ， ， ， ； ③当时，如图所示： 作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 当时，如图所示： 由旋转可得：， ， 作于， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， 此时三点共线， ， ， 综上所述，当B，，三点构成直角三角形时，线段的长度为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2025·广西桂林·二模）综合探究 如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，证明，推出，结合，得到，即可证明； （2）如图，在的延长线上取一点，使，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，即可得出结论； （3）以为边向上作等边三角形，证明，推出，，结合已知求出，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即； （3）解：结论：， 理由：以为边向上作等边三角形，连接， 则，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 19．（2025·广西·二模）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）1 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，得到，即，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则，得到根据相似三角形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，同理得得到求得 计算即可； （3）连接交于G，根据等腰三角形的性质得到，根据菱形的性质得到 ，根据相似三角形的性质得到，设，结合三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则， ∵ ， ∴ ∴ ∴， 即， ， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ 同理 ∵， ∴； （3）如图，连接交于G， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ， ∴，     ∴ 设， 在中， ∴ ∴ ， ∴ 由(1)知， ∴ ∵， ， 故答案为：1． 20．（2025·广西玉林·三模）【思考探究】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，连接，于点．求证：四边形是正方形． 【实践探究】 （2）小慧受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2在正方形中，是边上一点，连接于点交的延长线于点于点，并交延长线于点．猜想线段的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 （3）小贤深入研究小慧提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，连接交延长线于点，点在上，且，连接，，若，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键 （1）根据矩形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是正方形； （2）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到； （3）连接，根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 又，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：，理由如下： 于点，于点，交于点， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 矩形是正方形， ； ∴； （3）解：连接，如图， 四边形是正方形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∵ ∴． 21．（2025·广西玉林·三模）我们约定：若两条抛物线与轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”． ①和；________ ②和；________ ③和．________ (2)若抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，求的值． (3)若抛物线和构成的“山水线”关于轴对称，该“山水线”与轴交于点，，点在点左侧．设点，是线段上的动点，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，点，在轴下方．试探究：是否存在以线段长为斜边、线段，长为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出该三角形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①×，②√；③√； (2)2； (3)存在，2． 【分析】（1）分别判断每个抛物线的开口方向以及轴的交点的坐标，再根据“山水线”的定义进行逐个判断，即可作答． （2）结合抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，得出抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反，即，则，即可作答． （3）因为以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形，则，整理得结合抛物线和构成“山水线”关于轴对称，得，然后表达，则，得出，故令，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，①的图象开口向上， 当时，则， 解得； 即抛物线与轴的交点的坐标为； 的图象开口向下， 当时，则， ∴， 解得； 即抛物线与轴的交点的坐标为； ∴和这两条抛物线不构成“山水线”； 故答案为：×； ②的图象开口向下， 则则 解得 的图象开口向上， 则则 解得 ∴和这两条抛物线构成“山水线”； 故答案为：√ ③的图象开口向上， 则， 当时，则， ∴， 即抛物线与轴的交点的坐标为； 则的开口方向向下， ∴当时，则， ∴ ∴， 即抛物线与轴的交点的坐标为； ∴抛物线与这两条抛物线构成“山水线”； 故答案为：√； （2）解：依题意，， ∴当时，则， ∴， ∴抛物线与轴的交点的坐标为； 抛物线和抛物线恰好构成“山水线” ∴抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反， ， ， . （3）解：存在，理由如下： 若存在以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形， 则， 点，关于对称轴对称， 对称轴为直线，对称轴为直线， ， ∴ 抛物线和构成“山水线”关于轴对称， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ∴ 令， 则， ， 解得（负值舍去）， 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，新定义，勾股定理，等腰直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与探究 【初步感知】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长度的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”，如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“平方点”． 【尝试探究】（1）如图，已知在四边形中，． ①求证：； ②若，求证：点是中边上的“平方点”； 【迁移应用】 （2）如图，是的内接三角形，点是中边上的“平方点”，延长交于点，求证：； （3）如图，在中，，，，过点作于点，若点是边上的“平方点”，求线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析（2）见解析；（3）10或 【分析】（1）①由对顶角相等得到，结合已知即可证明；②由①得，再由，即可得答案； （2）由点E是中边上的“平方点”得，再证，得，可得，即可得答案； （3）先求出的长，设，得，解答即可． 【详解】（1）证明：①，， ； ②∵， ， ， ， ， 点E是中边上的“平方点”； （2）证明：点E是中边上的“平方点”， ， 是的内接三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， 设，由题意得：，， ∴，即， 解得：，， 的长为10或． 【点睛】本题考查了定义新运算，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 23．（2025·广西河池·一模）【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：在取点G，使得，连接．则，然后根据正方形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：在取的中点H，，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1），证明如下： 如图：在取点G，使得，连接．则， ∴ ∵在正方形中， ∴，， ∴，即， ∵交正方形外角的平分线于点F， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图：在取的中点H，， ∵点E在边的中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3），证明如下： 如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形， ∴，，即， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（2025·广西梧州·一模）综合与探究【问题背景】如图1，H为外的一个动点，与交于点M，与的延长线交于点P，且． 【问题初探】（1）如图1，求证：； 【问题再探】（2）如图1，已知G为延长线上的一点．，．当时，的最小值为________； 【问题拓展】（3）如图2，已知F为延长线上的一动点，与相交于E点，当点H、F运动到使时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）证法一：证明出，得到，然后证明出，得到，即可得到； 证法二：证明出，然后证明出，A，C，D四点共圆，然后得到，即可得到； （2）由，求出，当A，H，G三点共线时，有最小值，然后求出，进而求解即可； （3）证法一：分别取与的中点K、N，连接、，证明出，得到，然后得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； 证法二：过点H分别作于K，于N，延长交于L，连接，由四点共圆得到，，，，然后求出，连接、相交于点，证明出，进而求解即可． 【详解】（1）证法一：， ， ， ， ， 证法二：， ， ， ； ， 又， ， ，A，C，D四点共圆（对角互补的四边形四点共圆） ，， ； ， ； （2）解：当时，则的最小值为． 由（1）知H．A．C．D四点共圆， ， 是直径， ， ， ， ， 则， 当A．H．G三点共线时，有最小值 ， ， ， ； （3）证法一：分别取与的中点K、N，连接、． 在中，， ， ， ， ，K、N分别是与的中点 ，， ， 、A、C、D四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 证法二：过点H分别作于K，于N，延长交于L，连接． ，， ， 、K、D、N四点共圆 ， 由H、A、C、D四点共圆得， ， 、A、L、K四点共圆， ， 又 ， ， ，， ，， ， ， 连接、相交于点， 在中，， 与重合 ， 是的垂直平分线 ， ，， 又， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 综合与实践（几何综合压轴题）（24题） 一、真题 1．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 2．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 3．（2023·广西·中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．    请完成： (1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．    请完成： (3)证明是的一条三等分线． 4．（2021·广西·中考真题）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，． ， ． ， 四边形是平行四边形， ． 又，， ． 【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积． 5．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践． 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形的进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接．试判断四边形是否是双等腰四边形，并说理由； (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数； (3)【拓展应用】 如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且延长交于点，连接．若，求的长． 6．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 7．（2025·广西南宁·一模）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． (1)【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 8．（2025·广西南宁·三模）综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 9．（2025·广西·二模）综合与实践 【问题情境】 如图，在中，，，，是斜边的中线． 【初步探究】 （）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入思考】 将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，．在旋转过程中，与交于点． （）如图，当时，垂足为，与交于点，求线段的长． （）在旋转的过程中，线段与交于点，当点与点重合时，求线段的长． 10．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 11．（2025·广西·二模）综合与实践 【问题背景】小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． 【初步探究】 （1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且，．求该介质的折射率； 【解决问题】 （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2所示，已知，，求截面的面积． 12．（2025·广西·一模）综合与实践 【问题情境】 如图所示，在正方形中，点在线段上，点F在线段上，且始终满足，连接，，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为_______，位置关系为_______； 【深入分析】 （2）如图2，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，求的长． 13．（2025·广西来宾·模拟预测）数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． (1)请你按照方案一计算线段的长； (2)请你按照方案二计算线段的长； (3)在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 14．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 15．（2025·广西桂林·三模）【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点，记的面积为，的面积为． (1)【问题解决】如图①，若，求证：． 小红同学展示出如下正确的证明过程，请在横线上将内容补充完整． 证明：过点作于点，过点作于点，如图①所示，则， ___________（填写位置关系）， ___________， ___________． ． ． (2)【探索推广】如图②，若与不平行．（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在上取一点，使，过点作交于点，为的中点，交于点，且．若，求的值． 16．（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 17．（2025·广西柳州·三模）实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积． ③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度． 18．（2025·广西桂林·二模）综合探究 如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，请直接写出之间的数量关系． 则，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 19．（2025·广西·二模）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 20．（2025·广西玉林·三模）【思考探究】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，连接，于点．求证：四边形是正方形． 【实践探究】 （2）小慧受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2在正方形中，是边上一点，连接于点交的延长线于点于点，并交延长线于点．猜想线段的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 （3）小贤深入研究小慧提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，连接交延长线于点，点在上，且，连接，，若，请直接写出的长度． 21．（2025·广西玉林·三模）我们约定：若两条抛物线与轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”． ①和；________ ②和；________ ③和．________ (2)若抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，求的值． (3)若抛物线和构成的“山水线”关于轴对称，该“山水线”与轴交于点，，点在点左侧．设点，是线段上的动点，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，点，在轴下方．试探究：是否存在以线段长为斜边、线段，长为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出该三角形的面积；若不存在，请说明理由． 22．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与探究 【初步感知】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长度的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”，如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“平方点”． 【尝试探究】（1）如图，已知在四边形中，． ①求证：； ②若，求证：点是中边上的“平方点”； 【迁移应用】 （2）如图，是的内接三角形，点是中边上的“平方点”，延长交于点，求证：； （3）如图，在中，，，，过点作于点，若点是边上的“平方点”，求线段的长． 23．（2025·广西河池·一模）【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 24．（2025·广西梧州·一模）综合与探究【问题背景】如图1，H为外的一个动点，与交于点M，与的延长线交于点P，且． 【问题初探】（1）如图1，求证：； 【问题再探】（2）如图1，已知G为延长线上的一点．，．当时，的最小值为________； 【问题拓展】（3）如图2，已知F为延长线上的一动点，与相交于E点，当点H、F运动到使时，求证：． 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$