精品解析：四川省广安市广安区等3地2024-2025学年高一下学期7月期末统测数学试题

区/县：__________ 学校：_____________________ 班级：_________________ 姓名：___________________________ 准考证号：___________________________ 2025年春季学期三地高2027届期末统测 （暨前锋区普/职高七月月评） 数学试题 注意事项 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前， 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．考试结束后， 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回． 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． ⁂预祝你们考试成功⁂ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算． 【详解】． 故选：D． 2. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象变换得到，再利用对称中心和整体替换得到的最小值； 【详解】由题意得，由， 得，即．故的最小值为． 故选：C. 3. 2024年4月21日，13000多人参赛的2024阜阳马拉松在市规划展示馆旁鸣枪起跑.经过激烈角逐，前八名的成绩(单位：小时)分别为，则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数定义可得. 【详解】从小到大排序：，共个数据， 由知分位数为第个数据，即. 故选：C. 4. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出轴截面如图所示，设球的半径为，将圆锥的侧面积、球的表面积分别用表示，即可得答案. 【详解】画出轴截面如图所示，设球的半径为，则，，， ∴.又， ∴，， ∴圆锥的侧面积，球的表面积， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查圆锥的侧面积、球的表面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力. 5. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法，即可求解. 【详解】解：,, , 故选：C 6. 关于函数，有下列命题： ①直线是图象的一条对称轴 ②存在，使得恒成立； ③在区间上单调递增 ④的图象可以由函数向右平移个单位得到 则其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对①、②、③、④一一分析： 对于①用代入法验证；对于②用函数的周期验证；对于③求单增区间验证；对于④利用相位变换验证. 【详解】对于①：因为时，，所以直线不是图象的一条对称轴，所以①不对． 对于②：因为的最小正周期为，所以使得恒成立时，即，而时，，所以②不对． 对于③：因为时，，所以在区间上单调递增，所以③正确． 对于④：因为函数向右平移个单位得到函数，所以④不对． 综上所述，真命题的个数为1． 故选：B． 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题； (2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式． 7. 一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，．现将两块三角板拼接在一起，取中点与中点，则下列直线与平面所成的角不为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过证明平面，可以找到与平面所成的角，计算可知都为定值，由此可得答案. 【详解】因为为中点，所以，所以， 又，且， 所以平面， 所以与平面所成的角分别为和，它们相等，等于45°， 根据直线与平面所成角的定义知，与平面 所成的角为 故只有与平面所成的角不为定值. 故选：B 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面所成角，属于基础题. 8. 已知函数为偶函数，当时，，那么函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】把函数的零点个数，转化为函数与的图像的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，函数的零点个数，即与的图像的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出函数及的图像，如图所示. 令=0，得，设，则. 由图像知，方程有四个解（从左到右依次记为，，，，） 则 当时，有两个解；当时，有两个解； 当时，有四个解；当时，无解. 故共有8个实数解，即函数的零点个数为8. 故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点个数，转化为函数与的图像的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中i是虚数单位，则以下说法正确的是（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的虚部为2i C. 复数z的模为 D. 复数z的共轭复数 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简得，再求出复数的实部、虚部、模和共轭复数，即得解. 【详解】由题得， 故复数的实部为3，虚部为2，，， 故AC正确. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的实部、虚部、模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 下列四个命题中正确的是 A. 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行 B. 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行 C. 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行 D. 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行 【答案】BC 【解析】 【分析】 由线面的位置关系可判断；由线面平行的判定定理可判断；由面面平行的判定定理可判断； 由异面直线的定义和线面平行的判定定理可判断. 【详解】.如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故错误； .过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 过这条直线有无数个平面与这条直线平行，故正确； .过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故正确； .过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，可能与其中一条平行，经过另一条直线，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查点线面有关命题的判断，属于基础题 11. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（ ） A. 的面积最大值为 B. 的取值范围为 C. 的值可能为3 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再逐一分析判断各个选项即可. 【详解】因为为锐角三角形，所以，解得， 同理可得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， A选项，，A错误； B选项，由余弦定理得，即， 所以， 所以 ， 因为，所以，B正确； C选项，因为， 而，所以的值可能为3，C正确； D选项， ，当且仅当时取等号， 但， 而，所以， 故，等号取不到，D不正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分． 12. 由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人. 【答案】720 【解析】 【分析】根据所给的总体与样本容量，计算出抽样比，求出女生被抽取的人数，根据女生被抽取的人数以及抽样比，可求得女生总人数. 【详解】设抽取的女生人数为人 因为对全校男女学生共1600名进行健康调查，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本, 所以每个个体被抽到的概率是， 根据抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为女生比男生少抽了20人，且共抽200人， 所以，即女生要抽取90人， 因此女生共有， 故答案为：720 . 13. 若，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直、数量积的运算、夹角的运算计算即可； 【详解】设向量与的夹角为， 因为，且，则， 可得， 所以， 又，所以. 故答案为：. 14. 在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将四面体补成正方体，则正方体的外接球同时也是该四面体的外接球，求出正方体的对角线，可得外接通球的直径，从而可求出球的表面积 【详解】由题意，以为过同一顶点的三条棱作正方体， 则正方体的外接球同时也是该四面体的外接球； 因为正方体的对角线的长为， 所以球的半径为， 所以该四面体的外接球的表面积为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”. 关注 不关注 合计 青少年 中老年 合计 （1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数； （2）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”； 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.708 3.841 6.635 7.879 10828 【答案】（1）中位数约为36.43，众数为； （2）有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为，设样本的中位数为，则，求得的值，即可得到数据的中位数； （2）依题意可知，可得抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人，完成的列联表，求得的值，作出预测. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为， 设样本的中位数为，则，所以，即样本的中位数约为36.43. 【小问2详解】 依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人. 完成的列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年 中老年 合计 结合列联表的数据得， 因为, 所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”. 16. 已知向量为平面向量，且， （1）若的夹角为，求及 （2）若是与平行的向量，求的坐标. 【答案】(1)2，；(2)或 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模计算即可；（2）根据向量的平行和向量的模得到关于，的方程组，解得即可． 【详解】（1）易知， ， 所以， ， 所以. （2）由题意得：，且， 解得：或， 所以或 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，以及向量平行，属于中档题． 17. 已知向量，，设函数. （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，且恰是函数在上的最大值，求三角形的面积. 【答案】（1）单调递增区间为，，对称轴方程为， （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先利用正弦函数的性质求出角，代入余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以曲线的对称轴方程为，. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 当时，三角形的面积， 当时，三角形的面积. 所以三角形的面积为或. 18. 已知，设函数的表达式为（其中） （1）设，，求曲线在点处的切线方程； （2）设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； （3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：依题意，，，且，， 令，则 所以 而 ， 则 又，且，当且仅当时等号成立，所以， 同理，，……，且均在时等号成立， 所以 ，即得证． 【解析】 【分析】(1)利用导数求函数在某点处的切线方程即可； (2)利用极值点等价于导数值为零的点，且导数零点的左右两侧有正负，通过对导函数是二次函数的零点进行分析即可得解； (3)利用换元思想，把，即知，再利用二项式展开式和均值不等式，即可证明不等式. 【小问1详解】 由，，可知，则， 当时，， 所以在点处的切线方程为：，即为； 【小问2详解】 当时，由，则， 即， 由在上有两个不同的极值点，则在内有两个解， 即由等价于， 作出二次函数图象， 因为当时，， 结合图像可知：当时，方程在内有两个解, 即b的取值范围; 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：首先对令，则，从而把原不等式变为关于正数的不等式， 其次就是利用二项式展开式和作差法来构造两两组合，从而证明每一项成立即可. 19. 如下左图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔点到的距离为3．将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下右图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点． （1）证明：四边形为长方形； （2）求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质可得出、，再由，在长方体中平面可得答案； （2）由水的体积计算出，在平面内，过点作，交于，可得出， 即为所求，又，，得，在中利用正切值可得答案. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 平面，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为始终在桌面上，所以，在长方体中， 平面，平面，所以， 即，所以四边形是长方形. （2）由题意知，水的体积为，如图所示， 正方体水槽绕倾斜水面分别与棱交于， 则，水的体积为， 所以，即，所以， 在平面内，过点作，交于， 则四边形是平行四边形，， 所以， 因为，，所以，由（1）， 所以即为二面角的平面角， 又，，所以， 在中，， 所以侧面与桌面所成的角的正切值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 区/县：__________ 学校：_____________________ 班级：_________________ 姓名：___________________________ 准考证号：___________________________ 2025年春季学期三地高2027届期末统测 （暨前锋区普/职高七月月评） 数学试题 注意事项 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前， 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．考试结束后， 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回． 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． ⁂预祝你们考试成功⁂ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 2024年4月21日，13000多人参赛的2024阜阳马拉松在市规划展示馆旁鸣枪起跑.经过激烈角逐，前八名的成绩(单位：小时)分别为，则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 关于函数，有下列命题： ①直线是图象的一条对称轴 ②存在，使得恒成立； ③在区间上单调递增 ④的图象可以由函数向右平移个单位得到 则其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，．现将两块三角板拼接在一起，取中点与中点，则下列直线与平面所成的角不为定值的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，当时，，那么函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中i是虚数单位，则以下说法正确的是（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的虚部为2i C. 复数z的模为 D. 复数z的共轭复数 10. 下列四个命题中正确的是 A. 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行 B. 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行 C. 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行 D. 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行 11. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（ ） A. 的面积最大值为 B. 的取值范围为 C. 的值可能为3 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分． 12. 由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人. 13. 若，且，则向量与的夹角为______． 14. 在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”. 关注 不关注 合计 青少年 中老年 合计 （1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数； （2）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”； 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.708 3.841 6.635 7.879 10828 16. 已知向量为平面向量，且， （1）若的夹角为，求及 （2）若是与平行的向量，求的坐标. 17. 已知向量，，设函数. （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，且恰是函数在上的最大值，求三角形的面积. 18. 已知，设函数的表达式为（其中） （1）设，，求曲线在点处的切线方程； （2）设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； （3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 19. 如下左图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔点到的距离为3．将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下右图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点． （1）证明：四边形为长方形； （2）求二面角的平面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $