专题14 概率（31题）（福建专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题14 概率（31题） 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 1 2 1 2 2．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2022·福建·中考真题）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ． 三、解答题 4．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由 第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新 黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新 黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新 黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新 新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ 5．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 四、单选题 6．（2025·福建南平·二模）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·福建厦门·二模）不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10个小球，这10个小球除了标记的数字不同之外无其他差别．小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华记录的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（    ） A．摸出标记数字为奇数的小球 B．摸出标记数字为11的小球 C．摸出标记数字小于7的小球 D．摸出标记数字能被3整除的小球 8．（2025·福建三明·二模）福建省从年开始全面推行新高考制度，新高考“”中的“”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治学科的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建·二模）灯彩（泉州花灯）是国家级非物质文化遗产之一，泉州花灯起于唐代，盛于宋元．在泉州举办的元宵花灯展览筹备现场，工作人员准备了4盏不同主题的泉州花灯．观看灯展时，小闽和小越分别从这4盏花灯中选择了自己最喜爱的一盏花灯，则他们最喜爱的花灯是同一盏的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 甲 乙 甲得分 五、填空题 11．（2025·福建三明·一模）在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是 ． 12．（2025·福建泉州·一模）一个不透明的口袋中先放入除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球各2个，要使得从中摸到一个白球的概率为，则需再往袋中放入形状大小都相同的 个黑球． 13．（2025·福建泉州·一模）一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是 ． 14．（2025·福建宁德·二模）某智能垃圾分类回收站内设有可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其它垃圾四种垃圾箱，其中可回收垃圾箱中有2个塑料瓶和2本旧书籍．现系统随机从可回收垃圾箱中抽取两件物品，恰好这两件物品都是塑料瓶的概率是 ． 15．（2025·福建龙岩·二模）在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是化学变化的概率是 ． 16．（2025·福建厦门·二模）在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有 棵树木可以成活． 六、解答题 17．（2025·福建龙岩·一模）福建省拥有丰富的红色文化资源，某校组织七年级学生开展“红色文化”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择： A．古田会议（龙岩市上杭县）； B．闽西革命历史纪念馆（龙岩市）； C．东山战斗纪念馆（漳州市东山县）． 小悦和小钢两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路，且每人只能选择一条线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小悦先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小钢再从中随机抽取一张卡片． (1)求小悦从中随机抽到卡片A的概率； (2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到同一张卡片的概率． 18．（2025·福建·一模）某班举行元旦联欢会，为了增加会场氛围，班长提出通过摸球游戏决定是否表演即兴节目，用一个不透明的盒子，里面装有三个分别标有数字1，2，3的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同，游戏规则：一位同学从盒中随机摸出两个球，记下数字后放回，摇匀后另一位同学再随机摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两个球上的数字为一奇一偶，则不表演节目，否则，就即兴表演节目． (1)求每位同学不表演节目的概率； (2)文艺委员发现，在此游戏规则下，对于每位同学而言，表演节目的概率小于不表演节目的概率，为了活跃气氛，她提出在现有游戏规则的基础上，通过修改游戏所用乒乓球的数量或表演节目的规则来改变表演节目的概率，使得对于每位同学而言，表演节目的概率大于不表演节目的概率．假如你是文艺委员，请你想出一种游戏规则，并说明理由．（注：不可以改为“如果两球的数字为一奇一偶，则即兴表演节目，否则，就不表演节目”） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 19．（2025·福建漳州·二模）国家卫健委发布的《体重管理指导原则（2024年版）》明确用身体质量指数来判断人体的健康状况，若一个人的体重w（千克），身高h（米），其计算公式是：，数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的值，并填写在如下的表格．请根据表中提供的信息，回答问题． 数值 频数 12 55 9 d 频率 a b c (1)求的值及抽查的学生人数； (2)在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率． 20．（2025·福建三明·二模）为响应市政府“青山绿水三明城，分类助力生态兴”的号召，某社区引入垃圾分类智能处理系统，该系统可将垃圾分为“可回收物”“其他垃圾”两类．为了掌握该系统对垃圾分类的准确率，从该社区的垃圾中随机选取件，工作人员先将这件垃圾分类统计并做上记号，再重新混合后对该系统进行测试，结果列表如下： 数量类别 测试件数 正确识别件数 可回收物 其他垃圾 (1)该系统对“可回收物”分类的准确率是______，对“其他垃圾”分类的准确率是______； (2)该系统误判的垃圾需要人工复检，被误判的可回收物复检费用为元/件，被误判的其他垃圾复检费用为元/件．估计该社区处理件垃圾的复检总费用． 21．（2025·福建福州·三模）圆周率是无限不循环小数．历史上祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．据说，超级计算机已计算出的小数点后31.4万亿位．有学者发现，随着的小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． (1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计该数字是奇数的概率为 ； (2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅．请用列表或画树状图的方法，求选用的2幅画像中有祖冲之画像的概率． 22．（2025·福建福州·三模）为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)______；D类所在扇形圆心角的度数为______； (2)学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为1－6的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率． 23．（2025·福建·一模）开学以来，某食堂提供了、、三种套餐供学生选择，单价分别是8元、10元、15元，为了做好下阶段的服务与销售，食堂统计了开学以来、、三种套餐的周平均销售量如下表，平均每份套餐利润与周销售量之间的关系绘制成如下条形统计图： 套餐种类 周平均销售量（份） 1800 2400 800 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)小明上周到食堂用餐两次，均购买了套餐（两次选择随机购买不同类型的套餐），求小明两次购买的套餐为组合的概率； (2)根据上级规定，平均每份套餐的利润不得超过3元，否则应调低单价．试判断该食堂是否需要调低单价？若需要调整，请通过计算说明，应把哪一种套餐的单价调整为多少元，才能使平均每份套餐的利润最大且不得超过3元？若不需要调整，请说明理由．（要求：若需要调整，该食堂只能调低一种套餐的单价，且调低幅度只能是1元整数倍．） 24．（2025·福建厦门·二模）今年学校灯谜节期间，除了全员活动外，初一年级照例要开展“一锤定音”传统挑战赛：各班推选6名同学组成代表队，分为字谜组和物谜组各3名，为增强趣味性，由评委分别在两组中随机抽一名同学进行3分钟猜谜，猜对的字谜和物谜数都超过往届挑战赛的最高成绩（字谜和物谜组的最高成绩分别为13，17，单位：个），才算挑战成功．1班组织了赛前练习并推选了6名成绩相对稳定的同学组成代表队，其中小梧在字谜组，他在赛前的20次练习情况如表二所示． 表二 3分钟猜对的字谜数（个） 次数 1 1 2 9 7 (1)若小梧被抽中，请根据表中数据，预估他此次比赛猜对的字谜数，并说明理由； (2)1班的同学同样根据赛前练习的情况预估了本班代表队此次比赛的成绩：字谜组另两位同学分别为12，13；物谜组三位同学分别为15，18，19．小桐说1班此次挑战成功的机会很大，你同意吗？请根据以上预估说明理由． 25．（2025·福建福州·二模）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品B． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品”的概率分别是多少？ (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 黄 白 白 黄 （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 26．（2025·福建泉州·二模）一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． (1)随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ； (2)随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 横坐标 纵坐标 1 2 3 1 2 3 27．（2025·福建泉州·二模）为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． (1)小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是___________． (2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 28．（2025·福建福州·三模）有三个购房者在售楼部进行抽签选房，在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同．买房者按照到达的先后顺序迸行抽签，不放回地从盒中抽球，将球的编号作为最终选房的顺序（如抽到2号球的人第2个选房） (1)第一个抽签的人第1个选房的概率为_____． (2)有买房者质疑这种选房规则，认为先抽签的人第一个选房的概率更大．请判断这种说法是否正确？用概率知识并结合树状图说明理由． 29．（2025·福建三明·三模）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男、女生50米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下． 男生成绩 女生成绩 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为___________，女生成绩的中位数为___________ (2)判断下列两位同学的说法是否正确，并说明不正确的理由． 小星：5名男生中成绩最好的是秒． 小红：5名女生的成绩均为优秀等次． (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 30．（2025·福建福州·三模）某学校举行了以“美丽鼓楼”为主题的演讲比赛．赛后组委会整理参赛同学成绩，将成绩按分数段分为四组，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．来自公众号勤学教室请根据图表提供的信息，解答下列问题： 组别 成绩（分） 频数（人） 百分比 A 8 B C 16 D 4    (1)①表中______，______； ②补全频数分布直方图： (2)若用扇形统计图描述成绩分布情况，求B组所对应扇形的圆心角的度数； (3)比赛结果显示，成绩不低于90分的4名同学中有1名男生和3名女生，学校从这4名同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率（用列表或树状图法）． 31．（2025·福建南平·三模）小明和小亮要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆（舒适程度不同，票价相同），但他们不知道这些车开过来的顺序．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： (1)三辆车按出现的先后顺序，其舒适程度共有哪几种不同的可能？ (2)如果计划小明乘开来的第一辆车，小亮不乘第一辆车，并且仔细观察第二辆车的情况，若比第一辆车好，就乘第二辆车；若不比第一辆车好，就乘第三辆车．判断小明和小亮谁乘坐舒适程度为上等的车的可能性更大，并说明理由． 顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 顺序 小明 小亮 上、中、下 上 下 上、下、中 上 中 中、上、下 中 上 中、下、上 中 上 下、上、中 下 上 下、中、上 下 中 试卷第28页，共29页 试卷第29页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 概率（31题） 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 2．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 二、填空题 3．（2022·福建·中考真题）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的， 任意摸出1个，摸到红球的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 三、解答题 4．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由 【答案】(1) (2)应往袋中加入黄球，见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解． 【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果． 记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种， 所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为． （2）他应往袋中加入黄球． 理由如下： 记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新 黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新 黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新 黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新 新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ 共有种等可能结果． （）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率； （）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率； 因为，所以，所以他应往袋中加入黄球． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 四、单选题 6．（2025·福建南平·二模）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 7．（2025·福建厦门·二模）不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10个小球，这10个小球除了标记的数字不同之外无其他差别．小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华记录的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（    ） A．摸出标记数字为奇数的小球 B．摸出标记数字为11的小球 C．摸出标记数字小于7的小球 D．摸出标记数字能被3整除的小球 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，概率公式，根据统计图，得到摸球试验中某种事件发生的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：球试验中某种事件发生的概率约为， A、摸出标记数字为奇数的小球的概率为，不符合题意； B、摸出标记数字为11的小球的概率为0，不符合题意； C、摸出标记数字小于7的小球的概率为，符合题意； D、摸出标记数字能被3整除的小球概率为，不符合题意； 故选C． 8．（2025·福建三明·二模）福建省从年开始全面推行新高考制度，新高考“”中的“”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治学科的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 先画出树状图，找出所有等可能情况及选中政治学科的情况数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中选中政治学科的情况数有种， 选中政治学科的概率为． 故选：． 9．（2025·福建·二模）灯彩（泉州花灯）是国家级非物质文化遗产之一，泉州花灯起于唐代，盛于宋元．在泉州举办的元宵花灯展览筹备现场，工作人员准备了4盏不同主题的泉州花灯．观看灯展时，小闽和小越分别从这4盏花灯中选择了自己最喜爱的一盏花灯，则他们最喜爱的花灯是同一盏的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：设4盏不同主题的泉州花灯为， 列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中他们最喜爱的花灯是同一盏的情况有4种， 他们最喜爱的花灯是同一盏的概率． 故选：C． 10．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 五、填空题 11．（2025·福建三明·一模）在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先求出摸到红球的频率，再利用频率估计概率，然后乘以球的总数即可得． 【详解】解：∵做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502， ∴摸到红球的频率是， ∴估计盒子中的红球的个数是（个）， 故答案为：2． 12．（2025·福建泉州·一模）一个不透明的口袋中先放入除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球各2个，要使得从中摸到一个白球的概率为，则需再往袋中放入形状大小都相同的 个黑球． 【答案】2 【分析】本题主要考查概率计算；设再往袋中放入形状大小都相同的个黑球，根据题意列出，计算求解即可． 【详解】解：设再往袋中放入形状大小都相同的个黑球， 解得 ∴再往袋中放入形状大小都相同的2个黑球， 故答案为：2． 13．（2025·福建泉州·一模）一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率公式进行求解是解题的关键；因此此题可根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 该班每一位学生获奖的概率是； 故答案为． 14．（2025·福建宁德·二模）某智能垃圾分类回收站内设有可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其它垃圾四种垃圾箱，其中可回收垃圾箱中有2个塑料瓶和2本旧书籍．现系统随机从可回收垃圾箱中抽取两件物品，恰好这两件物品都是塑料瓶的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用列表法活树状图法求概率，解题的关键是通过列表的方式列出所有情况，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：设2个塑料瓶分别是和2本旧书籍分别是， 列表如下： 故共有种情况，满足条件的只有种， 恰好这两件物品都是塑料瓶的概率是， 故答案为：． 15．（2025·福建龙岩·二模）在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是化学变化的概率是 ． 【答案】 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 【详解】解：设这四个卡片分别为：A，B，C，D，画树状图得： ∴一共有12种等可能的情况，抽出的生活现象都是化学变化的有2种情况， ∴抽出的生活现象都是化学变化的概率是． 故答案为． 16．（2025·福建厦门·二模）在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有 棵树木可以成活． 【答案】 【分析】本题考查的是用大量试验得出的频率去估计事件的概率，用到的知识点是概率所求情况数与总情况数之比； 先计算出移栽100棵、1000棵、10000棵、100000棵树成活的概率； 再计算三次概率之和与4的商即为所估计的概率，再计算220000棵树木可以成活的数量． 【详解】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为：， ， 故答案为：． 六、解答题 17．（2025·福建龙岩·一模）福建省拥有丰富的红色文化资源，某校组织七年级学生开展“红色文化”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择： A．古田会议（龙岩市上杭县）； B．闽西革命历史纪念馆（龙岩市）； C．东山战斗纪念馆（漳州市东山县）． 小悦和小钢两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路，且每人只能选择一条线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小悦先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小钢再从中随机抽取一张卡片． (1)求小悦从中随机抽到卡片A的概率； (2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到同一张卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，正确带入公式计算是解题的关键． （1）本题考查了等可能时间的概率，代入公式即可求解； （2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再代入公式计算即可． 【详解】（1）解：小悦从3张不透明的卡片中随机抽到卡片A的概率为 （2）解：画树状图如图， 共有种等可能结果，其中两人都抽到同一张卡片的结果数有3种， 所以，两人都抽到同一张卡片的概率为． 18．（2025·福建·一模）某班举行元旦联欢会，为了增加会场氛围，班长提出通过摸球游戏决定是否表演即兴节目，用一个不透明的盒子，里面装有三个分别标有数字1，2，3的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同，游戏规则：一位同学从盒中随机摸出两个球，记下数字后放回，摇匀后另一位同学再随机摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两个球上的数字为一奇一偶，则不表演节目，否则，就即兴表演节目． (1)求每位同学不表演节目的概率； (2)文艺委员发现，在此游戏规则下，对于每位同学而言，表演节目的概率小于不表演节目的概率，为了活跃气氛，她提出在现有游戏规则的基础上，通过修改游戏所用乒乓球的数量或表演节目的规则来改变表演节目的概率，使得对于每位同学而言，表演节目的概率大于不表演节目的概率．假如你是文艺委员，请你想出一种游戏规则，并说明理由．（注：不可以改为“如果两球的数字为一奇一偶，则即兴表演节目，否则，就不表演节目”） 【答案】(1) (2)修改规则为“如果两球的数字之和大于3，则即兴表演节目，否则，就不表演节目”，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格是解题的关键． （1）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两个球上的数字为一奇一偶的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）由（1）表格可知，两个球上的数字之和大于3的结果数有4种，若修改规则为两个球上的数字之和大于3就表演节目，否则不表演即可满足题意． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两个球上的数字为一奇一偶的结果数有4种， ∴每位同学不表演节目的概率为； （2）解：修改规则为“如果两球的数字之和大于3，则即兴表演节目，否则，就不表演节目”，理由如下： 列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两个球上的数字之和大于3的结果数有4种，不大于3的结果数有2种， ∴每位同学表演节目的概率为，每位同学不表演节目的概率为， ∵， ∴表演节目的概率大于不表演节目的概率． 19．（2025·福建漳州·二模）国家卫健委发布的《体重管理指导原则（2024年版）》明确用身体质量指数来判断人体的健康状况，若一个人的体重w（千克），身高h（米），其计算公式是：，数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的值，并填写在如下的表格．请根据表中提供的信息，回答问题． 数值 频数 12 55 9 d 频率 a b c (1)求的值及抽查的学生人数； (2)在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率． 【答案】(1)的值为，本次抽查的学生数为80； (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，新定义，频数除以频率＝总数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合频率之和为进行列式计算得，再运用频数除以频率得出总数，即可作答． （2）理解题意，然后画树状图，得出共有12种等可能结果，其中抽到和的结果有2种，再进行求解概率，即可作答． 【详解】（1）解：由表格可知， ∴抽查的学生数为． 答：的值为，本次抽查的学生数为80； （2）解：依题意，身体肥胖的学生数． ∴从4名身体肥胖的学生中随机抽查两名学生，画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中抽到和的结果有2种， ∴P（恰好抽到和． 20．（2025·福建三明·二模）为响应市政府“青山绿水三明城，分类助力生态兴”的号召，某社区引入垃圾分类智能处理系统，该系统可将垃圾分为“可回收物”“其他垃圾”两类．为了掌握该系统对垃圾分类的准确率，从该社区的垃圾中随机选取件，工作人员先将这件垃圾分类统计并做上记号，再重新混合后对该系统进行测试，结果列表如下： 数量类别 测试件数 正确识别件数 可回收物 其他垃圾 (1)该系统对“可回收物”分类的准确率是______，对“其他垃圾”分类的准确率是______； (2)该系统误判的垃圾需要人工复检，被误判的可回收物复检费用为元/件，被误判的其他垃圾复检费用为元/件．估计该社区处理件垃圾的复检总费用． 【答案】(1)，； (2)估计该社区处理件垃圾的复检总费用是元． 【分析】本题考查的知识点是根据概率公式计算概率、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量． （1）结合表中信息进行计算即可得解； （2）结合（1）中求出的准确率进行估算即可． 【详解】（1）解：依题得： 该系统对“可回收物”分类的准确率是； 对“其他垃圾”分类的准确率是． 故答案为：，． （2）解：处理件垃圾的复检总费用为： （元）． 答：该社区处理件垃圾的复检总费用为元． 21．（2025·福建福州·三模）圆周率是无限不循环小数．历史上祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．据说，超级计算机已计算出的小数点后31.4万亿位．有学者发现，随着的小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． (1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计该数字是奇数的概率为 ； (2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅．请用列表或画树状图的方法，求选用的2幅画像中有祖冲之画像的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵随着的小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同， ∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计该数字是奇数的概率为． 故答案为：． （2）由题意，画出树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况． ∴． 22．（2025·福建福州·三模）为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)______；D类所在扇形圆心角的度数为______； (2)学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为1－6的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率． 【答案】(1)18，43.2° (2) 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形圆心角的度数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得调查的人数，用调查的人数乘以扇形统计图中A的百分比可得m的值，用乘以D的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小球掉落到5号卡槽的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为（人）， ∴，， ∴D类所在扇形圆心角的度数为， 故答案为：18，； （2）解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中小球掉落到5号卡槽的结果有1种， ∴小球掉落到5号卡槽的概率为． 23．（2025·福建·一模）开学以来，某食堂提供了、、三种套餐供学生选择，单价分别是8元、10元、15元，为了做好下阶段的服务与销售，食堂统计了开学以来、、三种套餐的周平均销售量如下表，平均每份套餐利润与周销售量之间的关系绘制成如下条形统计图： 套餐种类 周平均销售量（份） 1800 2400 800 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)小明上周到食堂用餐两次，均购买了套餐（两次选择随机购买不同类型的套餐），求小明两次购买的套餐为组合的概率； (2)根据上级规定，平均每份套餐的利润不得超过3元，否则应调低单价．试判断该食堂是否需要调低单价？若需要调整，请通过计算说明，应把哪一种套餐的单价调整为多少元，才能使平均每份套餐的利润最大且不得超过3元？若不需要调整，请说明理由．（要求：若需要调整，该食堂只能调低一种套餐的单价，且调低幅度只能是1元整数倍．） 【答案】(1) (2)是，调整套餐为14元 【分析】本题主要考查了通过树状图或表格求概率，条形统计图和表格的综合应用，求平均数，方案的选择等知识点，解题的关键是通过条形统计图和表格得出准确的数据． （1）利用树状图求概率即可； （2）求出平均数，然后分情况进行讨论得出最优方案即可． 【详解】（1）解：小明两次购买套餐的树状图如下， 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中小明选择套餐为组合的结果有2种， ∴其概率为； （2）解：根据条形统计图可知平均每份套餐的利润为2元，每份套餐的利润为4元，每份套餐的利润为3元， 总利润为（元） 平均每份套餐的利润为（元） ， ∴该食堂需要调低单价， 假设调低套餐单价1元，平均每份套餐的利润为（元）； 假设调低套餐单价1元，平均每份套餐的利润为（元）； 假设调低套餐单价1元，平均每份套餐的利润为（元）； 综上可得，当调低套餐单价1元时，即套餐单价为14元时，才能使平均每份套餐的利润最大且不超过3元． 24．（2025·福建厦门·二模）今年学校灯谜节期间，除了全员活动外，初一年级照例要开展“一锤定音”传统挑战赛：各班推选6名同学组成代表队，分为字谜组和物谜组各3名，为增强趣味性，由评委分别在两组中随机抽一名同学进行3分钟猜谜，猜对的字谜和物谜数都超过往届挑战赛的最高成绩（字谜和物谜组的最高成绩分别为13，17，单位：个），才算挑战成功．1班组织了赛前练习并推选了6名成绩相对稳定的同学组成代表队，其中小梧在字谜组，他在赛前的20次练习情况如表二所示． 表二 3分钟猜对的字谜数（个） 次数 1 1 2 9 7 (1)若小梧被抽中，请根据表中数据，预估他此次比赛猜对的字谜数，并说明理由； (2)1班的同学同样根据赛前练习的情况预估了本班代表队此次比赛的成绩：字谜组另两位同学分别为12，13；物谜组三位同学分别为15，18，19．小桐说1班此次挑战成功的机会很大，你同意吗？请根据以上预估说明理由． 【答案】(1)15个；理由见解析 (2)不同意；理由见解析 【分析】本题主要考查树状图求等可能的结果情况和求可能值， （1）根据已知的数据利用平均数求的可能值； （2）通过树状图求得可能的总数与已知的值比较，求得满足题意的情况，即可利用公式求得成功与否． 【详解】（1）解：解法一：根据表中数据，小梧赛前20次练习平均每次猜对的字谜数近似为： （个）． 所以预估小梧此次比赛猜对的字谜数为15个； 解法二：用小梧赛前20次练习成绩的各组的组中值代表各组实际数据，小梧赛前20次练习中，猜对每个字谜平均用时近似为： （分钟）． 所以预估此次比赛小梧猜对的字谜数为：（个）． （2）解：不同意小桐的说法，理由如下： 假设字谜组3名同学为，，，物谜组3名同学为，，， 分别从两组中随机抽一名同学，一共用九种等可能得结果，如下图所示：    根据练习情况，对字谜组3名同学，，的比赛成绩预估为15，12，13，对物谜组3名同学，，的比赛成绩预估为15，18，19， 根据以上预估，1班挑战成功有，两种可能的结果， 所以预估1班此次挑战成功的机会为， 故不同意小桐的说法． 25．（2025·福建福州·二模）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品B． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品”的概率分别是多少？ (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1)“获得奖品A”的概率为，“获得奖品”的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有1种，取出的是白球的结果有8种，利用概率公式可得答案； （2）根据题意设计一个新的摸球方案与获奖规则即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有1种，取出的是白球的结果有8种， ∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品”的概率为； （2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球，2个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球． 获奖规则：若取出的两个球都是黄球，则获得奖品A，否则获得奖品B． 此时列表如下： 黄 白 白 黄 （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中取出的两个球都是黄球的结果有1种， ∴“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为． 26．（2025·福建泉州·二模）一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． (1)随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ； (2)随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法求概率以及一次函数图象上点的坐标特征，树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）法一：画树状图，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 法二：列表，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）∵三个小球中有一个小球编号为1， ∴随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是． 故答案为：； （2）法一：记“点在一次函数的图象上”为事件A，画树状图如下： 总共出现6种等可能结果， 其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 法二：记“点在一次函数的图象上”为事件A，列表如下： 横坐标 纵坐标 1 2 3 1 2 3 总共出现6种等可能结果，其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 27．（2025·福建泉州·二模）为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． (1)小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是___________． (2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】(1) (2)这个规则对于小南和小安不公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中A卡片是物理变化，结合概率公式进行求解，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得出共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种，再结合概率公式进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中A卡片是物理变化， ∴小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种， ∴P（两次抽出的卡片均为化学变化） P（两次抽出的卡片均为物理变化） ∵， ∴这个规则对于小南和小安不公平． 28．（2025·福建福州·三模）有三个购房者在售楼部进行抽签选房，在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同．买房者按照到达的先后顺序迸行抽签，不放回地从盒中抽球，将球的编号作为最终选房的顺序（如抽到2号球的人第2个选房） (1)第一个抽签的人第1个选房的概率为_____． (2)有买房者质疑这种选房规则，认为先抽签的人第一个选房的概率更大．请判断这种说法是否正确？用概率知识并结合树状图说明理由． 【答案】(1)； (2)说法不正确；理由见解析. 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握列举法求概率是解决此题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据树状图作答即可. 【详解】（1）解：∵在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同， ∴第一个抽签的人第1个选房的概率为 故答案为：； （2）解：不正确. ∵在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同， 列树状图如下： 由树状图可知，先抽签的人第一个选房的概率为，第二个选房的概率为，第三个选房的概率为， 即概率相等， ∴说法不正确. 29．（2025·福建三明·三模）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男、女生50米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下． 男生成绩 女生成绩 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为___________，女生成绩的中位数为___________ (2)判断下列两位同学的说法是否正确，并说明不正确的理由． 小星：5名男生中成绩最好的是秒． 小红：5名女生的成绩均为优秀等次． (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 【答案】(1)，； (2)小星的说法正确，小红的说法错误 (3) 【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． （1）利用中位数和众数的定义解题即可； （2）根据优秀等次的要求进行比较解题即可； （3）列表格得到所有可能的结果数，找出符合要求的数量，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：男生成绩出现的次数最多，即众数为， 女生成绩排列为：，，，，， 居于中间的数为， 故中位数为． （2）解：∵用时越少，成绩越好， ∴是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； ∵女生秒为优秀成绩，， ∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误； （3）解：列表为： 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种， 故甲被抽中的概率为． 30．（2025·福建福州·三模）某学校举行了以“美丽鼓楼”为主题的演讲比赛．赛后组委会整理参赛同学成绩，将成绩按分数段分为四组，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．来自公众号勤学教室请根据图表提供的信息，解答下列问题： 组别 成绩（分） 频数（人） 百分比 A 8 B C 16 D 4    (1)①表中______，______； ②补全频数分布直方图： (2)若用扇形统计图描述成绩分布情况，求B组所对应扇形的圆心角的度数； (3)比赛结果显示，成绩不低于90分的4名同学中有1名男生和3名女生，学校从这4名同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率（用列表或树状图法）． 【答案】(1)①12，40；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①先根据频数分布表求出总数，再求出a、b的值即可； ②根据求出b的值补全频数分布直方图即可； （2）用乘以B组的百分比，即可求出B组所对应扇形的圆心角的度数； （3）先列表格，然后根据概率公式求出结果即可； 【详解】（1）解：①总数为， ， ， ∴； ②补全频数分布直方图，如图所示：    （2）解：小组所占的百分比为， 对应扇形的圆心角的度数； （3）解：用、表示男生，用、表示女生，列表得： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的有6种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，画树状图或列表求概率，求扇形统计图的圆心角，解题的关键是熟练掌握统计图的特点． 31．（2025·福建南平·三模）小明和小亮要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆（舒适程度不同，票价相同），但他们不知道这些车开过来的顺序．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： (1)三辆车按出现的先后顺序，其舒适程度共有哪几种不同的可能？ (2)如果计划小明乘开来的第一辆车，小亮不乘第一辆车，并且仔细观察第二辆车的情况，若比第一辆车好，就乘第二辆车；若不比第一辆车好，就乘第三辆车．判断小明和小亮谁乘坐舒适程度为上等的车的可能性更大，并说明理由． 【答案】(1)共有6种：（上中下），（上下中），（中上下），（中下上），（下上中），（下中上）； (2)小亮坐上上等车的可能性大． 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）利用列表的方法得出所有6种可能的结果； （2）利用列表法展示乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概率的大小． 【详解】（1）解：三辆车开来的先后顺序列表如图1所示： 顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 所有可能的结果有6种； （2）解：列表如图2所示： 顺序 小明 小亮 上、中、下 上 下 上、下、中 上 中 中、上、下 中 上 中、下、上 中 上 下、上、中 下 上 下、中、上 下 中 小明坐上等车的概率， 小亮坐上等车的概率， 因为 所以小亮坐上等车的可能性大． 试卷第28页，共29页 试卷第29页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$