专题06 三角形的认识和全等三角形综合（50题）（福建专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 三角形的认识和全等三角形综合（50题） 考点01：三角形的认识 1．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 2．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得，即可求解． 【详解】∵ ， ∴， ∵ ，则， ∴， 故选：A． 3．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A. ， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 5．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度． 【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm． ∵等腰三角形ABC，AB＝AC，， ∴． ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 6．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 7．（2021·福建·中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得． 【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE 平分，， 点D到的距离为． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键． 8．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 考点02：全等三角形 9．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 10．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 11．（2023·福建·中考真题）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．    【答案】10 【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键． 12．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 13．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 14．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线 ． (1)在所在的平面内求作直线，使得 ，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图， 直线就是所求作的直线． （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 15．（2023·福建·中考真题）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， 即． 在和中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 16．（2022·福建·中考真题）如图，点C，F在BE上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的对应角相等，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 17．（2021·福建·中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明； （2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）连接． 由平移的性质得． ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴， ∴，∴． 【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 18．（2021·福建·中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观． 一、单选题 19．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，点D为边上一点，且，点E在边上（点E不与点B、C重合），将沿折叠，使得点B的对应点落在边上，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质及勾股定理． 根据等腰直角三角形的性质得出，根据翻折的性质和线段的和差得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ， 由翻折的性质可得， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 20．（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴的值可以是， 故选：C． 21．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，E是的中点， ， ， ， 故选：C． 22．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，，得出四边形是矩形．由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质进一步推出是等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，， ∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：D． 23．（2025·福建漳州·二模）在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线，垂直平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 根据角平分线，垂直平分线的性质，及角相等，逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， A．∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴． 故A正确． B．由垂直平分线可得 ， ∴，即， 同理可知． 故B正确． C．有作图可知， 同理可证． 故C正确． D．无法证明． 故答案选D． 24．（2025·福建·二模）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 25．（2025·宁夏银川·二模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接；由旋转的性质得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； 在，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 26．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 27．（2025·福建厦门·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线性质，得，得，得，得，由切线长性质，得，得，可得，由，得． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 由轴对称知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线．熟练掌握圆的切线性质，切线长性质，四边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，是解题的关键． 28．（2025·福建莆田·三模）在中，，，，是上一个动点，将沿折叠得到，当平行的一边时，点到边的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，由勾股定理可得，解直角三角形得出，，再分两种情况：当时，延长交于；当时，令交于；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，， 如图：当时，延长交于， ， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，即此时点到边的距离为； 如图，当时，令交于， ， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴，即此时点到边的距离为； 综上所示，即此时点到边的距离为或； 故答案为：或． 29．（2025·福建泉州·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 30．（2025·福建泉州·三模）小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相应角度． 根据求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 31．（2025·福建泉州·三模）如图，中，，平分交于点D，，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点作于，设，则，，可得，，利用勾股定理列方程即可，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，设，则，， 平分交于点，，， ， 根据勾股定理可得 ， ， ， ， 根据勾股定理可得，即， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：． 32．（2025·福建厦门·三模）如图是学校屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知，则的度数是 ． 【答案】/108度 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据得到， 故， 故答案为：． 33．（2025·福建厦门·二模）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦长为，矢长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为 ．（，取古圆周率3） 【答案】1.2 【分析】本题主要考查扇形面积公式，勾股定理的应用和解直角三角形，根据已知求得弧田术弓形面积，再结合题意得到，和，利用勾股定理求得r，根据求得，利用扇形面积和三角形面积公式即可求得实际面积，作差即可． 【详解】解：根据已知弧田术得， 弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2 ； 如图， ∵弦长为，矢长为， ∴，，， 则，即，解得， ∵， ∴， 那么，弓形面积 ， 则与实际的误差为， 故答案为：1.2． 34．（2025·福建厦门·二模）如图，已知，点D在延长线上，，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和，进行求解即可． 【详解】解：∵点D在延长线上， ∴是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：70 三、解答题 35．（2025·福建福州·三模）如图，在Rt中，为中点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： 在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求线段的长．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 36．（2025·福建福州·三模）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了重心的应用. 任务一：将图形分为：矩形和矩形，根据素材二计算即可； 任务二：将图形分为：直角三角形、矩形重和直角三角形，根据素材二计算即可； 任务三：将图形分为：整体和挖空部分，由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积，根据素材三计算即可； 【详解】任务一：如图：矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， 重心坐标为 任务二：如图：①直角三角形，，，重心，面积， ②矩形重心，面积， ③直角三角形，重心，面积， 重心坐标为 任务三：由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积， 挖空部分重心坐标为，整体面积， 重心坐标为 37．（2025·福建三明·三模）如图，在中，．点在外，点在上，，， (1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若交于点，连接，分别交于点，过点作，垂足为，交于点．请在备用图中画出相应图形，并证明平分． 【答案】(1)作图见详解 (2)根据题意作图见详解，证明过程见详解 【分析】本题主要考查尺规作垂线，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）运用尺规作垂线，垂直平分线的方法作图即可； （2）根据题意得到是的垂直平分线，，由角的关系得到是的垂直平分线，，可证，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧，交延长线于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点， 连接并延长，则， 以点为圆心，以为半径画弧，交点，则，， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，则是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求图形； （2）解：根据题意作图如下， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线，， ∴，，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 38．（2025·福建三明·三模）如图，在中，点在上，是中点，延长线交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据可得，即可证明，进而得到结论． 【详解】证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 39．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，切线的性质，切线长性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，只需作的平分线，与的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图：为所作． （2）解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 40．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 41．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质； （1）先以为圆心，为半径画弧与的交点即为，再分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交点即为； （2）由（1）可得，，，，即可求出，再根据的平分线结合等腰三角形的三线合一得到，最后根据斜边中线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F，， ∴， ∴． 42．（2025·福建福州·三模）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，即可解决问题．解决本题的关键是得到． 【详解】证明：， 在和中， ， ， ． 43．（2025·福建三明·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据作角平分线与作一条线段等于已知线段的步骤作图即可； （2）先证明，可得，结合，可得． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； ； （2）证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 44．（2025·福建龙岩·二模）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先说明，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 45．（2025·福建厦门·三模）如图，已知点在一条直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，根据可证明得到，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ∴， ， ． 46．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 【答案】任务一：，作图见解析,任务二：当时，通信线路取得最小值 【分析】（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，再根据外角性质得出，结合勾股定理算出，，则，即可作答． （2）在等腰直角三角形中，，过点B作，使得，先证明，得出，即，则当A、N、D三点共线时， 有最小值，，得出米，即可作答． 【详解】解：任务一：如图所示， 作的垂直平分线交于点D， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设，则， ∴， ∴ ． 任务二： 在等腰直角三角形中，， 过点B作，使得，如图， ∴， ∵，又， ∴， ∴， ∴， 则当A、N、D三点共线时，如图所示： 当时，有最小值， 过点A作交的延长线于点E， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴米，， ∴米， 即当时，通信线路取得最小值． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，做垂线，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 47．（2025·福建福州·二模）如图，在和中，相交于点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，利用证明得到，再由等角对等边得到，据此可证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 48．（2025·福建莆田·二模）等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形，三角形全等，解题的关键是掌握相应的判定定理；利用等边三角形及条件得出，再利用证明三角形全等即可求解． 【详解】证明：是等边三角形， ，， ， ， ，即， 在和中，， ， ． 49．（2025·福建泉州·二模）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先求出，再根据可证得，利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 50．（2025·福建厦门·二模）如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据平行线的性质得到， 运用角角边可判定，由此即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 51．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． （1）法一，利用作全等三角形；法二：利用作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形； （2）先利用等腰直角三角形的性质，说明，再设，可用表示出，接着用表示出，就可用表示出，然后利用全等三角形的性质证得，就可求得的值． 【详解】（1）解：作图． 法一：作．   法二：作． 法三：作．     法四：作． 如图所示，即为所作的三角形． （2）过点作，垂足为点， 等腰三角形中，， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 试卷第46页，共47页 试卷第47页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形的认识和全等三角形综合（50题） 考点01：三角形的认识 1．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 5．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 6．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 7．（2021·福建·中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是 ． 8．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 考点02：全等三角形 9．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 10．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ． 11．（2023·福建·中考真题）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．    12．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 13．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 14．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线 ． (1)在所在的平面内求作直线，使得 ，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 15．（2023·福建·中考真题）如图，．求证：． 16．（2022·福建·中考真题）如图，点C，F在BE上，，，． 求证：． 17．（2021·福建·中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 18．（2021·福建·中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：． 一、单选题 19．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，点D为边上一点，且，点E在边上（点E不与点B、C重合），将沿折叠，使得点B的对应点落在边上，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 20．（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 21．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 22．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 23．（2025·福建漳州·二模）在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·福建·二模）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 25．（2025·宁夏银川·二模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 26．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 27．（2025·福建厦门·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 28．（2025·福建莆田·三模）在中，，，，是上一个动点，将沿折叠得到，当平行的一边时，点到边的距离为 ． 29．（2025·福建泉州·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为 ． 30．（2025·福建泉州·三模）小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则 ． 31．（2025·福建泉州·三模）如图，中，，平分交于点D，，，则长为 ． 32．（2025·福建厦门·三模）如图是学校屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知，则的度数是 ． 33．（2025·福建厦门·二模）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦长为，矢长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为 ．（，取古圆周率3） 34．（2025·福建厦门·二模）如图，已知，点D在延长线上，，则 ． 三、解答题 35．（2025·福建福州·三模）如图，在Rt中，为中点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： 在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求线段的长．（如需画草图，请使用备用图） 36．（2025·福建福州·三模）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 37．（2025·福建三明·三模）如图，在中，．点在外，点在上，，， (1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若交于点，连接，分别交于点，过点作，垂足为，交于点．请在备用图中画出相应图形，并证明平分． 38．（2025·福建三明·三模）如图，在中，点在上，是中点，延长线交于点．求证：． 39．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 40．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 41．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 42．（2025·福建福州·三模）如图，，求证：． 43．（2025·福建三明·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 44．（2025·福建龙岩·二模）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 45．（2025·福建厦门·三模）如图，已知点在一条直线上，，．求证：． 46．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 47．（2025·福建福州·二模）如图，在和中，相交于点，，．求证：． 48．（2025·福建莆田·二模）等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：． 49．（2025·福建泉州·二模）如图，在和中，，，．求证：． 50．（2025·福建厦门·二模）如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 51．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 试卷第46页，共47页 试卷第47页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $$