专题10 锐角三角函数的计算与应用（30题）（福建专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题10 锐角三角函数的计算与应用（30题） 1．（2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（    ） A．96 B． C．192 D． 2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 3．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：） 6．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，， 表示，角度用，， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 7．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 一、单选题 8．（2025·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·福建南平·三模）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为 ． 10．（2025·福建厦门·二模）计算： ． 11．（2025·福建泉州·一模）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知 ，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 三、解答题 12．（2025·福建南平·三模）实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图，小明将三角尺放置在量角器上，点C与圆心O重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为． 问题1：求点D对应的刻度． 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为，与外弧交于点E． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 13．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 14．（2025·福建漳州·模拟预测）五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．（运算结果请保留根号） 15．（2025·福建福州·三模）如图，在△ABC中，，O为边上的一点，以O为圆心，为半径的圆与切于点E，与交于另一点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 16．（2025·福建福州·三模）计算： 17．（2025·福建莆田·模拟预测）计算： 18．（2025·福建莆田·三模）计算：． 19．（2025·福建厦门·三模）计算： 20．（2025·福建福州·一模）计算： 21．（2025·福建厦门·二模）计算：． 22．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 23．（2025·福建福州·二模）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； (2)当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 24．（2025·福建漳州·二模）某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动． 课题 测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度 成员 组长：小李，成员：小红，小明 工具 皮尺，量角器，细绳，小石头 任务一 制作简易测角仪 小李在量角器的中心点处悬挂一条绑有小石头的细绳，制作一个简易测角仪（如图1）、测量时，视线沿着量角器的直径瞄准目标，通过读取量角器的刻度得到的度数，就可求得仰角的大小． 任务二 测量纪念碑的高度 如图2，小红站在点处，眼睛与地面的距离为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为；小明站在离小红7.8米的点处，眼睛与地面的距离为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为．（点在同一水平直线上） 问题解决 1．如图1，若，求的大小；（用含的代数式表示） 2．如图2，求纪念碑的高度． 参考数据 25．（2025·福建福州·二模）计算：． 26．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 27．（2025·福建厦门·模拟预测）计算：． 28．（2025·福建厦门·一模）计算： 29．（2025·福建三明·二模）如图，在中，，，为的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，求的面积．参考数据：，，． 30．（2025·福建泉州·一模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： (1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） (2)若测得，，，求出小土坡的高度． 试卷第32页，共33页 试卷第33页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 锐角三角函数的计算与应用（30题） 1．（2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（    ） A．96 B． C．192 D． 【答案】B 【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：依题意为平行四边形， ∵，，AB＝8，． ∴平行四边形的面积= 故选B 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度． 【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm． ∵等腰三角形ABC，AB＝AC，， ∴． ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 3．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可． 【详解】解：连接OC， CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD， ∴∠CAD=2∠CAP， ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠COP＝2∠CAO ∴∠COP＝∠CAD ∵ ∴OC=3 在Rt△COP中，OC=3，PC=4 ∴OP=5． ∴== 故选：D． 【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解． 4．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长． 【详解】 ， ． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键． 5．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：） 【答案】128 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可知， ， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故答案为： 6．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，， 表示，角度用，， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】(1)①；② (2)相似三角形的判定与性质 (3)最大宽度为，见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可； （3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得； 求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得． 【详解】（1）∵， ，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故小水池的最大宽度为 ． （2）根据相似三角形的判定和性质求得， 故答案为：相似三角形的判定与性质． （3）测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；    （ⅱ）用皮尺测得． 求解过程： 由测量知，在中，，，． 过点作，垂足为． 在中，， 即，所以． 同理，． 在中，， 即，所以． 所以． 故小水池的最大宽度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键． 7．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 一、单选题 8．（2025·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，，则，所以，然后通过折射率即可求解． 【详解】解：如图， ∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∴折射率， 故选：． 二、填空题 9．（2025·福建南平·三模）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键．根据题意可得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为19， 故答案为：19． 10．（2025·福建厦门·二模）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知45度角的正弦值和余弦值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2025·福建泉州·一模）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知 ，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P．解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的竖直距离为， ∴， ∴坐垫到地面的距离． 故答案为：． 三、解答题 12．（2025·福建南平·三模）实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图，小明将三角尺放置在量角器上，点C与圆心O重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为． 问题1：求点D对应的刻度． 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为，与外弧交于点E． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 【答案】问题1：；问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由见解析；问题3： 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键． 问题1：连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 问题2：过点O作于点E，然后由正弦函数得出，即可判断； 问题3：连接，设与交于点F，根据平行线的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出，然后利用解三角形求解即可 【详解】解：问题1：解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由如下： 过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴O到的距离小于圆的半径， ∴将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切； 问题3：连接，设与交于点F，如图所示： ∵点A的对应刻度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为： 13．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 【答案】(1)小明家所需的遮阳棚的跨度为2 (2)当时，d取得最大值为0.35 【分析】（1）过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； （2）将点N坐标代入得，，令，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； （2）解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 依题意可得： 由（1），， ， ， ， ， 由题意得：B到x轴距离为， 则， 将代入， 得， 令， ， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，w取得最大值为0.45， ， ， ∴当时，d取得最大值为0.35． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 14．（2025·福建漳州·模拟预测）五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．（运算结果请保留根号） 【答案】B、C两地的距离是千米． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用． 过点作于点，先求出，根据30度角的性质及勾股定理得到千米，进而得到千米，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，可知， ∴ ∴ 千米， 千米，千米． ， ∴千米， ∴（千米） 答：B、C两地的距离是千米． 15．（2025·福建福州·三模）如图，在△ABC中，，O为边上的一点，以O为圆心，为半径的圆与切于点E，与交于另一点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，切线的性质推出，得到，等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，过点作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，角平分线的性质，得到，，推出，根据余弦的定义即可得解． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵以为圆心，为半径的圆与切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，过点作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵平分，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线分线段成比例，求角的余弦值，熟练掌握知识点，并灵活运用，是解题的关键． 16．（2025·福建福州·三模）计算： 【答案】 【分析】首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解：原式 ． 17．（2025·福建莆田·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再计算即可． 【详解】解：原式． 18．（2025·福建莆田·三模）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简绝对值、特殊角的三角形函数值，乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． ． 19．（2025·福建厦门·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数，零次幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简，正确进行计算是关键；先计算零次幂，绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ； 20．（2025·福建福州·一模）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 21．（2025·福建厦门·二模）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂的运算、特殊角的三角函数值和二次根式的运算进行计算即可． 【详解】解： ． 22．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 【答案】(1) (2) (3)设计符合要求 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）令，得，解得，．即可求出答案； （3）过点作于点．求出．得到．过点作，交延长线于点，交轴于点．求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，． 设抛物线的表达式为， 将，代入，得： 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）∵平屋面离底面的距离为， ∴令，得， 解得，． ∴． ∴平屋面的长为． （3）如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 在中，，， ． ∴． 如图，过点作，交延长线于点，交轴于点． 易得四边形为矩形， 在中，， ， ∴， ∵， ∴． ∴设计符合要求． 23．（2025·福建福州·二模）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． (1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； (2)当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； (3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)476 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可； （2）由勾股定理求出，则可得出答案； （3）由全等的等腰直角三角形得出，即，则可得出结论． 【详解】（1）解：裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸． （2）解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等， ∴， 即， ∴八边形的边长为， 根据勾股定理，得， 化简，得． ∵， ∴， ∴， ∴得到的八边形卡纸的面积是． （3）解：∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理（2），得， 又∵正八边形的八个角都相等，都为， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，，即， 综上，当时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形． 24．（2025·福建漳州·二模）某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动． 课题 测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度 成员 组长：小李，成员：小红，小明 工具 皮尺，量角器，细绳，小石头 任务一 制作简易测角仪 小李在量角器的中心点处悬挂一条绑有小石头的细绳，制作一个简易测角仪（如图1）、测量时，视线沿着量角器的直径瞄准目标，通过读取量角器的刻度得到的度数，就可求得仰角的大小． 任务二 测量纪念碑的高度 如图2，小红站在点处，眼睛与地面的距离为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为；小明站在离小红7.8米的点处，眼睛与地面的距离为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为．（点在同一水平直线上） 问题解决 1．如图1，若，求的大小；（用含的代数式表示） 2．如图2，求纪念碑的高度． 参考数据 【答案】（1）；（2）纪念碑EF的高度为25.8米 【分析】本题考查解直角三角形测高，涉及平角定义、解直角三角形，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，由，当时，由平角定义代值求解即可得到答案； （2）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示，在和中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ∵， ∴； （2）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示： ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴（米）， 答：纪念碑EF的高度为25.8米． 25．（2025·福建福州·二模）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 26．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题， （1）过点作于，过点作于，延长交于，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出； 掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作于，延长交于， 设， ∵坡道的坡度为，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 答：他沿垂直方向上升的高度为； （2）如图，过点作于，过点作于，延长交于， 由（1）可知：， 由题意知：，， ∵，， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 答：点，间的水平距离长约为． 27．（2025·福建厦门·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的化简，三角函数，零指数幂，负整数指数幂，平方根的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算各项的值，再进行实数的加减运算，即可解答． 【详解】 28．（2025·福建厦门·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解∶ 29．（2025·福建三明·二模）如图，在中，，，为的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，求的面积．参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，进而根据旋转的性质以及等边对等角、三角形内角和定理得出，根据，即可求解； （2）由（1）得，，证明，根据，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为中点，， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴． ∴． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（2025·福建泉州·一模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： (1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） (2)若测得，，，求出小土坡的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解； （2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，则， 设， 在中，，， ，， ， 在中，， ， ， ，即， ， 的长度为． （2）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， ， 答：小土坡的高度为． 试卷第32页，共33页 试卷第33页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$