4.3相似多边形（题型专练）数学北师大版九年级上册

4.3 相似多边形 题型一 相似图形的识别 1．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）老师要求说出两个相似图形，关于嘉嘉和淇湛的说法，下列判断正确的是（   ）． 嘉嘉：任意两个正方形相似；淇淇：任意两个直角三角形相似 A．嘉嘉的一定符合要求 B．淇淇的一定符合要求 C．两人的都一定符合要求 D．两人的都不符合要求 题型二 利用相似多边形的性质求角度 1．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024秋•铁西区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列结论正确的是（　　） A．∠D＝81° B．∠F＝85° C．∠G＝79° D．∠H＝80° 4．（2024秋•简阳市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠A的度数是 　 　°． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 题型三 利用相似多边形的性质求线段长 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西北海·期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为 ． 4．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知矩形中，，在中取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 题型四 利用相似多边形的性质求线段比 1．（2024•张北县校级开学）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 2．（24-25九年级下·浙江·假期作业）已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2024秋•镇海区期末）如图，把一个大长方形ABCD划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形ABCD相似，则AD：CD的值为 　 　． 题型一 利用相似多边形的性质求周长 1．（2025·天津红桥·一模）若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 2．（2024秋•商南县校级期末）已知两个相似四边形的相似比是1：2，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积． 5．（2024九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 题型二 利用相似多边形的性质求面积 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024秋•河北期末）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）四边形是一张矩形纸片，将其技如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为 ． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 题型一 相似多边形的判定 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 2．如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 3．如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.                         4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 5．（2024•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形． （1）仅有对应边成比例的两个四边形 　 　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； （2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，， 求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． 题型二 相似多边形的判定与性质的综合运用 1．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 2．（2024秋•西安校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 3．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 相似多边形 题型一 相似图形的识别 1．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）老师要求说出两个相似图形，关于嘉嘉和淇湛的说法，下列判断正确的是（   ）． 嘉嘉：任意两个正方形相似；淇淇：任意两个直角三角形相似 A．嘉嘉的一定符合要求 B．淇淇的一定符合要求 C．两人的都一定符合要求 D．两人的都不符合要求 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的判定，根据对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似，即可求解． 【详解】解：∵如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似 正方形的四个角都是直角，各边都相等， 所以任意两个正方形一定相似，嘉嘉的说法符合要求； 任意两个直角三角形不一定相似，淇淇的说法不符合要求 故选：A． 题型二 利用相似多边形的性质求角度 1．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质及多边形内角和，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024秋•铁西区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列结论正确的是（　　） A．∠D＝81° B．∠F＝85° C．∠G＝79° D．∠H＝80° 【答案】D． 【详解】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似， ∴∠B＝∠F＝79°，∠A＝∠E＝116°，∠C＝∠G＝85°， ∴∠D＝∠H＝360°﹣79°﹣116°﹣85°＝80°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 4．（2024秋•简阳市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠A的度数是 　 　°． 【答案】95． 【分析】根据相似多边形的定义求出∠D＝130°，进而根据四边形的内角和求出∠A即可． 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D＝∠D′＝130°， ∴∠A＝360°﹣60°﹣75°﹣130°＝95°． 故答案为：95． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 【答案】9，12， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应角相等、对应边的比相等即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， ． 题型三 利用相似多边形的性质求线段长 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得，进行计算即可得． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴． 故答案为：C． 3．（24-25九年级上·广西北海·期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ， 解得：． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知矩形中，，在中取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形个亿，可得，设，可得方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 根据折叠的性质可知，， 四边形是正方形， ， 设， ， ， ， 四边形与矩形相似， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验：：是分式方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长． 题型四 利用相似多边形的性质求线段比 1．（2024•张北县校级开学）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【答案】C． 【分析】利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，AB＝8，，，，EF＝4， ∴， ∴四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是2：1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长是解题的关键． 2．（24-25九年级下·浙江·假期作业）已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质； 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：设它们的相似比为， 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：， ∴， 故选：C． 3．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2024秋•镇海区期末）如图，把一个大长方形ABCD划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形ABCD相似，则AD：CD的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意可得，矩形ADCB∽矩形DEFA，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，矩形ADCB∽矩形DEFA， ∴， ∴， ∴， ∴AD2：CD2＝1：3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 题型一 利用相似多边形的性质求周长 1．（2025·天津红桥·一模）若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据周长比等于相似比，即可作答． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长之比为， 故选：B 2．（2024秋•商南县校级期末）已知两个相似四边形的相似比是1：2，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B． 【分析】相似三角形的周长之比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的周长之比也是1：2， ∵较小三角形的周长为6cm， ∴较大的三角形的周长为2×6＝×12（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查对相似三角形性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．据此列式计算即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的周长比是， 设较小多边形的周长为为， 由题意得，， 解得，， 故选：A． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积． 【答案】较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2． 【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 性质得到，，然后利用比例的性质求解即可. 【详解】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y， 根据题意得，， 解得x＝24，y＝36， 所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等；两个相似多边形周长的比等于相似比；两个相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5．（2024九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 题型二 利用相似多边形的性质求面积 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【详解】解：两个相似多边形周长的比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的面积比是， 较小多边形的面积为， 较大多边形的面积为， 故选：D． 3．（2024秋•河北期末）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 【答案】A． 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设放大后的宽是x cm， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴5：10＝3：x， ∴x＝6， ∴放大后的宽是6cm， 放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm2）． 故选：A． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期中）四边形是一张矩形纸片，将其技如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】题考查相似多边形的性质，矩形的性质，折叠的性质；先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为则，再根据相似多边形性质得出比例式，得出，进而即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设的长为则， 四边形是矩形， 矩形与原矩形相似， 即 解得：（负值舍去），即 矩形的面积为 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可； （2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 题型一 相似多边形的判定 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 2．如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 【答案】不相似．小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18．因为，，即这两个矩形的边不成比例，所以它们不相似 【分析】根据已知条件，可求出小路内侧矩形的长和宽分别为28，8；再把两个矩形的边分两种情况进行比值运算，结果，，即可得出答案． 【详解】解：不相似．理由如下： 因为草坪四周有宽的环行小路， 所以小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18； 因为，，即这两个矩形的边不成比例， 所以它们不相似． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，即不仅要对应角相等，还要对应边成比例． 3．如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.                         【答案】相似，见解析 【分析】要说明两个矩形是否相似，只要说明对应角是否相等，对应边的比是否相等． 【详解】解：相似. 理由：这两个的角是直角，因而对应角相等一定是正确的， 小矩形的长是20-5-5=10，宽是12-3-3=6， 因为，即两个矩形的对应边的比相等， 因而这两个矩形相似． 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 5．（2024•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形． （1）仅有对应边成比例的两个四边形 　 　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； （2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，， 求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． 【答案】（1）不一定； （2）见详解. 【分析】（1）直接判断即可； （2）只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可． 【解答】解：（1）仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似； 故答案为：不一定； （2）连接AC，A'C'，如图， ∵∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，， ∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠BCD＝∠B′C′D′， ∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC， ∠D′A′C′＝∠B′A′D′﹣∠B′A′C′， ∴∠DAC＝∠D′A′C′， 同理∠DCA＝∠D′C′A′， ∴△ADC∽△A′D′C′， ∴， ∴， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠BCD＝∠B′C'D′， ∴∠D＝∠D′ ∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． 【点评】本题考查的多边形的相似，解题的关键是证明各边对应成比例，各角对应相等． 题型二 相似多边形的判定与性质的综合运用 1．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 【答案】16 【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形为中正方形， ∴，， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴， 四边形是矩形，， ， ， 矩形是正方形， 四边形是正方形， 正方形正方形， ∵AE：EC=2：1， ∴AE：AC=2：3， ， ， ∴正方形AFEG的面积为16． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键． 2．（2024秋•西安校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 【答案】 【分析】设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，分FN是矩形的长和FN是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似， 由题意或， 解得t＝4或1． 当t＝4时，NF＝8， ∵， ∵CFNM与AEFD都是矩形， ∴矩形CFNM与矩形AEFD相似． 同理可证当t＝1时矩形CFNM与矩形AEFD相似． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 3．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【答案】（1）见解析；（2）GD＝ 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【详解】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE＝，BP＝AB＝1， ∴ ∴EP＝2 ∴ ∴GD＝． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$