高考压轴大题突破1-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P305] 1．已知函数f(x)＝x2＋12ax. (1)若f(x)在其定义域内是增函数，求a的取值范围； (2)定义：若f(x)在其定义域内单调递增，且f(x)＋g(x)在其定义域内也单调递增，则称g(x)为f(x)的“协同增函数”． 已知函数g(x)＝4x3－18ax2＋12x，若g(x)是f(x)的“协同增函数”，求a的取值范围． 解析　(1)因为f(x)＝x2＋12ax，所以f′(x)＝·x2＋2x＋12a＝12x ln x＋12a， 令h(x)＝x ln x，则h′(x)＝ln x＋1. 由h′(x)>0，得x>；由h′(x)<0，得0<x<. 则h(x)在上单调递减，在上单调递增． 故h(x)≥h＝－，即f′(x)≥12a－. 因为f(x)在其定义域内是增函数，所以12a－≥0，解得a≥，即a的取值范围为. (2)由(1)可得a≥. 设F(x)＝f(x)＋g(x)＝4x3＋x2＋24x， 则f′(x)＝12x2＋12x ln x－36ax＋24. 因为F(x)在其定义域内是增函数，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即12x2＋12x ln x－36ax＋24≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即x＋ln x＋≥3a在(0，＋∞)上恒成立． 设Q(x)＝x＋ln x＋，则Q′(x)＝1＋－＝. 由Q′(x)>0，得x>1；由Q′(x)<0，得0<x<1. 所以Q(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 则Q(x)≥Q(1)＝3，故3a≤3，解得a≤1. 因为a≥，所以≤a≤1，即a的取值范围是. 2．一般地，设函数f(x)在区间上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上任取一点ξi，作和式Sn＝fΔx＝f.如果Δx无限接近于0(亦即n→＋∞)时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间上的定积分，记为S＝f(x)dx.当f(x)≥0时，定积分f(x)dx的几何意义表示由曲线y＝f(x)，两直线x＝a，x＝b与x轴所围成的曲边梯形的面积．如果f(x)是区间上的连续函数，并且f′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝＝F(b)－f(a). (1)求dx； (2)设函数f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝xf′(x)(x≥0). ①若f(x)≥mg(x)恒成立，求实数m的取值范围； ②数列满足a1＝1，an＝g，利用定积分几何意义，证明：ai<ln n<ai. (1)解析　根据定义可知：dx＝＝e2＋×22－＝e2－e1＋. (2)①解析　f(x)≥mg(x)恒成立，即ln (x＋1)≥. 令φ(x)＝ln (x＋1)－，则φ′(x)＝－＝. 当m≤1时，φ′(x)≥0，所以φ(x)在上单调递增，又φ(0)＝0， 所以φ(x)≥0在上恒成立，所以当m≤1时，f(x)≥mg(x)； 当m>1时，对x∈，有φ′(x)<0，所以φ(x)在上单调递减， 所以φ<φ(0)＝0，即当m>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故f(x)≥mg(x)不恒成立． 综上，m的取值范围是(－∞，1]. ②证明　由an＝g，可得an＝， 所以＝＋1， 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则＝1＋＝n，所以an＝. dx是由曲线y＝，直线x＝1，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积， 而ai＝＋＋…＋是图1中阴影所示各矩形的面积和， 所以＋＋…＋<dx＝ln n，不等式左边得证． ai＝1＋＋＋…＋是图2中阴影所示各矩形的面积和， 所以1＋＋＋…＋>dx＝ln n，不等式右边得证． 所以ai<ln n<ai. 学科网（北京）股份有限公司 $$