10.7-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P397] 1．(2025·黄山模拟)某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]. (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数； (2)从这次数学成绩位于[50，70)，[70，90)的学生中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70，90)的人数记为X，求X的分布列及数学期望． 解析　(1)由频率分布直方图可得(0.002 5＋0.007 5＋0.015×2＋2a)×20＝1，解得a＝0.005. 前四个矩形的面积之和为(0.002 5＋0.007 5＋2×0.015)×20＝0.8， 前五个矩形的面积之和为0.8＋0.005×20＝0.9， 设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m， 则0.8＋(m－110)×0.005＝0.85，解得m＝120， 因此，这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120. (2)数学成绩位于[50，70)，[70，90)的学生人数之比为0.007 5∶0.015＝1∶2， 所以，所抽取的9人中，数学成绩位于[50，70)的学生人数为9×＝3(人)， 数学成绩位于[70，90)的学生人数为9×＝6(人)， 由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 2．某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和m(m>50)位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 观点 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 (1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记X为这3名学生中热爱数学的学生人数，求X的分布列和期望； (2)若根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数m的最小值． 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析　(1)由题意可知，高二学生热爱数学的概率为P＝＝，热爱数学的学生人数X～B， 则P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝3＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望为E(X)＝3×＝. (2)因为根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关， 所以χ2＝>6.635， 令f(m)＝(50＋m)[30(m－20)－400]2－6.635×50×50×m×m，则f(m)>0， 所以f′(m)＝25(108m2－2527m－80 000)， 因为y＝25(108m2－2527m－80 000)的对称轴为m＝<50，且当m＝50时，y>0， 所以f′(m)＝25(108m2－2527m－80 000)在[50，＋∞)上恒大于0， 所以f(m)在[50，＋∞)上单调递增，而f(56)<0，f(57)>0， 所以实数m的最小值为57. 3．(2024·淄博一模)为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 　　　　　年龄 次数　　　　　 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60] 每周0～2次 70 55 36 59 每周3～4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在[20，40)的锻炼者称为青年，年龄在[40，60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值α＝0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30，40)与[50，60]的人数分别为X，Y，ξ＝|X－Y|，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，，，求小明星期天选择跑步的概率． 参考公式： χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析　(1)零假设H0：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得2×2列联表如下： 体育锻炼频率 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 χ2＝≈9.091>6.635， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验推断H0不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. (2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30，40)，[50，60]内的人数分别为1，2，依题意，ξ的所有可能取值分别为0，1，2， 所以P(ξ＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)＝＋＝， P(ξ＝1)＝P(X＝0，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝2)＝＋＋＝， P(ξ＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. (3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件D，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝， 所以P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C) ＝×＋×＋×＝. 所以小明星期天选择跑步的概率为. 4．经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi(i＝1，2，…，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表． xi ti yi zi (xi－)2 360 54.5 1360 44 384 (ti－)2 (ti－)· (yi－) (xi－)· (zi－) (xi－)· (yi－) — 3 588 32 6430 — 表中ti＝，zi＝ln yi，＝zi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx，y＝n＋m与y＝哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x的回归方程(给出判断即可，不必说明理由)； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及均值． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线方程＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解析　(1)根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围，所以y＝适宜作为y与x之间的回归方程模型． 令z＝ln y，则z＝c2x＋ln c1，则2＝＝＝，ln c1＝－c2＝×44－×36＝1.4，所以＝x＋1.4， 所以y关于x的回归方程为. (2)由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，2， 设事件Ai＝“所取两个鱼卵来自第i批”(i＝1，2)，所以P(A1)＝P(A2)＝， 设事件Bj＝“所取两个鱼卵有j个‘死卵’”(j＝0，1，2)，由全概率公式 P(ξ＝0)＝P(B0|A1)P(A1)＋P(B0|A2)P(A2)＝×＋×＝， P(ξ＝1)＝P(B1|A1)P(A1)＋P(B1|A2)P(A2)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝P(B2|A1)P(A1)＋P(B2|A2)P(A2)＝×＋×＝. 所以取出“死卵”个数的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝. 所以取出“死卵”个数的均值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$