10.5-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P393] A级　基础过关 1．已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析　因为X服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，则P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝3－4[1－P(X＝0)]，解得P(X＝0)＝，所以a＝.故选C. 答案　C 2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(2≤X＜4)＝(　　) A． B． C． D． 解析　依题意，＋＋＋＝1，解得a＝10，即P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，所以P(2≤X＜4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，故选A． 答案　A 3．随机变量X的分布列为 X 0 1 m P n 若E(X)＝1.1，则D(X)＝(　　) A．0.49 B．0.69 C．1 D．2 解析　由分布列性质知＋n＋＝1，解得n＝，∴E(X)＝0×＋1×＋m×＝1.1，∴m＝2，∴D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49，故选A． 答案　A 4．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝(　　) A．176 B．182 C．184 D．186 解析　依题意可得X的所有可能取值为200，180，160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，X的分布列如下， X 200 180 160 P 0.4 0.3 0.3 则E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182，故选B. 答案　B 5．(多选)已知随机变量X，Y的分布列如下，则(　　) X 1 2 P 0.6 0.4 　 Y 1 －2 P 0.5 0.5 A．D(Y)＝9D(X) B．E(1－X)＝0.5 C．D(1－Y)＝2.25 D．E(X＋Y)＝0.9 解析　E(X)＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，E(Y)＝1×0.5－2×0.5＝－0.5，D(X)＝(1－1.4)2×0.6＋(2－1.4)2×0.4＝0.24，D(Y)＝(1＋0.5)2×0.5＋(－2＋0.5)2×0.5＝2.25，所以D(Y)≠9D(X)，E(1－X)＝－E(X)＋1＝－0.4，D(1－Y)＝(－1)2D(Y)＝2.25，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝0.9，故选CD. 答案　CD 6．设随机变量ξ的分布列如下表，则P(|ξ－3|＝1)＝________． ξ 1 2 3 4 P a 解析　∵＋a＋＋＝1，∴a＝，由|ξ－3|＝1，解得ξ＝2或ξ＝4，∴P(|ξ－3|＝1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＝＋＝. 答案　 7．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________． 解析　P(X＝2)＝××＋××＋××＝； P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案　　 8．一射手打靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为________． 解析　X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6， P(X＝1)＝0.42×0.6， P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)， ∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×(0.6＋0.4)＝2.376. 答案　2.376 9．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解析　(1)记甲学校获得冠军为事件A， 则P(A)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.6， 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0，10，20，30， 则P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＝0.44， P(X＝20)＝0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34， P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06， 故X的分布列为 X 0 10 20 30 P(X) 0.16 0.44 0.34 0.06 X的期望值为E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. B级　能力提升 10．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E(ξ)＝(　　) A． B． C． D． 解析　由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D. 答案　D 11．(多选)已知＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(　　) X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 A．P(X＝2)的值最大 B．P(X＝0)＜P(X＝1) C．E(X)随p的增大而减小 D．E(X)随p的增大而增大 解析　当p＝时，P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝＞，A错误；因为＜p＜1，所以p－p2＝p(1－p)＜1－p，即P(X＝0)＜P(X＝1)，B正确；E(X)＝1－p＋2p2＝2＋，因为＜p＜1，所以E(X)随p的增大而增大，C错误，D正确． 答案　BD 12．(2025·新乡模拟)甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球． (1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为X，求X的分布列与期望． 解析　(1)记这2个球颜色相同为事件A，则P(A)＝×＋×＝. (2)依题意X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝×＋×＋×＝， P(X＝1)＝×＋×＋×＝， P(X＝2)＝×＋×＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. C级　拓广探索 13．设随机变量T满足P(T＝i)＝，i＝1，2，3，直线y＝x＋T与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点个数为η，若E(η)＝，则p＝________． 解析　设3条直线与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点个数的和为m， 因为E(η)＝，则×m＝，则m＝5. 因为直线与抛物线的交点个数为0，1，2，所以直线y＝x＋T与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点个数η的取值为1，2，2， 因为T＝1，2，3，所以当T＝3时，直线y＝x＋3与抛物线y2＝2px(p>0)相切， 联立得x2＋(6－2p)x＋9＝0， Δ＝(6－2p)2－36＝0，解得p＝6或p＝0(舍去). 答案　6 14．(2024·滨州二模)某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表： 株高增量(单位：厘米) (4，7] (7，10] (10，13] (13，16] 第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2 第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1 第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立． (1)从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在(7，10]内的概率； (2)分别从第1组、第2组、第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量在(7，10]内，求X的分布列和数学期望E(X)； (3)用“ξk＝1”表示第k组鸡冠花的株高增量在(4，10]内，“ξk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量在(10，16]内，k＝1，2，3.比较方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)的大小，并说明理由． 解析　(1)记“第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株鸡冠花的株高增量在(7，10]内”为事件A，所以P(A)＝＝. (2)记“从第i(i＝1，2，3)组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量在(7，10]内”为事件Bi， 由题意可知P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝， 且X的可能取值有0，1，2，3，则有 P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＋××＋×＝； P(X＝2)＝××＋××＋××＝； P(X＝3)＝××＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)由题意可知ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布，则有 ξ1的分布列为 ξ1 1 0 P 可得ξ1的方差D(ξ1)＝×＝； ξ2的分布列为 ξ2 1 0 P 可得ξ2的方差D(ξ2)＝×＝； ξ3的分布列为 ξ3 1 0 P 可得ξ3的方差D(ξ3)＝×＝； 因为>>，所以D(ξ2)>D(ξ3)>D(ξ1). 学科网（北京）股份有限公司 $$