10.4-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P391] A级　基础过关 1．已知P(B|A)＝0.4，P(A)＝0.6，则P(A )＝(　　) A．0.12 B．0.18 C．0.21 D．0.36 解析　由P(B|A)＝＝＝0.4，解得P(AB)＝0.24，所以P(A )＝P(A)－P(AB)＝0.6－0.24＝0.36. 答案　D 2．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　设事件A＝“第1次抽到几何题”，事件B＝“第2次抽到代数题”， 所以P(A)＝，P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝.故选A． 答案　A 3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块、8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为(　　) A． B． C． D． 解析　设事件A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙生产的，事件B表示取得的芯片为次品，甲生产该芯片的次品率为p， 则P(A1)＝＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝p，P(B|A2)＝，则由全概率公式得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×p＋×＝0.08，解得p＝.故选B. 答案　B 4．(2024·滨州二模)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是(　　) A．若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则P(A|B)＝0.6 C．若P(A|B)＝0.5，则P(AB)＝0.25 D．若B⊆A，则P(B|A)＝0.8 解析　对于A：因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立，故A错误； 对于B：若A，B相互独立，则P(A|B)＝＝＝P(A)＝0.5，故B错误； 对于C：因为P(A|B)＝，所以P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.4×0.5＝0.2，故C错误； 对于D：若B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝0.4，所以P(B|A)＝＝＝0.8，故D正确．故选D. 答案　D 5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　) A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 解析　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立.2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确． 答案　ACD 6．已知A，B是某随机试验中的两个随机事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.1，P(A|B)＋P(B|A)＝________． 解析　P(A|B)＋P(B|A)＝＋＝＋＝0.75. 答案　0.75 7．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是________． 解析　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，不发生故障为事件(A2∪A3)A1，则不发生故障的概率P＝P[(A2∪A3)A1]＝[1－P(2)P(3)]P(A1)＝×＝. 答案　 8．为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为5∶4，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为________． 解析　设A：抽到一名学生是甲班的，B：抽到一名女生，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以由全概率公式可知，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝. 答案　 9．甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛．在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为. (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 解析　(1)设“甲至少有两轮获胜”为事件A， 则P(A)＝C××＋＝. (2)设“选中甲与机器人比赛”为事件A1，“选中乙与机器人比赛”为事件A2，“战胜机器人”为事件B，根据题意得P(A1)＝P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 所以战胜机器人的概率为. B级　能力提升 10．(2025·常德模拟)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设事件B1表示任选一件产品，来自于甲箱，事件B2表示任选一件产品，来自于乙箱，事件A表示从两箱产品中任取一件，恰好不合格，P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.1×0.5＋0.2×0.5＝0.15， 又P(B1|A)＝＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝＝， 经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为×＋×＝.故选A． 答案　A 11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率为________． 解析　记事件A1＝“从甲箱中摸出的1个球是红球”，A2＝“从乙箱中摸出的1个球是红球”，B1＝“顾客抽奖1次获一等奖”，B2＝“顾客抽奖1次获二等奖”，C＝“顾客抽奖1次能获奖”．由题意知A1与A2相互独立，A1 2与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1 2＋1A2，C＝B1∪B2，因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B2)＝P(A1 2＋1A2)＝P(A1 2)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×＋×＝.故所求概率为P(C)＝P(B1∪B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. 答案　 12．某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加．除李夏以外的其他参赛选手中，40%是一类棋手，30%是二类棋手，其余的是三类棋手．已知李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2，0.4和0.5. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率； (2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率． 解析　(1)设Ai＝“李夏与第i(i＝1，2，3)类棋手比赛”，根据题意P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.3，记B＝“李夏获胜”，则有P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.4，P(B|A3)＝0.5. 由全概率公式知，李夏在比赛中获胜的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.4×0.2＋0.3×0.4＋0.3×0.5＝0.35， 所以李夏获胜的概率为0.35. (2)若李夏获胜，则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为P(A1|B)＝＝＝＝. 即若李夏获胜，对手为一类棋手的概率为. C级　拓广探索 13．(多选)(2024·南京一模)有n(n∈N*，n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i＝1，2，3，…，n)，则(　　) A．P(A1A2)＝ B．P(A1|A2)＝ C．P(A1＋A2)＝ D．P(A10)＝ 解析　对于A，P(A1A2)＝×＝，所以A错误； 对于B，P(A2)＝×＋×＝， 故P(A1|A2)＝＝，所以B正确； 对于C，P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)＝＋－＝，所以C正确； 对于D，由题意：P(An)＝P(An－1)＋[1－P(An－1)]， 所以P(An)－＝，P(A1)＝，P(A1)－＝－＝， 所以P(An)－＝×＝×， 所以P(An)＝×，则P(A10)＝，所以D错误．故选BC. 答案　BC 14．某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得到的总学分不低于10分时该年度考核合格．该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A，B，C，D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立． 专业技能测试 A B C D 学分 5分 6分 4分 8分 员工甲通过测试的概率 (1)若员工甲参加A，B，C三项测试，求他本年度考核合格的概率； (2)员工甲欲从A，B，C，D中选择三项测试参加，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请写出所有满足条件的方案． 解析　(1)由题意知，若员工甲本年度考核合格，则必须通过B测试，且A，C测试中至少有一项通过，故他本年度考核合格的概率P＝×＝. (2)①若选择A，C，D三项测试，则必须通过D测试，且A，C测试中至少有一项通过，此时员工甲本年度考核合格的概率P1＝×＝＜； ②若选择A，B，D三项测试，则需通过任意两项测试或三项测试均通过，此时员工甲本年度考核合格的概率P2＝××＋××＋××＋××＝＞； ③若选择B，C，D三项测试，则需通过任意两项测试或三项测试均通过，此时员工甲本年度考核合格的概率P3＝××＋××＋××＋××＝＞. 结合(1)中＜知，满足条件的方案为选择A，B，D三项测试和选择B，C，D三项测试． 学科网（北京）股份有限公司 $$