10.3-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P389] A级　基础过关 1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 解析　由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1－＝，故“至多有一张移动卡”的概率是. 答案　A 2．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线生产7 nm规格的芯片．现有25块该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯片数量分别为5块、10块、10块．若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.8，0.8，0.7，则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片为优质品的概率是(　　) A．0.76 B．0.64 C．0.58 D．0.48 解析　由题可知，甲、乙、丙生产的芯片的优质品总数为5×0.8＋10×0.8＋10×0.7＝19，根据古典概型计算可得该芯片为优质品的概率为＝0.76，故选A． 答案　A 3．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　从八卦中任取两卦，样本点总数n＝C＝28，这两卦的阳线数目相同的样本点有6种，分别为(兑，巽)，(兑，离)，(巽，离)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴这两卦的阳线数目相同的概率为P＝＝. 答案　C 4．抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c没有极值点的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b，若f(x)没有极值点，则Δ＝4a2－4b≤0，即a2≤b. 由题意知，所有的样本点共36个，其中满足a2≤b的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，共9个，所以P＝＝. 答案　A 5．(多选)下列说法正确的有(　　) A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0 B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1 C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 解析　事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确； 事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件，所以P(A＋B)＝1，故B正确； 事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立事件，故C正确； 事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误． 答案　ABC 6．某博物馆有四个不同的展馆，甲、乙各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为________． 解析　记事件A为“两人选择中恰有一个馆相同”， 则P()＝＋＝＝，所以P(A)＝1－P()＝. 答案　 7．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为x，第二次得到的点数为y，则log3(x＋y)≥2的概率为________． 解析　由题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，样本点共有6×6＝36个． 又由log3(x＋y)≥2，可得x＋y≥9，其所对应的样本点为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共10个，故所求概率P＝＝. 答案　 8．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 解析　从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种).其中4个点共面有以下两种情况：(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图①，有6种取法； (2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图②，也有6种取法． 所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝. 答案　 9．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层随机抽样的方法抽取了这三类行业中的20个单位，其考评分数如下． A类行业：85，82，77，78，83，87. B类行业：76，67，80，85，79，81. C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82. (1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数； (2)若在抽出的A类行业的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 解析　(1)由题意，抽取的三类行业的单位个数之比为3∶3∶4. 由分层随机抽样的定义，有 A类行业单位的个数为×200＝60； B类行业单位的个数为×200＝60； C类行业单位的个数为×200＝80. ∴A，B，C三类行业的单位个数分别为60，60，80. (2)记“选出的这3个单位中既有‘星级’环保单位，又有‘非星级’环保单位”为事件M. 在A类行业的6个单位中随机选取3个单位，这3个单位的考评分数的样本空间为{(85，82，77)，(85，82，78)，(85，82，83)，(85，82，87)，(85，77，78)，(85，77，83)，(85，77，87)，(85，78，83)，(85，78，87)，(85，83，87)，(82，77，78)，(82，77，83)，(82，77，87)，(82，78，83)，(82，78，87)，(82，83，87)，(77，78，83)，(77，78，87)，(77，83，87)，(78，83，87)}，共包含20个样本点． 这3个单位都是“星级”环保单位的样本点为 (85，82，83)，(85，82，87)，(85，83，87)，(82，83，87)，共4个． 这3个单位都是“非星级”环保单位的情形有0种． ∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种． ∴P(M)＝1－＝. B级　能力提升 10．口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，事件B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，事件C＝“取出的2球至少有1个白球”，事件D＝“取出的2球不同色”，事件E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列选项正确的是(　　) A．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) B．P(C)＋P(D)＝1 C．P(C∪E)＝1 D．P(B)＝P(C) 解析　依题意 P(A)＝＝，P(B)＝1－＝，P(A)＋P(B)＝＞1，而P(A＋B)≤1，A不正确；P(C)＝1－＝，P(D)＝1－P(A)＝，P(C)＋P(D)＞1，B不正确；事件C是含有1个白球与含有2个白球的两个互斥事件的和，事件E是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件的和，事件C∪E是必然事件，因此P(C∪E)＝1，C正确；因为P(B)＝，P(C)＝，所以P(B)≠P(C)，即D不正确． 答案　C 11．下表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为________． (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 解析　要使得(2，3)的状态发生改变，则需要按(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)这五个开关中的一个；要使得(4，1)的状态发生改变，则需要按(3，1)，(4，1)，(4，2)这三个开关中的一个，所以要使得(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)中的两个或(3，1)，(4，1)，(4，2)中的两个，故所求概率为＝. 答案　 12．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率． 解析　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C，则P(B)＝＝，P(C)＝＝.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率为. C级　拓广探索 13．(多选)(2024·日照一模)从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点A(a，b)，B(1，－1)，O(0，0)，则(　　) A．∠AOB是锐角的概率为 B．∠ABO是直角的概率为 C．△AOB是锐角三角形的概率为 D．△AOB的面积不大于5的概率为 解析　A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，共有8×8＝64种情况． 设l与直线OB垂直，因为kOB＝－1， 则直线l：y＝x， 其中64个点中，有8个落在直线l：y＝x上，剩余56个点中，一半在l：y＝x上方， 一半在l：y＝x下方， 要想∠AOB为锐角，则点A应在直线l：y＝x下方， 其中满足要求的有28个点， 故∠AOB是锐角的概率为＝，A正确； B选项，过点B作直线m⊥OB， 则A点落在直线m上，满足∠ABO为直角， 其中kOB＝－1，故直线m的斜率为1，直线m的方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2， 落在y＝x－2上的点的坐标有(3，1)，(4，2)，(5，3)，(6，4)，(7，5)，(8，6)，共6个， 故∠ABO是直角的概率为＝，B错误； C选项，要想△AOB为锐角三角形，则点A落在直线l：y＝x与直线m：y＝x－2之间， 根据点的坐标特征，应落在y＝x－1上， 满足要求的点有(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，共7个， 故△AOB是锐角三角形的概率为，C正确； D选项，直线OB的方程为x＋y＝0，|OB|＝＝， 设直线n：x＋y＋C＝0， 设直线n与直线OB的距离为d， 则d＝＝，令|OB|·d＝×·≤5， 解得－10≤C≤10， 故要想△AOB的面积不大于5，则点A在x＋y－10＝0上，或x＋y－10＝0的下方， 即x＋y－10≤0， 满足要求的点有(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(2，8)，(3，1)，(3，2)，…，(3，7)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(7，1)，(7，2)，(7，3)，(8，1)，(8，2)， 共8＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＝43(个)， 故△AOB的面积不大于5的概率为，D正确． 故选ACD. 答案　ACD 14．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到如下试验结果． A配方的频数分布表 质量指标 值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 质量指标 值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润． 解析　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96， 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96. 用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元). 学科网（北京）股份有限公司 $$