10.2-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P388] A级　基础过关 1．在的展开式中，含x4项的系数为(　　) A．160 B．192 C．184 D．186 解析　二项式的展开式的通项是Tk＋1＝C(2x)6-k＝C26-kx6-2k，当k＝1时，T2＝C×25×x4＝192x4，含x4项的系数为192.故选B. 答案　B 2．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则(　　) A．n＝5 B．n＝8 C．的展开式的常数项为－20 D．的展开式中各项系数的和为1 解析　由题可知，2n＝64，则n＝6.则A，B错误； 展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝Cx6-k·＝(－1)k2kCx6-2k. 令6－2k＝0，得k＝3，则T4＝(－1)3×23×Cx6-6＝－160，故C错误； 令x＝1得6＝1，则6的展开式中各项系数的和为1，故D正确，故选D. 答案　D 3．若(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的最小值是(　　) A．2 B．3 C．12 D．10 解析　Tk＋1＝C(x)n－k·＝C·()n－k·xn-2k，令n－2k＝0，得n＝2k，则k＝1时，n取最小值2.故选A． 答案　A 4．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　) A．－960 B．960 C．1120 D．1680 解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C. 答案　C 5．在的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析　的展开式的通项Tk＋1＝Cx5-k·＝(－a)kCx5-2k，令5－2k＝3，则k＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.又展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10，故选B. 答案　B 6．(多选)对于的展开式，下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64 C．常数项为1215 D．系数最大的项为第3项 解析　的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确； 在中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确； 展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6-k·＝(－3)kCx12-3k(0≤k≤6，k∈N)， 令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C＝1215，故C正确； 由C的分析可知第2，4，6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C＝135，第5项系数为(－3)4C＝1215， 第7项系数为(－3)6C＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确． 答案　ABC 7．已知(x＋1)n的展开式中二项式系数的和为128，则C－C2＋C4＋…＋C(－2)n＝________． 解析　由已知可得2n＝128，解得n＝7，所以二项式(x＋1)7＝(1＋x)7的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk. 令x＝－2，则二项式的展开式为C×(－2)0＋C×(－2)1＋C×(－2)2＋…＋C×(－2)7＝C－C×2＋C×4＋…＋C×(－2)7＝(1－2)7＝－1. 答案　－1 8．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2的项的系数为________． 解析　由只有第5项的二项式系数最大可得n＝8. 所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx8-k＝(－1)kCx，令8－k＝2，解得k＝4. 所以展开式中含x2的项的系数为(－1)4C＝70. 答案　70 B级　能力提升 9．(2024·湖北武汉五调)若(1＋2x)10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a10(1＋x)10，则a2＝(　　) A．180 B．－180 C．－90 D．90 解析　因为(1＋2x)10＝[2(1＋x)－1]10，其二项展开式的通项为Tk＋1＝C[2(1＋x)]10-k(－1)k＝(－1)k210-kC(1＋x)10-k，k＝0，1，…，10，而a2是a2(1＋x)2的系数，故只需取k＝8，得T9＝22C(1＋x)2＝180(1＋x)2，即a2＝180. 答案　A 10．(1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析　依题意，(1－x＋x2)2＝1＋x2＋x4－2x＋2x2－2x3＝1－2x＋3x2－2x3＋x4，(1＋x)3＝1＋3x＋3x2＋x3，所以(1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为－2×1＋3×3－2×3＋1×1＝2.故选B. 答案　B 11．·展开式中的常数项为(　　) A．－15 B．0 C．15 D．80 解析　展开式的通项为Tk＋1＝C＝(－2)kCx，当2－k＝0时，k＝4；当1－k＝0时，k＝2.则展开式中的常数项为x2·(－2)4Cx-2－2x(－2)2Cx-1＝0. 答案　B 12．设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝C522023－C522022＋C522021－…＋C52－C＋a，因为512023＋a能被13整除， 所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，所以a＝1. 答案　B 13．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于(　　) A．405 B．810 C．243 D．64 解析　(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 两边求导得2n(2x＋1)n-1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1. 令x＝1，则2n×3n-1＝a1＋2a2＋…＋nan. 又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243， 令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5. 所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810. 答案　B 14．(多选)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早500年左右．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是(　　) A．在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15 B．由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n C．C＋C＋C＋…＋C＝164 D．存在k∈N*，使得{C－C}为等差数列 解析　对于A，在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是C＝6，A错误； 对于B，由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝2n，B正确； 对于C，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C－C＝164，C正确； 对于D，取k＝2，则C－C＝C－C＝C＝n， 因为(n＋1)－n＝1，所以数列{C－C}为公差为1的等差数列，D正确．故选BCD. 答案　BCD C级　拓广探索 15．二项式(1＋sin x)n的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为，则x在(0，π)内的值为________． 解析　因为(1＋sin x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C×1n－k×(sin x)k＝C(sin x)k，k＝0，1，2，…，n， 令k＝n－1，可得Tn＝C(sin x)n-1＝n(sin x)n-1. 令k＝n，可得Tn＋1＝C(sin x)n＝(sin x)n. 由题意可得n＋1＝9，解得n＝8， 所以二项式系数最大的项为第5项， 则T5＝C(sin x)4＝70(sin x)4＝， 且x∈(0，π)，则sin x＞0，可得sin x＝， 所以x＝或x＝. 答案　或 16．若(1＋x)7＋k(x2＋x＋1)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，且a2＋2a3＋3a4＋4a5＋5a6＋6a7＝46，则k＝________． 解析　在等式(1＋x)7＋k(x2＋x＋1)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，令x＝0，可得a0＝1＋k，令x＝1，可得128＋27k＝a0＋a1＋a2＋…＋a7， 对等式(1＋x)7＋k(x2＋x＋1)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7两边求导得 7(1＋x)6＋3k(2x＋1)(x2＋x＋1)2＝a1＋2a2x＋…＋7a7x6， 令x＝1，可得448＋81k＝a1＋2a2＋…＋7a7， 故a2＋2a3＋3a4＋4a5＋5a6＋6a7＝a0＋a1＋2a2＋…＋7a7－(a0＋a1＋a2＋…＋a7)＝1＋k＋448＋81k－(128＋27k)＝46，解得k＝－5. 答案　－5 学科网（北京）股份有限公司 $$