3.5-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P302] 1．设函数f(x)＝，g(x)＝x cos x－sin x. (1)求证：当x∈(0，π]时，g(x)＜0； (2)若存在x∈(0，π]，使得f(x)＜a成立，求a的取值范围． (1)证明　因为当x∈(0，π]时，g′(x)＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x≤0， 所以g(x)在(0，π]上单调递减， 又g(0)＝0，所以当x∈(0，π]时，g(x)＜0. (2)解析　因为f(x)＝＝1＋， 所以f′(x)＝， 由(1)知，当x∈(0，π]时，x cos x－sin x＜0， 所以f′(x)＜0， 所以f(x)在(0，π]上单调递减， 所以当x∈(0，π]时，f(x)min＝f(π)＝1， 因为f(x)＜a在(0，π]上有解， 所以a＞f(x)min，即a＞1. 所以a的取值范围是(1，＋∞). 2．(2025·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝ex-1－a(其中a∈R)，g(x)＝ln x. (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围． 解析　(1)a＝0时，f(x)＝ex-1，f(0)＝e-1＝，f′(x)＝ex-1，故f′(0)＝e-1＝， 故函数f(x)在点(0，f(0))的切线方程为y－＝x，即x－ey＋1＝0. (2)x>0时，ex-1－a≥ln x恒成立， 故ex-1－ln x≥a， 令t(x)＝ex-1－ln x，定义域为(0，＋∞)，则t′(x)＝ex-1－，令w(x)＝t′(x)＝ex-1－， 则w′(x)＝ex-1＋>0在(0，＋∞)上恒成立，故w(x)＝t′(x)＝ex-1－在(0，＋∞)上单调递增， 又t′(1)＝e1-1－1＝0，故当x∈(0，1)时，t′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0， 故t(x)＝ex-1－ln x在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，t(x)min＝t(1)＝e1-1－ln 1＝1， 所以a≤1，a的取值范围是. 3．(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)＝x(a>0). (1)讨论f(x)的最值； (2)若a＝1，且f(x)≤，求k的取值范围． 解析　(1)因为f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)，可得f′(x)＝a－＝. 当a>0时，令f′(x)＝0，可得x＝； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故当x＝时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为f＝1＋ln a，无最大值． (2)当a＝1时，由f(x)≤，可得x－ln x≤， 整理得kex≥x2＋x－x ln x，即k≥， 令h(x)＝， 则h′(x)＝＝， 由(1)知，当a＝1时，f(x)＝x－ln x的最小值为f(1)＝1>0，即x－ln x>0恒成立， 所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减． 故当x＝1时，h(x)取得最大值h(1)＝，即k≥， 故k的取值范围为. 4．(2025·杭州模拟)已知f(x)＝＋x ln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立， 即存在x1，x2∈[0，2]，使得[g(x1)－g(x2)]max≥M，即g(x)max－g(x)min≥M(x∈[0，2]). 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x， 当＜x＜2时，g′(x)＞0，当0＜x＜时，g′(x)＜0， 列表如下： x g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以当x∈[0，2]时，g(x)max＝g(2)＝1，g(x)min＝g＝－， 所以g(x)max－g(x)min＝≥M， 所以满足条件的最大整数M为4. (2)对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)成立，则f(s)min≥g(t)max. 由(1)易得当x∈时，g(x)max＝g(2)＝1， 所以对任意的x∈，＋x ln x≥1恒成立，即a≥x－x2ln x恒成立． 令h(x)＝x－x2ln x，则a≥h(x)max. 求导得h′(x)＝1－2x ln x－x，令m(x)＝1－2x ln x－x，则m′(x)＝－3－2ln x＜0，所以h′(x)在上单调递减，又h′(1)＝0，故列表如下： x 1 (1，2) h′(x) ＋ 0 － h(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以a≥h(x)max＝h(1)＝1，故实数a的取值范围是[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$