2.10-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P294] A级　基础过关 1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　) A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x C．y＝x1000 D．y＝1000×2x 解析　在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B、C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A． 答案　A 2．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利(　　) A．25元 B．20.5元 C．15元 D．12.5元 解析　由题意，售价为100元，再按九折出售的售价为100×0.9元，所以，每件获利100×0.9－100＝90×－100＝12.5(元).故选D. 答案　D 3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1530只 B．1636只 C．1830只 D．1930只 解析　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)， 且当x＝2时，y＝1000， ∴1000＝klog33，解得k＝1000， ∴当x＝5时，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×≈1636. 答案　B 4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln (kx)＝ln k0＋ln (1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速率k的值约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693) A．0.105 5 B．0.106 5 C．0.116 5 D．0.115 5 解析　由题意，ln ＝ln k0＋ln (1－e-12k)⇒e-12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.693，解得k≈0.115 5. 答案　D 5．(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(　　) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A．T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1>T2 D．T3>10 000T1 解析　A选项，由题意得N(t)＝N0， 又N(t)＝N0e，故N0＝N0e，两边取对数得，ln 0.5＝－， T＝τln 2，A错误； B选项，由A可知，T与τ成正比例关系，B正确； C选项，由B可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值， 故T1<T2，C错误； D选项，T3＝τln 2＝6.475×109ln 2， T1＝τln 2＝3.558×105ln 2， 故＝>1，D正确．故选BD. 答案　BD 6．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝________． 解析　因为λ＝λ(1－3-8λ)，所以3-8λ＝＝3-2，解得λ＝. 答案　 7．(2025·永州模拟)某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时) 解析　当0≤x≤1时，由f(x)≤0.02，得5x-2≤0.02，解得x≤2＋log50.02＝log50.5＜0，不符合题意；当x＞1时，由f(x)≤0.02，得·x≤0.02，即31-x≤0.1，解得x≥1－log30.1＝1＋log310.因为3＜1＋log310＜4，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车． 答案　4 8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m.记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y m．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m. 解析　设梯形的高为h m．由题意可知9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，整理可得BC＝－，由h≥，BC＞0，可得2≤x＜6，∴y＝BC＋2x＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立． 答案　2 9．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造休闲区域，B区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，D区域用来种植大蒜．已知B，D两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元． A B C D (1)用y(单位：平方米)表示C区域的面积，求y关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？ 解析　(1)由题意得C 区域为长、宽分别为6－2x，x的长方形，所以y＝x(6－2x)＝－2x2＋6x，x∈(0，2). (2)设阳台改造的总费用为f(x) 元， 则f(x)＝30×6(2－x)＋40x2＋20(－2x2＋6x)＋25x2＝25x2－60x＋360，x∈(0，2)， 当x＝－＝时，f(x)有最小值， f(x)min＝f＝25×2－60×＋360＝324. 所以当x＝米时，阳台改造的总费用最少，最少为324元． B级　能力提升 10．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(　　) (参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1200≈7.090 1) A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 解析　由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则＝1200， ∴1.06n＝1200， ∴n＝log1.061200＝≈121.614， ∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1200倍． 答案　A 11．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________(保留到个位)(lg 61≈1.79). 解析　由题意得，f(60)＝≈＝P， ∴k＝＝0.465， ∴f(100)＝＝≈＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462. 答案　462 12．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解析　(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元). 因此，此时公司的总收益为88万元． (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得解之得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16； 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元． C级　拓广探索 13．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm).若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析　厚度为α＝10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1－4%)n，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β＝5，则10(1－4%)n≤5⇒(1－4%)n≤，因为(1－4%)n>0，>0，所以lg (1－4%)n≤lg ⇒n lg (1－4%)≤－lg 2，因为lg (1－4%)<0，所以n≥⇒n≥＝＝＝≈16.815 6.故选D. 答案　D 14．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下表： 上市时间x/天 2 6 20 市场价y/元 102 78 120 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)；④y＝＋b(a≠0)； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在x∈(10，＋∞)使得不等式－k≤0成立，求实数k的取值范围． 解析　(1)由题表知，随着时间x的增大，y的值先减小后增大，而所给的函数①y＝ax＋b(a≠0)，③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)和④y＝＋b(a≠0)在(0，＋∞)上显然都是单调函数，不满足题意，故选择②y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)把(2，102)，(6，78)，(20，120)分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得解得 所以y＝x2－10x＋120＝(x－10)2＋70，x∈(0，＋∞). 所以当x＝10时，y有最小值，且ymin＝70. 故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令g(x)＝＝(x－10)＋，x∈(10，＋∞)， 因为存在x∈(10，＋∞)使得不等式g(x)－k≤0成立，则k≥g(x)min. 又g(x)＝(x－10)＋≥2＝2， 当且仅当(x－10)＝，即x＝10＋2时，等号成立． 所以实数k的取值范围是[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$